Как найти внутренний угол зная внешний
Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.
Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах \([0^; 360^]\).
Определение градусной меры дуги окружности
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).
Определение вписанного угла
Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.
Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).
Теорема о вписанном угле
Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.
Угол, опирающийся на диаметр
Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.
\( \angle=90^ \Leftrightarrow \) \(AB\) – диаметр
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу
Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Условие принадлежности четырёх точек одной окружности
Если точки \(C_1\) и \(C_2\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\) и \( \angle=\angle \), то \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности.
\( \angle = \angle \Rightarrow \) \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности
Свойство вписанного четырёхуольника
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180^\).
Признак вписанного четырёхуольника
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^\), то этот четырёхугольник вписанный.
Внешний угол вписанного четырёхуольника
Внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине четырёхугольника.
Угол, образованный хордами
Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.
Угол, образованный касательной и хордой
Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.
Вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой
Если вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой, высекают на окружности одну и ту же дугу, то они равны.
Угол с вершиной на окружности
Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.
Угол с вершиной в круге
Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.
Угол, образованный секущими
Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.
$$ \alpha=\frac\left(\overset-\overset\right) $$
Угол, образованный касательными
Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.
$$ \alpha=\frac\left(\overset-\overset\right) $$
Угол, образованный касательной и секущей
Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.
$$ \alpha=\frac\left(\overset-\overset\right) $$
Признак касания прямой и окружности
Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.
$$ \alpha=\frac\left(\overset-\overset\right) $$
Угол с вершиной вне круга
Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.
Внешние углы треугольника
Вот такая вот просьба: Здравствуйте! Помогите пожалуйста. Определите, является ли треугольник АВС тупоугольным, если два его внешних угла равны 135 и 160 градусов.
Понятие тупых углов в треугольнике — это тот мусор, который уже давно пора выбросить из математики. Спросите у любой блондинки, она когда-нибудь одевает свое платье наизнанку? Она его всегда носит так, как положено. А вот математики углы в треугольниках меряют и так, и сяк. Получается, блондинки умнее математиков — они умеют правильно пользоваться вещами.
Передо мной нет школьного учебника и я не знаю, как правильно нужно решать эту задачу. Можно решить двумя способами — на лицо и на изнанку. Начнем с того, что по уверениям математиков, сумма внешнего и внутреннего углов в любой вершине треугольника равна 180 градусов. Картинку я здесь рисовать не буду, она есть на другой странице — нечего распространять заразу невежества, даже если оно математическое.
Для нормального решения нужно от внешних углов треугольника перейти к внутренним и найти величину третьего угла. Считаем:
180 — 135 = 45 градусов
180 — 160 = 20 градусов
И так, у нас есть два угла треугольника. Является ли он тупоугольным? Судя по этим двум углам — нет. Напоминаю, что тупоугольным называется треугольник, у которого один угол тупой. Тупой не в смысле умственных способностей, а в смысле количества градусов. Если угол перебрал больше 90 градусов, то его принято считать тупым. Ой! Опять что-то не то. Ну, короче, вы поняли. Кто не понял — открываем учебник и зубрим тупой угол.
Так вот, два угла у нас острых. А третий? Вот тут нам на помощь приходит теорема (или как там её математики называют) о сумме углов треугольника. Как бы это не называлось, но сумма углов любого треугольника всегда равна 180 градусов. Напоминаю, свое платье мы одеваем сейчас нормально, поэтому речь здесь идет о внутренних углах треугольника. Зная величину двух углов, найти третий — задачка для малявок.
180 — 45 — 20 = 115 градусов
Треугольник у нас тупоугольный, поскольку третий угол больше 90 градусов и является тупым. Не по жизни тупым, а просто тупым, как отдельные представители отдельных наук.
Теперь решаем эту же задачу, только наизнанку. Пусть блондинки посмеются над такими математиками, как мы. И так, сумма внешнего и внутреннего углов в каждой вершине треугольника равна 180 градусов. Сколько у нас вершин? Правильно — три. Треугольник всё-таки, не хухры-мухры. Считаем, чему равна сумма внешних и внутренних углов? Три вершины по 180 градусов… Итого:
3*180 = 540 градусов
Если калькулятор нам не врет. Выше мы уже говорили, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов. Отнимаем её от общей суммы:
540 — 180 = 360 градусов
Получается, что сумма внешних углов треугольника равна 360 градусов. Ведь только она у нас и осталась, внутренние углы из суммы мы уже выбросили. Любой шустрый математик в подобных случаях громогласно заявляет: «Теорему о сумме внешних углов треугольника можно считать доказанной!».
Теперь вывернем наизнанку тупоугольный треугольник и посмотрим, как должен выглядеть он. Если один внутренний угол у него должен быть больше 90 градусов, значит этот же внешний угол должен быть меньше 90 градусов. Давайте считать по внешним углам:
360 — 135 — 160 = 65 градусов
Калькулятор утверждает, что даже наизнанку наш треугольника всё равно тупоугольный. Не знаю, как вам, а мне математика наизнанку совсем не нравится. В приличном обществе это моветон, всё равно что одежду наизнанку носить.
P.S. Кстати, математики даже понятие внутреннего угла наизнанку толком вывернуть не могут. Если рассуждать «интуитивно понятно», то внешний угол — это то, что мы можем измерить снаружи, то есть 360 градусов минус внутренний угол. Как меряют талию у блондинок? Становятся перед нею и вытянутыми вперед руками пытаются что-то там сделать.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.
При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:
Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:
Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:
Из этого следует, что
Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:
Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Сумма внешних углов
Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°
Рассмотрим треугольник ABC:
Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:
(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.
Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Тема урока: «Внешний угол треугольника»
Цели урока: познакомить учащихся с новым понятием — «внешний угол треугольника»; доказать свойство внешнего угла треугольника; закрепить это свойство при решении задач.
Оборудование: кодоскоп или мультипроектор, с помощью которого на доске демонстрируются те же задания, что и у учащихся на листах с печатной основой.
Ход урока
Актуализация знаний, необходимых для введения нового понятия
Задание 1. Постройте два смежных угла.
Задание 2. а) Постройте угол, смежный данному.
б) Сколько углов, смежных данному, можно построить в каждом случае?
в) Что можно утверждать о величинах смежных углов?
Ответ. Сумма смежных углов равна _____
Задание 3. Постройте углы, смежные углам треугольника CDE.
Введение нового понятия
Определение.Внешним углом треугольника называется угол, _______________ с углом треугольника.
Проверка усвоения признаков понятия
Задание 4. Поставьте рядом с рисунком знак «+», если выделенный угол является внешним углом треугольника.
Ответ. Внешние углы изображены на рисунках ________.
Задание 5. Вычислите неизвестный внешний угол.
Создание проблемной ситуации
Задание 6. Постройте треугольник MPN и внешний угол AMP при вершине M. Заполните таблицу в соответствии с рисунком.