Что такое множество в программировании

Программирование. Множества Pascal-Паскаль

Еще одним фундаментальным классом данных являются данные, структурированные в виде множеств.

О перечисляемых типах

Мы уже рассматривали три скалярных типа, которые, в принципе, являются перечисляемыми типами, – это boolean, char и integer. В самом деле, ведь каждый из этих типов можно задать следующим образом:

type
Boolean= (false, true);
char= #0..#255;
integer= -32768..32767;

(Представление #xxx означает, что должен быть взят символ, чей код в таблице ASCII равен xxx).

Это базовые типы, которые не требуется задавать каждый раз, уже определены в системе именно таким образом. Кроме них имеется еще несколько интервальных типов, с некоторыми из которых мы знакомы:

shortint>= -128..127;
longint= -2147483648..247483647;
byte= 0..255;
word= 0..65535;

Переменные, имеющие эти типы, могут принимать значения, лежащие в границах соответствующих интервалов.

Для работы с перечисляемыми типами существуют следующие функции, которые хранятся в библиотеке системных функций, и программист имеет к ним доступ:

ord(N) – возвращает номер элемента N в множестве;
succ(N) – возвращает следующее значение для N;
pred(N) – возвращает предыдущее значение для N.

Пользователь имеет возможность описать собственный перечисляемый тип данных. В общем виде это описание выглядит так:

В скобках перечисляются все возможные значения, которые может принимать переменная данного типа. Следует запомнить, что названия значений нельзя давать по-русски(это важно!).

Например, мы можем описать тип данных color и перечислить семь основных цветов:

type
color=(red, orange, yellow, green, blue, magenta);

При этом значения получают номера в порядке их перечисления, начиная с 0. Поэтому для данного типа справедливыми будут отношения элементов:

red < orange< yellow< green< blue< magenta;
ord(red)=0;
succ(blue)= magenta;
pred(green)=yellow;

Множественный тип данных Паскаля

Множественный тип данных Паскаля напоминает перечислимый тип данных. Вместе с тем множественный тип данных – набор элементов не организованных в порядке следования.

В математике множественный тип данных – любая совокупность элементов произвольной природы. Операции, которые производятся над множествами, по существу заключаются во включении и исключении элементов из множества.

Понятие множества в языке программирования значительно уже математического понятия.

В Паскале под множественным типом понимается конечная совокупность элементов, принадлежащих некоторому базовому типу данных.

В качестве базовых типов могут использоваться:

• перечислимые типы;
• символьный;
• байтовый;
• диапазонные на основе вышеперечисленных.

Такие ограничения связаны с формой представления множественного типа данных в Паскале и могут быть сведены к тому, чтобы функция ord() для используемого базового типа лежала в пределах от 0 до 255.

После того, как базовый тип задан, совокупность значений соответствующего множественного типа данных определяется автоматически. В нее входят все возможные множества, являющиеся произвольными комбинациями значений базового типа. Все эти множества являются отдельными значениями определенного множественного типа данных.

Описание множественного типа данных Паскаля

Type = set of
Пример множественного типа данных Паскаля
Type symbol= set of char;
Var letter, digits, sign: symbol;

Для того чтобы придать переменной множественного типа значение, используют конструктор множества – перечисление элементов множества через запятую в квадратных скобках. Например,

Конструктор множества может содержать диапазон значений базового типа. Тогда во множества включаются все элементы диапазона. Например,

digits:= [‘0’ .. ‘9’];
letter:= [‘a’ .. ‘z’];

Обе формы конструирования множеств могут сочетаться. Например,

letter:= [‘a’ .. ‘z’, ‘A’ .. ‘Z’];

Конструктор вида [] обозначает пустые множества.

В программе можно использовать множественны тип как константы, в этом случае их определяют следующим способом:

Const YesOrNo= [‘Y’, ‘y’, ‘N’, ‘n’];

Можно множественный тип определить как типизированную константу:

Const digits: set of char= [‘0’ .. ‘9’];

При описании множественного тип как констант допускается использование знака “+” (слияние множеств). Например,

Const Yes= [‘Y’, ‘y’]; No= [‘N’, ‘n’];
YesOrNo= Yes+ No;

Операции над множественными типами Паскаля

С множественными типами Паскаля можно выполнять действия объединения, исключения и пересечения.

Объединение множественных типов содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному множеству, при этом каждый элемент входит в объединение только один раз. Операция объединения множеств обозначается знаком ‘+’.

Пример множественных типов Паскаля

Возможно объединять множественные типы и отдельные элементы. Например,

small:= [‘c’ .. ‘z’];
small:= small + [‘a’] +[‘b’];

Исключение определяется как разность множественных типов, в котором из уменьшаемого исключаются элементы, входящие в вычитаемое. Если в вычитаемом есть элементы, отсутствующие в уменьшаемом, то они никак не влияют на результат. Операция исключения обозначается знаком ‘-‘.

Пример исключения множественных типов Паскаля

letter:= [‘a’ .. ‘z’];
glasn:= [‘a’, ‘e’, ‘o’, ‘u’, ‘i’, ‘y’];
soglasn:= letter-glasn;

Пресечение множественных типов– множества, содержащие элементы, одновременно входящие в оба множества. Операция пересечения множеств обозначается знаком ‘*’.

Пример пересечения множественных типов

Type chisla= set of byte;
Var z,x,y: chisla;
………..
x:= [0..150];
y:= [100..255];
z:= x*y

Операции отношения множественных типов Паскаля

Наряду с рассмотренными выше операциями, над значениями множественного типа определены и некоторые операции отношения. Операндами операций над множественными значениями в общем случае являются множественные выражения. Среди операций отношения над значениями множественного типа особое место занимает специальная операция проверки вхождения элемента во множества, обозначаемая служебным словом in. В отличие от остальных операций отношения, в которых значения обоих операндов относятся к одному и тому же множественному типу значений, в операции in первый операнд должен принадлежать базовому типу, а второй – множественному типу значений, построенному на основе этого базового типа. Результатом операции отношения, как обычно, является логическое значение (true или false).

‘a’ in glasn значение операции true;
‘o’ in soglasn значение операции false;

Операция сравнения на равенство множественных типов Паскаля. Множества считаются равными (эквивалентными), если все элементы одного множества присутствуют в другом и наоборот. Для операции сравнения на равенство или неравенство используются символы ‘=’ и ‘<>‘.

A:= [2,1,3];
D:= [1,3,2];

Тогда операция A=D имеет значение true, а операция A<>D имеет значение false.

Проверка включения. Одно множество считается включенным в другое (одно множество является подмножеством другого), если все его элементы содержатся во втором множестве. Обратное утверждение может быть и несправедливым. Операции проверки включения обозначаются ‘=’.

letter >= glasn;
soglan

Программирование

Исходники Pascal (127)

Справочник

Справочник по паскалю: директивы, функции, процедуры, операторы и модули по алфавиту

Учебники. Программирование для начинающих.

Programm.ws — это сайт, на котором вы можете почитать литературу по языкам программирования , а так-же посмотреть примеры работающих программ на С++, ассемблере, паскале и много другого..

Программирование — в обычном понимании, это процесс создания компьютерных программ.
В узком смысле (так называемое кодирование) под программированием понимается написание инструкций — программ — на конкретном языке программирования (часто по уже имеющемуся алгоритму — плану, методу решения поставленной задачи). Соответственно, люди, которые этим занимаются, называются программистами (на профессиональном жаргоне — кодерами), а те, кто разрабатывает алгоритмы — алгоритмистами, специалистами предметной области, математиками.
В более широком смысле под программированием понимают весь спектр деятельности, связанный с созданием и поддержанием в рабочем состоянии программ — программного обеспечения ЭВМ. Более точен современный термин — «программная инженерия» (также иначе «инженерия ПО»). Сюда входят анализ и постановка задачи, проектирование программы, построение алгоритмов, разработка структур данных, написание текстов программ, отладка и тестирование программы (испытания программы), документирование, настройка (конфигурирование), доработка и сопровождение.

Ассемблер — примеры и задачи

Глава 2. Сложные структуры данных

Множество

Соня закрыла глаза и задремала. Но тут Болванщик
ее ущипнул, она взвизгнула и проснулась.
—. начинается на М, — продолжала она. — Они
рисовали мышеловки, математику, множество.
Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?
— Множество чего? — спросила Алиса.
— Ничего, — отвечала Соня. — Просто множество!
— Не знаю, — начала Алиса, — может.
— А не знаешь — молчи, — оборвал ее Болванщик.
Льюис Кэрролл. «Алиса в стране чудес»

Множество как структура уровня представления является совокупностью различных объектов, которые могут либо сами являться множествами, либо представлять собой неделимые элементы, называемые атомами.
Множество как структура уровня хранения реализуется двумя способами:
ш простым — в виде данных перечислимого типа; в языках высокого уровня этот тип данных реализуют с помощью типа «множество» (в Pascal) или констант перечислимого типа (в С);
ш сложным — в виде вектора или связного списка.
Отличие этих двух способов в том, что данные перечислимого типа ограниченно поддерживают понятие множества, представляя собой совокупность объектов, которым сопоставлены некоторые значения. При реализации множеств с помощью вектора или связного списка становится возможным реализовать именно математическое понятие множества, согласно которому, над множествами определен ряд операций: объединение, пересечение, разность, слияние, вставка (удаление) элемента и т. д. С данными перечислимого типа эти операции невозможны.
В языке ассемблер также есть средства, позволяющие реализовать оба способа представления множеств. Так, описание данных перечислимого типа поддерживаются с помощью директивы enum. Как и в языках высокого уровня, данные перечислимого типа, вводимые этой директивой, являются константами, которым соответствуют уникальные символические имена. Директива enum имеет следующий синтаксис:

символ_имя enum значение[. значение[, значение. ]]

Здесь значение представляет собой конструкцию символ_имя [=число], а символ_ имя — любое символическое имя, не совпадающее с ключевыми словами ассемблера или другими ранее определенными в программе символическими именами. Следующие примеры описания множеств эквивалентны.

week enum Monday.Tuesday,Wednesday,Thursday,Friday,Saturday.Sunday > week enum Monday=0,Tuesday=l. Wednesday^. Thursday=3. Fri day=4.Saturday=5.Sunday=6 week enum Monday=0,Tuesday.Wednesday,Thursday.Fri day.Saturday.Sunday week enum Sunday=6.Monday=0,Tuesday,Wednesday.Thursday,Fri day.Saturday

Перечисление элементов множества может занимать несколько строк в программе.
Транслятор будет отводить под размещение каждого элемента множества столько байтов, сколько требуется для размещения значения самого большого элемента в этом множестве (байт, слово, двойное слово).
Если при описании очередного элемента множества число в некоторой конструкции символ_имя [=число] не задано, то транслятор присвоит этому элементу множества значение, на единицу большее предыдущего. Если ни одного значения не было задано, то первому элементу множества присваивается 0, второму 1 и т. д.
Работа с элементами множества в программе является завуалированной формой использования непосредственного операнда. В этом несложно убедиться, проанализировав листинг трансляции:

5 :задаем множество:
6 =0000 =0001 =0002 + week enum
Monday.Tuesday,Wednesday.Thursday.Fri day.Saturday.Sunday
7 =0003 =0004 =0005 +
8 =0006
20 0005 B8 0006 mov ax,Sunday

Значение символического имени синвол_имя, стоящего слева от директивы enum, равно количеству битов, необходимому для размещения максимального значения элемента справа от директивы enum:

5 ;задаем множество:
6 =0000 =0001 =0002 + week enum
Monday.Tuesday.Wednesday.Thursday,Fri day.Saturday.Sunday
7 =0003 =0004 =0005 +
8 =0006
21 0005 B8 0007 mov ax.week

Перед использованием в программе необходимо определить и инициализировать экземпляр множества:

F_week week Saturday

Размер этой переменной будет соответствовать размеру максимального элемента множества week. Сказанное иллюстрирует фрагмент листинга:

5 :задаем множество:
6 =0000 =0001 =0002 + week enum
Monday.Tuesday,Wednesday.Thursday.Friday.Saturday.Sunday
7 =0003 =0004 =0005 +
8 =0006
9 0000 05 s week Saturday
21 0005 A2 OOOOr movs.al

Хорошо видно, что в данном случае работа с экземпляром множества осуществляется как с байтовой переменной.
Возможности ассемблера для описания множества и работы с ним сложным способом (с помощью векторов и связных списков) будут ясны в ходе дальнейшего изложения.

Алгоритмы и структуры данных для начинающих: множества

Множество — это коллекция, которая реализует основные математические операции над множествами: пересечения (intersection), объединение (union), разность (difference) и симметрическая разность (symmetric difference). Каждый из алгоритмов мы разберем в соответствующем разделе.

Множество

В математике множества — это коллекции объектов, у которых есть что-то общее. Например, мы можем объявить множество четных положительных целых чисел:

Или множество нечетных положительных целых:

В этих двух множествах нет общих элементов. Давайте теперь посмотрим на множество делителей числа 100:

Теперь мы можем узнать, какие делители числа 100 — нечетные, просто глядя на множество нечетных чисел и на множество делителей и выбирая те из чисел, которые присутствуют в обоих. Мы также можем ответить на вопрос: «Какие нечетные числа не являются делителями ста?» или «Какие положительные целые, четные или нечетные, не являются делителями ста?».

На первый взгляд это кажется не очень полезным, но это искусственный пример. Предположим, что у нас есть множество всех работников предприятия и множество работников, прошедших ежемесячную проверку. Тогда мы с легкостью сможем ответить на вопрос: «Кто из работников не прошел проверку?».

Мы также можем добавить различные множества и построить более сложный запрос, например: «Кто из штатных работников отдела продаж, имеющих корпоративную кредитную карточку, не прошел обязательный курс повышения квалификации?».

Класс Set

Класс Set реализует интерфейс IEnumerable и принимает аргумент типа, который является наследником IComparable , так как для работы алгоритмов нужна проверка элементов на равенство.

Элементы нашего множества будут храниться в экземпляре стандартного класса .NET List , но на практике для хранения обычно используются древовидные структуры, например, двоичное дерево поиска. Выбор внутреннего представления будет влиять на сложность алгоритмов работы с множеством. К примеру, при использовании списка метод Contains будет выполняться за O(n) времени, в то время как множество, реализованное с помощью дерева, будет работать в среднем за O(log n) времени.

Кроме методов для работы с множеством класс Set также имеет конструктор, который принимает IEnumerable с начальными элементами.

Метод Add

• Поведение: Добавляет элементы в множество. Если элемент уже присутствует в множестве, бросается исключение InvalidOperationException .
• Сложность:O(n)

При реализации метода Add необходимо решить, будем ли мы разрешать дублирующиеся элементы. К примеру, если у нас есть мнжество:

Если пользователь попытается добавить число 3, в результате получится:

В некоторых случаях это допустимо, но в нашей реализации мы не будем поддерживать дубликаты. Если представить, например, множество студентов колледжа, было бы нелогичным добавлять в него одного и того же студента дважды. На самом деле, попытка добавить элемент, который уже присутствует — скорее всего ошибка, и наша реализация класса Set воспринимает ее именно так.

Метод Add использует метод Contains , который будет рассмотрен далее.

Метод AddRange

• Поведение: Добавляет несколько элементов в множество. Если какой-либо из добавляемых элементов присутствует в множестве, или в добавляемых элементах есть дублирующиеся, выбрасывается исключение InvalidOperationException .
• Сложность:O(m·n), где m — количество вставляемых элементов и n — количество элементов множества.

Метод Remove

• Поведение: Удаляет указанный элемент из множества и возвращает true . В случае, если элемента нет, возвращает false .
• Сложность:O(n)

Метод Contains

• Поведение: Возвращает true , если множество содержит указанный элемент. В противном случае возвращает false .
• Сложность:O(n)

Метод Count

• Поведение: Возвращает количество элементов множества или 0, если множество пусто.
• Сложность:O(1)

Метод GetEnumerator

• Поведение: Возвращает итератор для перебора элементов множества.
• Сложность: Получение итератора — O(1), обход элементов множества — O(n).

Алгоритмы

Метод Union

• Поведение: Возвращает множество, полученное операцией объединения его с указанным.
• Сложность:O(m·n), где m и n — количество элементов переданного и текущего множеств соответственно.

Объединение множеств — это множество, которое содержит элементы, присутствующие хотя бы в одном из двух.

Например, есть два множества (выделены красным):

При операции объединения выбираются элементы обоих множеств. Если элемент присутствует в обоих множествах, берется только одна его копия. Объединение двух множеств показано желтым цветом.

Такая диаграмма, наглядно показывающая операции над множествами, называется диаграммой Венна.

Другой пример с использованием множеств целых чисел:

Метод Intersection

• Поведение: Возвращает множество, полученное операцией пересечения его с указанным.
• Сложность:O(m·n), где m и n — количество элементов переданного и текущего множеств соответственно.

Пересечение множеств содержит только те элементы, которые есть в обоих множествах. Используя диаграмму Венна, пересечение можно изобразить так:

Или, используя целые числа:

Метод Difference

• Поведение: Возвращает множество, являющееся разностью текущего с указанным.
• Сложность:O(m·n), где m и n — количество элементов переданного и текущего множеств соответственно.

Разность множеств — это все элементы, которые содержатся в одном множестве (том, у которого вызывается метод), но не содержатся в другом (том, которое передается аргументом). Диаграмма Венна для разности множеств будет выглядеть так:

Или, используя целые числа:

Метод Symmetric Difference

• Поведение: Возвращает множество, являющееся симметрической разностью текущего с указанным.
• Сложность:O(m·n), где m и n — количество элементов переданного и текущего множеств соответственно.

Симметрическая разность — это все элементы, которые содержатся только в одном из рассматриваемых множеств. Диаграмма Венна для симметрической разности будет выглядеть так:

Или, используя целые числа:

Вы, возможно, заметили, что симметрическая разность — это «пересечение наоборот». Учитывая это, давайте попробуем найти ее, используя уже имеющиеся операции.

Итак, мы хотим получить множество, которое содержит все элементы из двух множеств, за исключением тех, которые есть в обоих. Другими словами, мы хотим получить разность объединения двух множеств и их пересечения.

Или, если рассматривать по шагам:

Что дает нам нужный результат: [1, 2, 5, 6] .

Метод IsSubset

Вы, возможно, интересуетесь, почему мы не добавили метод IsSubset , который проверяет, содержится ли одно множество целиком в другом. Например:

Дело в том, что эту проверку можно провести, используя имещиеся методы. К примеру:

Пустое множество в результате говорит нам о том, что все элементы первого множества содержатся во втором, а значит, первое является подмножеством второго. Другой способ проверить это:

Если в результате мы получим множество с таким же количеством элементов, что и изначальное, значит, оно является подмножеством второго.

В общем случае, конечно, класс Set может иметь метод IsSubset (который может быть реализован более эффективно). Однако стоит помнить, что это уже не какая-то новая возможность, а просто другое применение существующих.

Продолжение следует

На этом все, а в следующий раз мы перейдем к заключительной теме этого цикла статей — алгоритмам сортировки.

Перевод статьи «The Set Collection»

Теория множеств — PHP: Массивы

В программировании математика встречается на каждом шагу. Особенно часто приходится работать с теорией множеств. В этом уроке мы изучим эту тему. Она намного проще и понятнее, чем кажется на первый взгляд — как минимум, мы постоянно используем ее элементы в обычной жизни.

Что такое множество

Начнем с основного понятия — это множество. Этим термином называют совокупность объектов произвольной природы, которую мы рассматриваем как единое целое. Множеством можно назвать группу людей на автобусной остановке, жильцов одного дома или граждан одной страны. Это может быть любой набор любых объектов, которые мы хотим рассматривать как единое целое.

Возьмем для примера десять арабских цифр — это множество из десяти элементов. Мы знаем, что множество арабских цифр содержит ограниченное количество элементов, поэтому это конечное множество. Существуют и бесконечные множества — например, натуральные числа.

Среди натуральных чисел можно выделить целые числа. Это одно множество внутри другого, то есть все элементы одного множества также входят в другое множество. По отношению к друг другу они называются подмножеством и надмножеством:

Удобно показывать множества на таких круговых схемах — так сразу видно, как они соотносятся друг с другом.

Операции над множествами

Главное в теории множеств — это операции над ними, в том числе:

• Пересечение
• Объединение
• Разность (дополнение)
• Принадлежность множеству

Пересечение

В математике пересечением двух множеств называется множество, в которое входят элементы, встречающиеся в обоих множествах одновременно.

Чтобы реализовать пересечение, можно воспользоваться функцией array_intersect() :

 $friends1 = ['vasya', 'kolya', 'petya']; $friends2 = ['igor', 'petya', 'sergey', 'vasya', 'sasha']; array_intersect($friends1, $friends2); // ['vasya', 'petya'] 

Эта функция принимает любое количество массивов, поэтому с ее помощью можно находить пересечение любого количества массивов за один вызов.

Объединение

Объединением двух множеств называется множество, в которое входят элементы обоих множеств.

Чтобы реализовать объединение в PHP, можно соединить две функции — array_merge() и array_unique() :

 $friends1 = ['vasya', 'kolya', 'petya']; $friends2 = ['igor', 'petya', 'sergey', 'vasya', 'sasha']; // Функция array_merge выполняет слияние двух массивов // Обратите внимание, что пока есть повторяющиеся элементы $friends = array_merge($friends1, $friends2); // ['vasya', 'kolya', 'petya', 'igor', 'petya', 'sergey', 'vasya', 'sasha']; // Функция array_unique удаляет повторы $sharedFriends = array_unique($friends); // ['vasya', 'kolya', 'petya', 'igor', 'sergey', 'sasha'] 

Разность (дополнение)

Разностью двух множеств называется множество, в которое входят элементы первого множества, не входящие во второе. В PHP такую операцию выполняет функция array_diff() :

 $friends1 = ['vasya', 'kolya', 'petya']; $friends2 = ['igor', 'petya', 'sergey', 'vasya', 'sasha']; array_diff($friends1, $friends2); // ['kolya'] 

Принадлежность множеству

Еще мы можем проверить, принадлежит ли какой-то элемент конкретному множеству. В этом случае нужна функция in_array() :

 $terribleNumbers = [4, 13]; if (in_array(10, $terribleNumbers))  print_r('woah!'); > 

Множества в программировании

С точки зрения программиста массив очень похож на множество. Если вы будете воспринимать массивы именно так, вам будет проще реализовывать операции над ними.

Когда вы заходите в профиль другого человека в любой социальной сети, вы обычно видите блок «Общие друзья». Представим, что вам нужно реализовать такой блок.

С точки зрения математики, ваши друзья и друзья вашего друга — это два множества. Значит, чтобы найти общих друзей, нужно реализовать пересечение двух исходных множеств. Зная этот факт, вы сможете быстро загуглить фразу intersection of sets in PHP и освежить в памяти документацию функции array_intersect() . То же самое сработает и с другими операциями.

Кстати, не во всех языках есть встроенные функции для работы со множествами. Иногда приходится ставить дополнительные библиотеки или использовать арифметические операторы. Например, объединение множеств в Ruby выглядит так:

coll1 + coll2 

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

• 130 курсов, 2000+ часов теории
• 1000 практических заданий в браузере
• 360 000 студентов

Наши выпускники работают в компаниях: