Как найти определитель матрицы в excel

11.3 Вычисление определителя матрицы.

Excel позволяет вычислять определитель матрицы с использованием функции MDETERM. Матрица как обычно хранится в массиве. Форма записи матрицы может быть двоякой: в виде квадратной таблицы или строкой с синтаксисом.

Задание №25.

Найти определитель матрицы В8:D 10 и записать его в ячейку Е12.

Воспользуемся функцией рабочего листа для вычисления определителя. Выделим ячейку Е12 и запишем в нее формулу = MDETERM(В8:D10)

Массив В8:D10 можно указать с клавиатуры, или ввести в формулу, выделив мышью на экране и нажав кнопку Enter. В ячейке Е12 появится результат вычислений.

Можно было использовать Мастер функций Для записи необходимой формулы; в этом случае не требуется знание синтаксиса функции; от пользователя потребовалось бы только указание (например, с помощью мыши) блока ячеек, в которых записана матрица. Введем комментарий, рамку и заливку (рис. 11.9). Строка 12 – не просто текст. В ячейке В12 записан комментарий («Определитель матрицы равен center»>

11.4 Умножение матриц.

Умножение матриц можно выполнить, используя известные формулы для вычисления произведения матриц. Но формулы, особенно при больших размерах матриц, оказываются громоздкими. Более удобно использовать возможности, предоставляемые Мастером функций.

Найдите произведение двух матриц, записанных в блоке ячеек В8:D9, F8:I10 (рис. 11.10). Результат разместить в блоке ячеек С13:F14.

Необходимо выделить блок ячеек, в котором будет записана матрица – результат умножения. Эта матрица в данном случае имеет размер 2х4. (Таким образом, использование даже Мастера функций предполагает знание элементарных сведений об умножении матриц!). Выделим блок ячеек С13:F14.

Умножение с помощью Мастера функций предполагает выполнение двух шагов. Обратимся к этой команде и сделаем первый шаг – выберем раздел Массивы, установим флажок для получения результата в виде матрицы, затем выберем функцию MMULT. На втором шаге необходимо указать два массива, в которых записаны множимое и множитель. Массивы можно задать набором клавиатуры, а можно выделить их с помощью мыши. В соответствующих окнах появятся обозначения массивов. В диалоговом окне отображается результат выполнения операции умножения.

На рисунке 11.11 показаны исходные матрицы и их произведение. Исходные матрицы записаны с одной цифрой после десятичной запятой, а их произведение – с двумя. При желании можно изменить формат представления чисел в матрицах.

11.5 Нахождение обратной матрицы.

Найти матрицу, обратную заданной в блоке ячеек В8:Е11 (рис. 11.12), и записать ее в блок ячеек В14:Е17.

Для вычисления используем функцию MINVERSE. Результат показан на рисунке 11.13.

Решение совместной системы линейных уравнений.

Систему линейных алгебраических уравнений можно решить любым известным из курса линейной алгебры способом; и с помощью формул: возможности, предоставляемые специальным инструментарием табличного процессора. В этом случае схема решения такова:

Находится обратная матрица системы уравнений;
Обратная матрица умножается на вектор правой части системы.

Задание №28. Решить систему уравнений, которая условно записана в таблице рабочего листа (рис. 11.14). В блоке ячеек В8:Е11 записана матрица коэффициентов системы; в блоке ячеек G8:G11 – вектор правой части. рис. 11. 84 В блоке ячеек В14:Е17 запишем обратную матрицу, которая может быть найдена рассмотренным ранее способами. Результат показан на рисунке 11.15. Операция распространения формулы на массив обязательна! рис. 11. 95 Умножим слева вектор правой части на обратную матрицу; результат разместим в блоке G14:G17 (рис. 11.15). Добавлены элементы оформления: поясняющие надписи и заливка.

Функция МОПРЕД

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование MDETERM в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

Синтаксис

Аргументы функции МОПРЕД описаны ниже.

Массив Обязательный. Числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Замечания

Массив может быть задан как интервал ячеек, например A1:C3, как массив констант, например , как имя для интервала или массива.
Функция МОПРЕД возвращает значение ошибки #ЗНАЧ! в случаях, указанных ниже.
- Если какая-либо ячейка в массиве пуста или содержит текст.
- Если количество строк в массиве не равно количеству столбцов.
МОПРЕД(A1:C3)
равно A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1)
- Определители матриц обычно используются при решении систем уравнений с несколькими неизвестными.
- Функция МОПРЕД производит вычисления с точностью примерно 16 значащих цифр, что может в некоторых случаях приводить к незначительным ошибкам. Например, определитель сингулярной матрицы отличается от нуля на 1E-16.
Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Вычисление определителя матрицы в EXCEL

Определитель матрицы (det) можно вычислить только для квадратных матриц, т.е. у которых количество строк равно количеству столбцов.

Для вычисления определителя в MS EXCEL есть специальная функция МОПРЕД() . В аргументе функции необходимо указать ссылку на диапазон ячеек (массив), содержащий элементы матрицы (см. файл примера ).

Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например A7:B8 , но и как массив констант , например =МОПРЕД() . Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .

Для матриц порядка 2 можно определитель можно вычислить без использования функции МОПРЕД() . Например, для вышеуказанной матрицы выражение =A7*B8-B7*A8 вернет тот же результат.

Для матрицы порядка 3, например размещенной в диапазоне A16:C18 , выражение усложняется =A16*(B17*C18-C17*B18)-B16*(A17*C18-C17*A18)+C16*(A17*B18-B17*A18) (разложение по строке).

В файле примера для матрицы 3 х 3 определитель также вычислен через разложение по столбцу и по правилу Саррюса.

Свойства определителя

Теперь о некоторых свойствах определителя (см. файл примера ):
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
- Если в матрице все элементы хотя бы одной из строк (или столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю
- Если переставить местами две любые строки (столбца), то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак)
- Если все элементы одной из строк (столбца) умножить на одно и тоже число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k
- Если матрица содержит строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель =0
- det(А)=1/det(А -1 ), где А -1 — матрица обратная матрице А (А — квадратная невырожденная матрица).
Вычисление определителя матрицы по определению (до 6 порядка включительно)

СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОПРЕД() .

Как было показано выше для вычисления матриц порядка 2 и 3 существуют достаточно простые формулы и правила. Для вычисления определителя матриц более высокого порядка (без использования функции МОПРЕД() ) придется вспомнить определение:

Определителем квадратной матрицы порядка n х n является сумма, содержащая n! слагаемых ( =ФАКТР(n) ). Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А . Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1) , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

где ( α ₁ , α ₂ . α _n ) — перестановка чисел от 1 до n , N( α ₁ , α ₂ . α _n ) — число инверсий в перестановке , суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n .

Попытаемся разобраться в этом непростом определении на примере матрицы 3х3.

Для матрицы 3 х 3, согласно определения, число слагаемых равно 3!=6, а каждое слагаемое состоит из произведения 3-х элементов матрицы. Ниже приведены все 6 слагаемых, необходимых для вычисления определителя матрицы 3х3:
- а21*а12*а33
- а21*а32*а13
- а11*а32*а23
- а11*а22*а33
- а31*а22*а13
- а31*а12*а23
а21, а12 и т.д. — это элементы матрицы. Теперь поясним, как были сформированы индексы у элементов, т.е. почему, например, есть слагаемое а11*а22*а33, а нет а11*а22*а13.

Посмотрим на формулу выше (см. определение). Предположим, что второй индекс у каждого элемента матрицы (от 1 до n) соответствует номеру столбца матрицы (хотя это может быть номер строки (это не важно т.к. определители матрицы и ее транспонированной матрицы равны). Таким образом, второй индекс у первого элемента в произведении всегда равен 1, у второго — 2, у третьего 3. Тогда первые индексы у элементов соответствуют номеру строки и, в соответствии с определением, должны определяться из перестановок чисел от 1 до 3, т.е. из перестановок множества (1, 2, 3).

Теперь понятно, почему среди слагаемых нет а11*а22*а13, т.к. согласно определения ( в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А ), а в нашем слагаемом нет элемента из строки 3.

Примечание : Перестановкой из n чисел множества (без повторов) называется любое упорядочивание данного множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Например, дано множество их 3-х чисел: 1, 2, 3. Из этих чисел можно составить 6 разных перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). См. статью Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Число перестановок множества из 3-х чисел =3!=6 (что, конечно, равно числу слагаемых в выражении для расчета определителя, т.к. каждому слагаемому соответствует своя перестановка). Для матрицы 3х3 все перестановки приведены в примечании выше. Можно убедиться, что в каждом слагаемом первые индексы у элементов равны соответствующим числам в перестановке. Например, для слагаемого а21*а12*а33 использована перестановка (2, 1, 3).

СОВЕТ : Для матрицы 4 порядка существует 4! перестановок, т.е. 26, что соответствует 26 слагаемым, каждое из которых является произведением различных 4-х элементов матрицы. Все 26 перестановок можно найти в статье Перебор всех возможных Перестановок в MS EXCEL .

Теперь, когда разобрались со слагаемыми, определим множитель перед каждым слагаемым (он может быть +1 или -1). Множитель определяется через четность числа инверсий соответствующей перестановки.

Примечание : Об инверсиях перестановок (и четности числа инверсий) можно почитать, например, в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Например, первому слагаемому соответствует перестановка (2, 1, 3), у которой 1 инверсия (нечетное число) и, соответственно, -1 в степени 1 равно -1. Второму слагаемому соответствует перестановка (2, 3, 1), у которой 2 инверсии (четное число) и, соответственно, -1 в степени 2 равно 1 и т.д.

Сложив все слагаемые: (-1)*(а21*а12*а33)+(+1)*(а21*а32*а13)+(-1)*(а11*а32*а23)+(+1)*(а11*а22*а33)+(-1)*(а31*а22*а13)+(+1)*(а31*а12*а23) получим значение определителя.

В файле примера на листе 4+, и зменяя порядок матрицы с помощью элемента управления Счетчик , можно вычислить определитель матрицы до 6 порядка включительно.

Следует учитывать, что при вычислении матрицы 6-го порядка в выражении используется уже 720 слагаемых (6!). Для 7-го порядка пришлось бы сделать таблицу для 5040 перестановок и, соответственно, вычислить 5040 слагаемых! Т.е. без использования МОПРЕД() не обойтись (ну, или можно вычислить определитель вручную методом Гаусса).

Как найти определитель матрицы в excel

Argument ‘Topic id’ is null or empty

Сейчас на форуме

© Николай Павлов, Planetaexcel, 2006-2023
info@planetaexcel.ru

Использование любых материалов сайта допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста и иллюстраций.

ООО «Планета Эксел»
ИНН 7735603520
ОГРН 1147746834949 ИП Павлов Николай Владимирович
ИНН 633015842586
ОГРНИП 310633031600071
Похожие публикации: