как найти основание треугольника, если известна высота и средняя линия?
средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Поэтому зачем вам высота?
Либо не до конца озвучено задание: как проходит средняя линия, и что за основание необходимо найти?
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника соединяет точки, являющиеся серединами двух сторон треугольника. В каждом треугольнике можно провести три средние линии. Любую среднюю линию треугольника можно найти, разделив основание треугольника (сторону, параллельную средней линии) на два. С проведением в треугольнике средней линии мы получаем два подобных треугольника, в которых действует теорема Фалеса. Более того, в случае если отрезок, параллельный основанию, является средней линией, коэффициент подобия треугольников равен двум. Таким образом, для того чтобы найти среднюю линию, находящуюся в подобии с основанием первого треугольника, последнее нужно разделить на два:
Средняя линия треугольника и его площадь
Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.
I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:
Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:
то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:
Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.
II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.
Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.
![\[\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NB}}{{CB}} = \frac{1}{2}.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-315f51ddbc8b316eb8044c94a5b77fc4_l3.png)
Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то
![\[\frac{{{S_{\Delta MBN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4},\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7aa99220d1e6139312e8749745c58a2d_l3.png)
![\[{S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}}.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9317e161e3295c9617d4002cf90b2bb_l3.png)
Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.
Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:
![\[{S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10(c{m^2})\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a5e111a6c006f4046d86091ff380d14_l3.png)
Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC
![\[{S_{AMNC}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30(c{m^2}),\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b8b67b1ec96ff760fefc0f013cd77c0_l3.png)
или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.
Средняя линия треугольника. Определение
Средняя линия треугольника. Здравствуйте, друзья! Сегодня теоретический материал, связан он с треугольником. В составе экзамена имеется группа заданий, в которых используется свойство его средней линии. Причём не только в задачах с треугольниками, но и с трапециями. Была на блоге статья, в которой сии факты я предлагал просто запомнить, теперь подробнее…
Что такое средняя линия треугольника и каковы её свойства?
Средняя линия треугольника. Определение
Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника.
Понятно, что средних линий в треугольнике три. Покажем их:
Без всяких доказательств вы уже, наверное, заметили, что все четыре образованные треугольника равны. Это так, но подробнее об этом поговорим далее.
Средняя линия треугольника. Теорема
Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
1. Давайте рассмотрим треугольники BMN и BAC. По условию у нас BM=MA, BN=NC. Можем записать:
Следовательно треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия). Что из этого следует? А то что:
По признаку параллельности прямых MN||AC.
2. Также из подобия треугольников следует, что
То есть MN в два раза меньше. Доказано!
Средняя линия треугольника. Задача
Решим типичную задачу.
Задача. В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN=12, MK=10, KN=8.
Решение. Конечно, прежде всего следует проверить существование треугольника MNK (а значит и существование треугольника АВС). Сумма двух меньших сторон должна быть более третьей стороны, записываем 10+8>12. Выполнятся, следовательно треугольник существует.
Таким образом периметр треугольника АВС равен 24+20+16=60.
*Теперь подробнее о треугольниках полученных при построении всех трёх средних линий. Их равенство легко доказывается. Посмотрите:
Равны они по трём сторонам. Конечно, и другие признаки здесь применимы. Получаем, что
Как это свойство используется в заданиях включённых в состав экзамена? Особо хочется заострить внимание на задачах по стереометрии. Есть такие типы, в которых речь идет о треугольной призме.
Например, сказано что плоскость проходит через середины сторон основания и она параллельна третьему ребру основания. Ставятся вопросы о изменении площади поверхности призмы, её объёма и другие.
Так вот. Зная и понимая информацию изложенную выше вы сразу же определите, что эта плоскость отсекает от основания указанной призмы одну четвёртую часть и задачу решите устно. Вот статья на блоге с такими задачами.
На этом всё! Всего доброго!
Скачать материал статьи
С уважением, Александр Крутицких.
Делитесь информацией сайта в социальных сетях!