Когда максимальная мощность в цепи

Мощность, выделяемая во внешней цепи с потребителями

Решение задач на экстремум с компьютерной поддержкой

Предлагаемые задачи рассматриваются с учениками 10-х и 11-х классов на заседании школьного физического кружка. Они требуют знаний по теме «Законы постоянного тока», умения исследовать функции на экстремум при помощи производной, а также навыков программирования на компьютере.

ЗАДАЧА 1. Найдите зависимость мощности, выделяемой во внешней цепи, от числа одинаковых потребителей (лампочек), соединённых параллельно. ЭДС источника , его внутреннее сопротивление r.

Пусть сопротивления всех лампочек одинаковы R₁ = R₂ = . = R_n, P – мощность, выделяемая во внешней цепи, P₁ – мощность, выделяемая на каждой лампочке. Очевидно, что P = nP₁; P₁ = I₁ 2 R₁, где I₁ – ток, проходящий через каждую лампочку.

Сила тока в неразветвлённой цепи:

Применяя первое правило Кирхгофа, имеем

С учётом (2) имеем для мощности

Полная мощность, выделяемая во внешней цепи:

Нетрудно заметить , что если n , то P 0. Это означает, что при неограниченном увеличении количества лампочек мы не достигнем бесконечного увеличения мощности, выделяемой во внешней цепи. Напротив, мощность будет стремиться к нулю.

Из формулы (3) следует также, что если r 0, то P n 2 /R. То есть, если источник тока идеален (r = 0), то мощность возрастает прямо пропорционально числу потребителей в цепи. Но внутреннее сопротивление источника тока не может быть равно нулю, поэтому достигнуть бесконечного увеличения мощности во внешней цепи за счёт увеличения числа потребителей невозможно. Напротив, достигнув максимума, мощность, выделяемая во внешней цепи, начнёт уменьшаться с ростом потребителей.

Для получения полной картины зависимости мощности Р от количества потребителей n, можно предложить учащимся построить график зависимости P(n) на компьютере ( = 20 В, r = 0,5 Ом, R₁ = 100 Ом). В рубрике «Дополнительные материалы» на сайте газеты http://fiz.1september.ru приводим авторскую компьютерную программу WATT для построения вышеупомянутой зависимости (среда программирования QBasic, компьютер Celeron1300).

Изменяя внутреннее сопротивление r при неизменных и R₁, делаем вывод: мощность P, выделяемая во внешней цепи, убывает с ростом r. Изменяя R₁ при неизменных и r, делаем вывод: от сопротивления одной лампочки максимум мощности P не зависит. Этот максимум сдвигается вправо при увеличении R₁ и сдвигается влево при уменьшении R₁. Число ламп в цепи, при котором наблюдается максимум мощности, равно n_max = R₁/r. То есть мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна, если внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению цепи: r = R₁/ n_max. Расчётные результаты отлично согласуются с результатами следующей, похожей, задачи.

ЗАДАЧА 2. При каком значении R мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна? ЭДС источника тока , внутреннее сопротивление r.

Получим формулу зависимости мощности P, выделяемой во внешней цепи, от внешнего сопротивления R и исследуем функцию P(r) на экстремум при помощи производной.

По закону Ома для полной цепи, ток I =/(R + r), мощность, выделяемая во внешней цепи:

Найдём критические точки из условия P’ = 0:

Имеем две критические точки R = –r и R = r . Но т.к. R > 0, то R = –r не имеет смысла. Производная P’ меняет знак с «+» на «–» в точке R = r, следовательно, R = r – точка минимума.

Итак, мощность максимальна, если R = r, т.е. внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению. Это означает, что применительно к задаче 1 максимум мощности наблюдается при R = r, но т.к. сопротивление n одинаковых ламп равно R = R₁/n, то r = R₁/n, или n = n_max = R₁/r.

Рассчитаем максимум мощности, используя формулу (3) и условие r = R₁/n:

При = 12 В, r = 0,4 Ом и R₁= 20 Ом имеем n_max = R₁/r = 50 ламп.

Согласно формуле (4), P_max = 90 Вт. Всё это очень хорошо согласуется с результатами компьютерного эксперимента. Кроме того, из этой формулы следует, что максимум мощности зависит от внутреннего сопротивления обратно пропорционально, в чём легко убедиться, используя компьютерную программу WATT, приведённую на сайте газеты http://fiz.1september.ru.

В заключение необходимо сказать, что все выше приведённые выкладки, а также результаты, полученные с помощью компьютерной программы для цепей постоянного тока, справедливы и для цепей переменного тока.

Возможен более современный подход, если использовать для моделирования таблицу МicrosoftExcel. Если R – внешнее сопротивление цепи, то Построим график для тех же данных: 1 = 20 В, r = 0,5 Ом, меняя R от 0,1 до 2,7 Ом с шагом 0,1 Ом. Для этого в ячейку B4 введём формулу =$B$1^2*A4/(A4+$B$2)^2 и скопируем её в ячейки В5–В30. Графики, построенные с помощью таблицы Excel и программы WATT, совпадают (максимум мощности 200 Вт получается, если внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока). В рубрике «Дополнительные материалы» к № 9/2008 на сайте газеты приведена программа «Мощность», аналогичная программе WATT, но на более продвинутом языке VisualBasic6.0, результат расчёта с её помощью, а также таблица МicrosoftExcel.

Сергей Николаевич Карташов – учитель физики высшей квалификационной категории, выпускник физфака МПГУ им. В.И.Ленина 1993 г. Педагогический стаж 14 лет. Ученики Сергея Владимировича занимают призовые места на районных олимпиадах по физике и математике. Педагогическое кредо: моделирование физических процессов на компьютере, индивидуальная работа с сильными детьми. Один закончил физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, ещё один учится в университете им. Н.Э.Баумана. В 2002 г. Сергей Владимирович был награждён почётной грамотой МОиН РФ. Женат, сыну 3,5 года. Хобби: шахматы, решение олимпиадных задач по физике и математике, кулинария.

Как найти максимальную мощность которая может выделяться.

ЭДС батареи \(\varepsilon = 24\) В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, \(> = 10\) А. Определить максимальную мощ­ность \(>\), которая может выделяться во внешней цепи.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

• скалярная характериска электрического тока i; равна отношению заряда Δq, переносимого через поперечное сечение проводника за время Δt, i = Δq/Δt

• один или несколько приемников электрической энергии, соединительных проводами и различные вспомогательные устройства, так же включенные в эту цепь

• физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена

• скалярная величина, характеризующая способность стороннего поля и индуктированного электрического поля вызывать электрический ток

Дополнительные материалы

Для данной задачи нет дополнительных материалов

Похожие задачи

Как найти минимальные потери мощности в сети.

От батареи, э. д. с. которой \(\varepsilon = 600\) В, требуется передать энергию на расстояние \(L = 1\) км. Потребляемая мощность \(P = 5\) кВт. Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов \(d = 0,5\) см.

Какое наибольшее сопротивление может иметь линия передачи.

От источника с напряжением \(U = 800\) В необхо­димо передать потребителю мощность \(P = 10\) кВт на некоторое расстояние. Какое наибольшее сопротивление может иметь линия передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10% от передаваемой мощности?

Почему максимальная мощность тока в цепи достигается именно при равенстве внутреннего и внешнего сопротивления в цепи?

Математика так распорядилась. У неё свои законы, которые выполняются. Никто не отменит дважды два это четыре. Аналогично с другими законами. Мощность источника источника тока (не тока) максимальна, когда производная формулы мощности равна нулю. Это будет когда R = r.

Остальные ответы
по сути в практическом смысле внешнее сопротивление равно внутреннему. грубо говоря кпд 100%

Это баланс! Если сопротивление нагрузки меньше внутреннего сопротивления источника, то либо источник сгорит (сломается) либо напряжение просядет и мощность упадет. Все по закону ОМа

вопрос уже задавался 11 (!) лет назад.

P=I^2*R=R*[E/(r+R)]^2.Берем производную и приравниваем к нулю: dP=Е^2[1/(r+R)^2 — 2R/(r+R)^3]=0 Откуда r=R

Теорема о передаче максимальной мощности

Количество энергии, получаемой нагрузкой, является важным параметром в электрических и электронных приложениях. В цепях постоянного тока мы можем представить нагрузку с резистором, имеющим сопротивление R _L Ом. Точно так же в цепях переменного тока мы можем представить его со сложной нагрузкой, имеющей полное сопротивление Z _L Ом.

Теорема о максимальной передаче мощности гласит, что источник постоянного напряжения будет подавать максимальную мощность на резистор переменной нагрузки только тогда, когда сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника.

Аналогично, в теореме о максимальной передаче мощности утверждается, что источник переменного напряжения будет поставлять максимальную мощность для переменной комплексной нагрузки только тогда, когда полное сопротивление нагрузки равно комплексному сопряжению полного сопротивления источника.

В этой главе мы обсудим теорему о максимальной передаче мощности для цепей постоянного тока.

Доказательство теоремы о передаче максимальной мощности

Замените любые двухполюсные линейные сети или цепи на левой стороне резистора с переменной нагрузкой, имеющего сопротивление R _L Ом, эквивалентной цепью Тевенина. Мы знаем, что эквивалентная схема Тевенина напоминает практический источник напряжения.

Эта концепция проиллюстрирована на следующих рисунках.

Количество мощности, рассеиваемой на нагрузочном резисторе, составляет

Замените I = f r a c V T h R T h + R L в приведенном выше уравнении.

P L = l g r o u p f r a c V T h ( R T h + R L ) r g r o u p 2 R L

R i g h t a r r o w P L = V T h 2 l b r a c e f r a c R L ( R T h + R L ) 2 r b r a c e Уравнение 1

Условие для максимальной передачи мощности

Для максимума или минимума первая производная будет равна нулю. Итак, дифференцируем уравнение 1 относительно R _L и сделаем его равным нулю.

f r a c d P L d R L = V T h 2 l b r a c e f r a c ( R T h + R L ) 2 t i m e s 1 − R L t i m e s 2 ( R T h + R L ) ( R T h + R L ) 4 r b r a c e = 0

R i g h t a r r o w ( R T h + R L ) 2 − 2 R L ( R T h + R L ) = 0

R i g h t a r r o w ( R T h + R L ) ( R T h + R L − 2 R L ) = 0

R i g h t a r r o w ( R T h − R L ) = 0

R i g h t a r r o w R T h = R L и л и R L = R T h

Следовательно, условием максимального рассеивания мощности на нагрузке является R L = R T h . Это означает, что если значение сопротивления нагрузки равно значению сопротивления источника, т. Е. Сопротивления Тевенина, то мощность, рассеиваемая на нагрузке, будет иметь максимальное значение.

Значение максимальной передачи мощности

Замените R_L = R_ \: \ & \: P_L = P_ в уравнении 1.

P L , M a x = V T h 2 l b r a c e f r a c R T h ( R T h + R T h ) 2 r b r a c e

P L , M a x = V T h 2 l b r a c e f r a c R T h 4 R T h 2 r b r a c e

R i g h t a r r o w P L , M a x = f r a c V T h 2 4 R T h

R i g h t a r r o w P L , M a x = f r a c V T h 2 4 R L , с т е х п о р к а к R L = R T h

Следовательно, максимальная мощность, передаваемая нагрузке, составляет

P L , M a x = f r a c V T h 2 4 R L = f r a c V T h 2 4 R T h

Эффективность передачи максимальной мощности

Мы можем рассчитать эффективность передачи максимальной мощности, e t a M a x , используя следующую формулу.

e t a M a x = f r a c P L , M a x P S Уравнение 2

• P L , M a x – это максимальное количество энергии, передаваемой нагрузке.
• P S – количество энергии, генерируемой источником.

P L , M a x – это максимальное количество энергии, передаваемой нагрузке.

P S – количество энергии, генерируемой источником.

Количество энергии, генерируемой источником

P S = 2 I 2 R T h + I 2 R L

R i g h t a r r o w P S = 2 I 2 R T h , с R L = R T h

• Замените I = f r a c V T h 2 R T h в приведенном выше уравнении.

Замените I = f r a c V T h 2 R T h в приведенном выше уравнении.

P S = 2 l g r o u p f r a c V T h 2 R T h r g r o u p 2 R T h

R i g h t a r r o w P S = 2 l g r o u p f r a c V T h 2 4 R T h 2 r g r o u p R T h

R i g h t a r r o w P S = f r a c V T h 2 2 R T h

• Подставьте значения P L , M a x и P S в уравнение 2.

Подставьте значения P L , M a x и P S в уравнение 2.

e t a M a x = f r a c l g r o u p f r a c V T h 2 4 R T h r g r o u p l g r o u p f r a c V T h 2 2 R T h r g r o u p

R i g h t a r r o w e t a M a x = f r a c 1 2

Мы можем представить эффективность передачи максимальной мощности в процентах следующим образом:

% e t a M a x = e t a M a x t i m e s 100 %

R i g h t a r r o w % e t a M a x = l g r o u p f r a c 1 2 r g r o u p t i m e s 100 %

R i g h t a r r o w % e t a M a x = 50 %

Следовательно, эффективность передачи максимальной мощности составляет 50% .

пример

Найдите максимальную мощность, которая может быть подана на нагрузочный резистор R _L цепи, показанной на следующем рисунке.

Шаг 1 – В главе «Теорема Тевенина» мы вычислили эквивалентную схему Тевенина с левой стороны клемм A и B. Теперь мы можем использовать эту схему. Это показано на следующем рисунке.

Здесь напряжение Тевенина V T h = f r a c 200 3 V и сопротивление Тевенина R T h = f r a c 40 3 O m e g a

Шаг 2 – Замените часть цепи, которая находится с левой стороны от клемм A и B данной цепи, с вышеуказанной эквивалентной схемой Thevenin. Результирующая принципиальная схема показана на следующем рисунке.

Шаг 3 – Мы можем найти максимальную мощность, которая будет подана на нагрузочный резистор, R _L , используя следующую формулу.

P L , M a x = f r a c V T h 2 4 R T h

Замените V T h = f r a c 200 3 V и R T h = f r a c 40 3 O m e g a в приведенной выше формуле.

P L , M a x = f r a c l g r o u p f r a c 200 3 r g r o u p 2 4 l g r o u p f r a c 40 3 r g r o u p

P L , M a x = f r a c 250 3 W

Следовательно, максимальная мощность, которая будет подаваться на нагрузочный резистор RL данной цепи, составляет m a t h b f f r a c 250 3 W