4.5. Правила Кирхгофа
На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, для расчета которых удобно использовать правила Кирхгофа (рис. 4.22).
Рис. 4.22. Г. Кирхгоф (1824–1887) — немецкий физик
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда и того естественного требования, чтобы при стационарных процессах ни в одной точке проводника не накапливались и не уменьшались заряды. Это правило относится к узлам, то есть к таким точкам в разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников.
Первое правило Кирхгофа гласит:
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, то есть количество зарядов, приходящих в данную точку цепи в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время
При этом токи, подходящие к узлу и отходящие от него, имеют противоположные знаки (рис. 4.23).
Рис. 4.23. Сумма токов, сходящихся в узле равна нулю
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому замкнутому контуру разветвленной цепи.
Второе правило Кирхгофа гласит:
В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре (рис. 4.24)
Рис. 4.24. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef)
Правила Кирхгофа позволяют определить силу и направление тока в любой части разветвленной цепи, если известны сопротивления ее участков и включенные в них ЭДС. Число уравнений, составляемых по первому и второму правилам Кирхгофа, должно равняться числу искомых величин. Используя первое правило Кирхгофа для разветвленной цепи, содержащей m узлов и n ветвей (участков), можно написать (m – 1) независимых уравнений, а используя второе правило, (n – m + 1) независимых уравнений.
Приведем пример расчета токов в разветвленной цепи (рис. 4.25).
Рис. 4.25. Пример разветвленной цепи
Направления действия ЭДС показаны синими стрелками. В этой цепи у нас имеется два узла — точки b и d (m = 2), и три ветви — участок b–а–d с током I1, участок b–d с током I2 и участок b–c–d с током I3 (n = 3). Значит, мы можем написать одно (m – 1 = 2 – 1 = 1) уравнение на основе первого правила Кирхгофа и два (n – m + 1 = 3 – 2 + 1 = 2) уравнения на основе второго правила Кирхгофа. Как же это делается на практике?
Шаг первый. Выберем направления токов, текущих в каждой из ветвей цепи. Как эти направления выбрать — совершенно неважно. Если мы угадали, в окончательном результате значение этого тока получится положительным, если нет и направление должно быть обратным — значение этого тока получится отрицательным. В нашем примере мы выбрали направления токов как показано на рисунке. Важно подчеркнуть, что направления действия ЭДС не произвольны, они определяются способом подключения полюсов источников тока (см. рис. 4.25).
Шаг второй. Записываем первое правило Кирхгофа для всех узлов кроме одного (в последнем узле, выбор которого произволен, это правило будет выполняться автоматически). В нашем случае мы можем записать уравнение для узла b, куда входит ток I2 и выходят токи I1 и I3
Шаг третий. Нам осталось написать уравнения (в нашем случае — два) для второго правила Кирхгофа. Для этого надо выбрать два независимых замкнутых контура. В рассматриваемом примере имеются три такие возможности: путь по левому контуру b–a–d–b, путь по правому контуру b–c–d–b и путь вокруг всей цепи b–a–d–c–b. Достаточно взять любые два из них, тогда для третьего контура второе правило Кирхгофа будет выполнено автоматически. Направление обхода контура роли не играет, но при обходе ток будет браться со знаком плюс, если он течет в направлении обхода, и со знаком минус, если ток течет в противоположном направлении. Это же относится к знакам ЭДС.
Возьмем для начала контур b–a–d–b. Мы выходим из точки b и движемся против часовой стрелки. На нашем пути встретятся два тока, I1 и I2, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода. ЭДС также действует в этом же направлении. Поэтому второе правило Кирхгофа для этого участка цепи записывается как
В качестве второго замкнутого пути для разнообразия выберем путь b–a–d–c–b вокруг всей цепи. На этом пути мы встречаем два тока I1 и I3, из которых первый войдет со знаком плюс, а второй — со знаком минус. Мы встретимся также с двумя ЭДС, из которых войдет в уравнения со знаком плюс, а — со знаком минус. Уравнение для этого замкнутого пути имеет вид
Шаг четвертый. Мы нашли три уравнения для трех неизвестных токов в цепи. Решение произвольной системы линейных уравнений описывается в курсе математики. Для наших целей (цепь достаточна проста) можно просто выразить I3 через I1 из уравнения (4.47)
и подставить (4.48), (4.49) в уравнение первого правила Кирхгофа (4.45). Это уравнение содержит лишь неизвестное I1, которое находится без труда
Подставляя это выражение в (4.48), (4.49), находим соответственно токи I2, I3
Шаг пятый. В найденные формулы подставляют численные значения, коль скоро они заданы. Подсчитаем для примера токи в нашей цепи при одинаковых сопротивлениях R1 = R2 = R3 = 10 Ом, но разных ЭДС Имеем:
Последнее значение получилось отрицательным при данных численных характеристиках цепи. Значит, на самом деле направление тока обратно показанному на рисунке. Это естественно: мощный левый источник посылает ток 0,75 А, часть которого (0,45 А) ответвляется в среднюю ветвь, а остаток — 0,3 А — продолжает течь в том же направлении, чему не может воспрепятствовать маломощная правая батарея.
Примечание. Правила Кирхгофа позволяют в принципе рассчитать сколь угодно сложные цепи. Но вычисления могут быть довольно сложными. Поэтому рекомендуется сначала поискать возможную симметрию цепи. Иногда из соображений симметрии более или менее очевидно, что какие-то токи равны между собой или какие-то напряжения равны нулю (и тогда данный участок цепи можно исключить из рассмотрения). Если такое возможно, вычисления существенно упрощаются.
В нашем примере мы пренебрегли внутренним сопротивлением источников тока. При их наличии они также должны включаться в уравнения второго правила Кирхгофа.
Пример. Два одинаковых источника тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r соединяются в батарею. Возможны два варианта соединения — последовательное и параллельное (рис. 4.26). При каком соединении ток в нагрузке R будет наибольшим?
Рис. 4.26. Последовательное (1) и параллельное (2) соединение источников тока
Решение. Расчет особенно прост для последовательного соединения: уравнение первого правила Кирхгофа отсутствует, так как в цепи нет узлов. Единственное уравнение второго закона дает
Для упрощения расчета параллельного соединения примем во внимание, что из соображений симметрии токи через источники должны быть равны и совпадать по направлению. Тогда первое правило Кирхгофа дает
Второе правило Кирхгофа, записанное для пути через нижний источник и нагрузку, имеет вид
Отсюда следует, что
Сравнивая (4.53) и (4.56), находим, что при R > r ток последовательной батареи больше (Iпосл > Iпарал) а при R < r он меньше (Iпосл < Iпарал) тока от параллельной батареи. При равенстве внутреннего сопротивления и нагрузки R = r обе батареи дают одинаковый ток.
11. Направление обхода замкнутого контура
Поскольку значение интеграла по замкнутому контуру зависит от направления интегрирования, условимся в качестве Положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается Слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом 
или просто 
, интегрирование в отрицательном направлении — символом 
.
- Главная
- Заказать работу
- Стоимость решения
- Варианты оплаты
- Ответы на вопросы (FAQ)
- Отзывы о нас
- Примеры решения задач
- Методички по математике
- Помощь по всем предметам
- Заработок для студентов
Направление обхода контура как определить
Основные определения, термины
и понятия по военно-технической подготовке
- Военно-техническая подготовка
- Тактитка зенитных ракетных войск
- Боевое применение зенитного ракетного комплекса
1.2. Постоянный ток
1.2.1. Законы Ома.
Закон Ома — эмпирический физический закон, определяющий связь электродвижущей силы источника или электрического напряжения с силой тока и сопротивлением проводника.
В своей оригинальной форме он был записан его автором в виде :
Рис 2. Диаграмма, помогающая запомнить закон Ома. Нужно закрыть искомую величину, и два других символа дадут формулу для её вычисления
1.2.2. Правила Кирхгофа.
Правила Кирхгофа (часто, в литературе, называются не совсем корректно Законы Кирхгофа, название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного и квазистационарного(«почти стационарного») тока.
Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел , ветвь и контур электрической цепи.
Ветвью называют любой двухполюсник, входящий в цепь.
Узлом называют точку соединения трех и более ветвей.
Контур — замкнутый цикл из ветвей. Термин замкнутый цикл означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.
В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.
Первое правило .
Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу равна сумме направленных от узла.
Speech dispatcher что это