Какая функция не меняется при нахождении ее производной

2. Отыскание точек экстремума

Теорема 3. Если функция \(y=f(x)\) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) < 0 , а при x >x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) >0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) < 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, называются критическими .

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы

1. Найдём производную f ′ ( x ) .

2. Определим критические точки.

3. Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.

4. Опираясь на теоремы \(1\), \(2\) и \(4\), определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.

1) если производная функции в критической точке меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;

2) если производная функции в критической точке меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;

3) если производная функции в критической точке не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
найти экстремумы функции f ( x ) = x 2 x − 1 .

Производная этой функции — f ′ ( x ) = x x − 2 ( x − 1 ) 2 , значит, критические точки функции — это \(x=0\) и \(x=2\). Точка \(x=1\) не принадлежит области определения функции.

Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала: − ∞ ; 0 ∪ 0 ; 1 ∪ 1 ; 2 ∪ 2 ; + ∞ . Знак первого интервала положительный (например, f ′ \((-1)=0.75\)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.

Значит, производная меняет знак только в точках \(x=0\) и \(x=2\).

В точке \(x=0\) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции \(f(0)=0\).

В точке \(x=2\) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции \(f(2)=4\).

Производная сложной функции. Примеры решений

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№ 5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем всю функцию в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные шаблоны применимы и в том случае, если «икс» заменить любой дифференцируемой функцией . В данном примере ВМЕСТО «икс» у нас :

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любой табличный шаблон справедлив не только для «икс», но и для любой дифференцируемой функции . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрёшки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: . Только вот ВМЕСТО «икс» у нас функция , и мы действуем по шаблону. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» результат:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила применяем правило .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15 производных.

Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Какая функция не меняется при нахождении ее производной

Определение . Говорят, что функция , непрерывная в некотором промежутке , имеет в точке максимум (минимум), если существует проколотая окрестность точки , в которой выполняется неравенство .

Значения функции в точке максимума (минимума) функции называются, соответственно, максимумом и минимумом функции. Максимумы и минимумы объединяют общим названием экстремумов функции. На рисунке функция имеет максимум в точке и минимум в точке :

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, имея в виду, что он характеризует поведение функции лишь в достаточно малой окрестности точки .

Функция может иметь несколько экстремумов в одном промежутке, в отличие от так называемых глобального максимума и глобального минимума, т.е. наибольшего и наименьшего значений функции на всем промежутке.

Необходимое условие существования экстремума выявляется следующим рассуждением: если дифференцируемая функция в точке имеет экстремум, то в некоторой окрестности точки она удовлетворяет условиям теоремы Ферма и, следовательно, в этой точке производная равна нулю, т.е. .

Заметим, что функция может иметь экстремумы и в точках, в которых она не дифференцируема. Например, функция имеет минимум в точке , но не дифференцируема в этой точке.

А функция имеет максимум в точке , а ее производная в этой точке бесконечна: , при , .

Теперь необходимое условие существования экстремума будет выглядеть так: если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке ее производная равняется нулю или не существует.

Точки, принадлежащие области определения, в которых выполняется необходимое условие существования экстремума, принято называть критическими точками функции.

Однако необходимое условие существования экстремума не является достаточным.

Например, для функции точка является критической, так как ее производная обращается в нуль в этой точке, но в этой точке она не имеет экстремума.

Поэтому нужны достаточные условия существования экстремума.

Первое достаточное условие существования экстремума дается следующей теоремой. Пусть функция дифференцируема, по крайней мере, в проколотой окрестности критической точки и ее производная сохраняет знак в каждой из полуокрестностей. Тогда: 1) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то — точка максимума; 2) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то — точка минимума; 3) если при переходе через точку производная не меняет знака, то в точке нет экстремума.

Утверждение становится понятным, если учесть достаточное условие монотонности функции. Так, например, в случае 1) функция возрастает в левой полуокрестности и ее значения меньше и убывает в правой и ее значения здесь также меньше , т.е. — максимум функции. Аналогичная ситуация в случае 2). Если же имеет место случай 3), то функция либо возрастает, либо убывает во всей окрестности точки и не является точкой экстремума.

На основании первого достаточного условия экстремума можно составить план исследования функции на экстремум :

1. Найти область определения функции , если она не указана.

2. Найти производную .

3. Найти критические точки функции.

4. Выяснить знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии (или отсутствии) экстремумов функции.

5. Вычислить экстремальные значения.

Заметим, что практически удобно соединять исследование функции на монотонность с исследованием ее на экстремум. При этом результаты вычислений можно оформить в виде таблицы.

Пример 1 . Исследуйте на экстремум и монотонность функцию

1. Функция определена в интервале .

3. существует в и обращается в нуль в точках .

4. В интервале функция убывает; в интервале функция возрастает; в интервале функция убывает. Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума. При переходе же через точку производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому — точка максимума функции.

Производная

Она спешит на помощь быстрее, чем Чип и Дейл. Она наш спасательный круг в океане математики. Давайте посмотрим, как производная способна на такие чудеса.

Производная

Функции достаточно часто встречаются при решении задач. Они могут быть как составными частями какого-то задания, так и отдельным номером. Разумеется, встречаются не только простые функции. Если открыть банк заданий, то мы удивимся, насколько сложными они бывают. Так что делать с такими сложными и непонятными функциями?

Производная — одно из самых важных понятий математического анализа. С ее помощью можно описать поведение любой функции.

Представим наши американские горки в виде функции.

Функция будет на некоторых участках возрастать, а на некоторых убывать. Скорость ее изменения на разных участках будет разной.

Скорость изменения функции показывает, насколько сильно будет изменяться значение функции (то есть значение у) при небольшом изменении переменной функции (то есть значения х).

Отложим на нашем графике две точки: х и х₁ и поднимем из них прямые, которые пересекут график в точках А и В. Тогда точка А будет иметь координаты (х;у), а точка В — (х₁;у₁).

Представим, что наш вагончик проехал из точки А в точку В. Расстояние, которое он проехал по горизонтали, будет равно х₁ — х, а поднялся он на высоту у₁ — у. Для удобства дальнейших рассуждений примем эти расстояния за х и у.

Знак Δ “дельта” — означает изменение величины, то есть разность между тем, что было в точке А и стало в точке В.

Теперь мы можем ввести определение приращения.

Приращение функции — это разность между двумя значениями функции, то есть у.

Приращение аргумента — это разность между двумя значениями аргумента, то есть х.

Скорость изменения функции будет равна отношению приращения функции к приращению аргумента. При этом чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее мы приблизимся к верному значению.

Отсюда мы получаем определение производной функции.

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Производную функции обозначают как f'(x).

\(f'(x) = \frac\: при\: \Delta x \rightarrow 0\)

Если мы применим одинаковое приращение аргумента к разным участкам функции, то заметим, что приращение функции также будет разное. Где-то значение у изменится больше, где-то меньше. Именно так изменяется скорость функции на разных ее участках.

Нахождение производной называется дифференцированием.

Допустим, мы выложили видео в соцсеть. Сначала было совсем невесело: за первый час всего один просмотр. За второй час ситуация сильно не изменилась — добавилось лишь 3 просмотра. Мы скинули ссылку на видео в чат друзей, и за третий час количество просмотров дошло до 9, а за четвертый час — до шестнадцати.

Возможно, ситуация не очень похожа на правду, и мы бы сразу попали в топ. Но пусть будет так для удобства цифр.

В результате мы имеем функцию, которая показывает, как количество просмотров менялось во времени.

Теперь зададимся вопросом: как быстро росла популярность у нашего ролика?

Чтобы это выяснить, мы возьмем две соседние точки на графике и посчитаем:
1) как изменилось количество просмотров между этими точкам (Δ количества просмотров);
2) как изменилось время между этими точками (Δ времени);
3) затем разделим Δ просмотров на Δ времени.

Получается, что “производительность” нашего видео была 5 просмотров в час.

Геометрический смысл производной

Достроим прямоугольный треугольник АВС. Заметим, что отношение \(\frac = tg(BAC)\), то есть равняется отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Иначе это отношение можно записать как \(tg(BAC) = \frac\).

Поскольку в этом примере мы взяли достаточно большое расстояние между значениями х, то АВ — секущая. Если мы будем сокращать расстояние между значениями аргумента, то две точки на графике будут ближе друг к другу, а секущая будет стремиться к касательной.

Следовательно, мы можем описать скорость изменения функции через тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке.

Из этих рассуждений мы можем вывести геометрический смысл производной:

Если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона.

Рассмотрим касательную отдельно. Это прямая, которая имеет уравнение y = kx+b, где к — коэффициент наклона.

Тогда мы получаем следующее уравнение:

Знак производной

Построим графики двух прямых с разным углом наклона. Пусть в первом случае k = 1, а во втором k = -1. Тогда получаем графики функций у = х и у = -х.

Заметим, что тангенс угла наклона имеет разные значения в этих случаях: tg(a) = -1 и tg(a) = 1.

Теперь достроим к касательным графики функций. В первом случае точка, к которой проведена касательная, будет лежать на участке функции, на котором она убывает. Во втором случае точка касания будет лежать на возрастающем участке функции.

Чтобы определить, убывает или возрастает функция, нужно посмотреть на ее наклон на участке.

Вспомним американские горки: пусть по функции будет слева направо ехать вагончик. В участках, где вагончик будет подниматься на гору, функция возрастает, а где вагончик съезжает с горки — функция убывает.

Из этих рассуждений мы можем вывести зависимость знака функции и знака производной.

1. Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке положительна.

В этом случае касательная к функции также будет возрастать.

f'(x) = tg(a). Если tg(a) > 0, то и f'(x) > 0.

2. Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда производная в данной точке отрицательна.

В этом случае касательная к функции будет убывать.

3. Если касательная к функции параллельна оси абсцисс, то производная в этой точке равна 0.

Поскольку прямая будет параллельна оси абсцисс, то у нее не будет угла наклона, а следовательно: k = tg(a) = 0 = f'(x).

Такие точки называются стационарными, это точки экстремума или седловые точки.

Подведем итог.
Знак производной определяется по изначальной функции:

• если функция возрастает, то производная положительна;
• если функция убывает, то производная отрицательна;
• в точках, где функция не возрастает и не убывает (стационарные точки), производная равна 0.

Точки экстремума

Как уже было сказано ранее, производная функции может равняться 0. Она принимает такое значение в точках экстремума.

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке.

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.

На рисунке видно, что точки А и В являются экстремумами. Например, до точки А функция будет возрастать, а после нее уже убывать, то есть наибольшее значение эта функция достигнет именно в точке экстремума.

Если вспомнить наш вагончик, то в точке А он достигнет наибольшую высоту над землей.

Во втором случае аналогичные рассуждения, но функция достигает уже наименьшее значение в точке В.

В теме производной есть такие термины, как “точка минимума” и “точка максимума”.

Точка минимума — это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

В этой точке знак функции меняется с отрицательного на положительный (то есть сначала функция убывала, а потом начала возрастать). Это точка В.

Точка максимума — это точка, в которой достигается максимальное значение функции на отрезке.

В этой точке знак функции меняется с положительного на отрицательный (то есть сначала функция возрастала, а потом стала убывать). Это точка А.

Также с точками экстремума связаны наибольшее и наименьшее значение функции.

Важно! Следует вспомнить, что когда мы говорим о значении функции, то имеем в виду значение ординаты, то есть у (или f(x)).

Наибольшее значение функции — точка на оси ординат, в которой достигается наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Например, в точке А будет достигаться наибольшее значение функции.

Наименьшее значение функции — точка на оси ординат, в которой достигается наименьшее значение функции на заданном отрезке.

В точке В будет достигаться наименьшее значение функции.

Физический смысл производной

Предположим, что некоторая точка движется прямолинейно, и ее путь можно описать по закону х(t). То есть за определенное время t точка пройдет расстояние х.

А теперь вспомним формулу скорости: \(v = \frac\).

Чтобы найти среднюю скорость на каком-то участке пути точки, нужно разделить весь путь на все время, или \(v_ = \frac\). Таким образом, мы пришли к определению производной.

Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t. x'(t) = v

Также вспомним, что скорость тела зависит от его ускорения. Тогда, применяя аналогичные рассуждения, получаем:

Производную можно брать несколько раз. Например, если мы дважды возьмем производную от x(t), то получим ускорение точки:

Как найти скорость и ускорение точки с помощью производной?

Для этого необходимо воспользоваться физическим смыслом производной: производная от функции равна скорости движения некоторого тела. Производная от скорости равна ускорению тела.

Фактчек

• Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Скорость изменения функции равняется отношению приращения функции к приращению аргумента. Нахождение производной называется дифференцированием.
• Если провести касательную к функции в некоторой функции, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. Это геометрический смысл производной.
• Производная будет положительна на участках возрастания функции и отрицательна на участках убывания. В стационарных точках (точки экстремума и седловые точки) производная будет равна 0.
• Точка минимума — точка, в которой достигается минимальное значение на заданном отрезке, точка максимума — точка, в которой достигается максимальное значение.
• Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t.

Термины

Абсцисса — координата определенной точки на оси Х.

Ордината — координата определенной точки на оси У.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое приращение функции?

1. Разность между значениями у;
2. Разность между значениями х;
3. Сумма значений у;
4. Сумма значений х.

Задание 2.
Чему равна производная?

1. Котангенсу угла наклона касательной;
2. Тангенсу угла наклона касательной;
3. Синусу угла наклона касательной;
4. Косинусу угла наклона касательной.

Задание 3.
Как меняется знак производной в точке максимума?

1. Знак производной не меняется;
2. Производная всегда равна 0 и не имеет знака;
3. Знак меняется с положительного на отрицательный;
4. Знак меняется с отрицательного на положительный.

Задание 4.
В каком случае функция будет возрастать?

1. Если производная положительна;
2. Если производная отрицательна;
3. Если производная равна 0;
4. Ни один из вышеперечисленных случаев.

Задание 5.
Какая величина получится, если дважды взять производную у функции?

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 1 5. — 1