Сколько прямых проходит через 3 точки

Сколько прямых проходят через различные пары: а) из 3-х точек; б) из 4-х точек; в) из 5-ти точек; г) из п различных точек, никакие 3 из

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,616
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

• Обратная связь
• Правила сайта

На сколько областей делят плоскость n прямых, среди которых не более n-k коллинеарных? Текст научной статьи по специальности «Математика»

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шнурников Игорь Николаевич

Проективное множество Минковского
Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны правильными орициклическими n-трапециями

О СТРОЕНИИ КОМПЛЕКСОВ M-МЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА $P^n$, СОДЕРЖАЩИХ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ТОРСОВ

О типичных полиномиальных дифференциальных уравнениях второго порядка
Пересечения полиномиальных линий с плоскостями
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «На сколько областей делят плоскость n прямых, среди которых не более n-k коллинеарных?»

УДК 514.144.12, 514.752.5, 514.753.25

НА СКОЛЬКО ОБЛАСТЕЙ ДЕЛЯТ ПЛОСКОСТЬ n ПРЯМЫХ, СРЕДИ КОТОРЫХ НЕ БОЛЕЕ n — k КОЛЛИНЕАРНЫХ?

Оценено число компонент связности дополнения в вещественной проективной плоскости к семейству n ^ 2 различных прямых, из которых в любой точке пересекается не более чем п — к. Если п ^ к ^ к + 3, то число областей не меньше (к + 1 )(п — к). Таким образом, получено новое доказательство теоремы Н. Мартинова, описывающей все пары натуральных чисел (n, f), для которых существует конфигурация n прямых, делящая проективную плоскость на f областей.

Ключевые слова: конфигурации прямых, многоугольные разбиения проективной плоскости.

A number of connective components of the real projective plane, disjoint with the family of n ^ 2 distinct lines is estimated provided at most n — к lines are concurrent. If n ^ к ^к + 3, then the number of regions is at least (k + 1) (n — k). Thus, a new proof of Martinov’s theorem is obtained. This theorem determines all pairs of integers (n, f) such that there is an arrangement of n lines dividing the projective plane into f regions.

Key words: arrangements of lines, polygonal decompositions of projective plane.

Введение. Рассмотрим конечное семейство A из n(A) ^ 2 попарно различных прямых на вещественной проективной плоскости RP2. Семейство прямых разбивает плоскость RP2 на многоугольные области, количество которых обозначим через f (A). Максимальное число прямых из семейства A, пересекающихся в одной точке, обозначим через t(A). Семейства A, состоящие из n(A) = t(A) пересекающихся в одной точке прямых, делят плоскость RP2 на f (A) = n(A) двуугольных областей. Такие тривиальные семейства будем в дальнейшем рассматривать только в теореме Н. Мартинова.

Изучим зависимость множества чисел f (A) от параметров n = n(A), t = t(A) для всех возможных конфигураций A. Перечислим известные результаты по этой теме.

Б. Грюнбаум в книге [1] получил неравенства f(A) ^ 2n — 2 при t ^ n — 1 и f(A) ^ 3n — 6 при t ^ n — 2. Г. Б. Пурди доказал в [2], что если t ^ n — k и n ^ 4k2 + k + 1 для некоторого целого числа k, то

В настоящей работе усилены результаты В. И. Арнольда и Г. Б. Пурди: теорема 1 утверждает, что для нетривиальных конфигураций верно неравенство /(А) ^ 2 , а теорема 2 утверждает, что

Основная часть. Теорема 1. Пусть в нетривиальной конфигурации из п прямых на проективной плоскости в любой точке пересекается не более £ прямых. Тогда число областей проективной плоскости,

получаемых дополнением к эт,ой конфигурации, не меньше 2 .

Доказательство. Конфигурация естественно задает на проективной плоскости структуру клеточного комплекса, вершинами, ребрами и двумерными клетками которого являются точки пересечения

1 Шнурников Игорь Николаевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

прямых, отрезки прямых и высекаемые прямыми области на проективной плоскости. Обозначим их количество через V, е, и / соответственно. Из формулы для эйлеровой характеристики получаем V — е + / = 1. Обозначим через а^ число точек проективной плоскости, через каждую из которых проходит г прямых семейства для 2 ^ г ^ Тогда

V = ^2 а^, е = ^ га*, ^ / = 1 + ^(г — 1)а*. (1)

Число пар различных прямых семейства равно п(п~. С другой стороны, каждая пара прямых пересекается в одной точке и в точке кратности г пересекается ^ пар прямых. Поэтому

^аДг — 1) = п(п — 1). (3)

Искомое неравенство относительно числа областей / мы получим как линейную комбинацию формул (2) и (3). Введем положительные множители а = и /3 = -щ^. Рассмотрим квадратный многочлен относительно г: -ш(г) = а(3 — г) + вг(г — 1) — (г — 1). Так как значения многочлена -ш(г) на концах отрезка [2, £] равны нулю и старший коэффициент в > 0, то -ш(г) ^ 0 для всех 2 ^ г ^ Отсюда, учитывая неотрицательность а^ и формулы (1)—(3), получаем

/ — 1 = ^(г — 1)а^ ^ а ^(3 — г)а^ + в ^ г(г — 1)а» ^ 3а + п(п — 1)в-

Подставляя в полученное неравенство / — 1 ^ 3а+п(п — 1)в явные значения а и в, приходим к неравенству

Теорема 2. Пусть А — нетривиальное семейство, состоящее из п прямых на проективной плоскости, в любой точке которой пересекается не более п — к прямых. Тогда при условии п ^ к2+к 3 семейство А образует не менее (к + 1)(п — к) областей.

Доказательство. Как и раньше, будем использовать следующие обозначения: ¿(А) — максимальная кратность, /(А) — число областей, а^, е(А) — число ребер, v(A) — число вершин. Рассмотрим пять случаев:

1) к + 1 ^ ¿(А) ^ п — к,

3) ¿(А) = к и 2 ^ к ^ 5,

4) ¿(А) = к ^ 6 и ак = 1,

5) ¿(а) = к ^ 6 и ак ^ 2.

Случай 1. Возьмем ¿(А) прямых, проходящих через одну точку. Эти прямые сами по себе делят проективную плоскость на ¿(А) областей. При добавлении к ним еще одной прямой число областей увеличится на число точек пересечения добавленной прямой с предыдущими, т.е. хотя бы на ¿(А). Добавим теперь все остальные прямые семейства. Аналогично получим /(А) ^ ¿(А)(п — ¿(А) + 1). В силу неравенств к + 1 ^ ¿(А) ^ п — к будем иметь ¿(А)(п — ¿(А) + 1) ^ (к + 1)(п — к), и, следовательно, /(А) ^ (к + 1)(п — к).

Случаи 2-4. В случае 2 из семейства А удаляется любая прямая, в случае 4 — прямая, проходящая через точку пересечения к прямых. Число областей при этом только уменьшится. Применим теорему 1 для полученных семейств из п — 1 прямых с максимальной кратностью не более к — 1 в случаях 2 и 4 и для исходного семейства А из п прямых с максимальной кратностью к в случае 3. Тогда будем иметь соответственно / ^ 2(п-1)»-(п-1)+2(к-1) 0 / ^

Докажем следующие неравенства при условии п ^ к2+к 3:

(п — 1)2 — (п — 1) + 2(к — 1) ^ ,, ,, п2 — п + 2к ^ , ,, ,

2—-——- ^ (к + 1)(п — к), 2———^ (к + 1)(п — к) при к ^ 5.

17 ВМУ, математика, механика, № 5

Эти неравенства равносильны неравенствам

2 к2 + 3к + 8 к3 + 3к2 + 6к . . 2 к2 + 4к + 5 к3 + 4к2 + 7к д(п) = п — п—-1—-^ 0 и вуп) = п — п—-1—-^ 0.

Левые части двух последних неравенств суть квадратные трехчлены д(п) и «(п) относительно п, для проверки неотрицательности которых при п ^ + 3 достаточно установить неотрицательность значений

Заметим, что в случаях 2 и 4 верно к ^ 3, поэтому +3) ^ о. При к ^ 5 верно 6 — к ^ 1, и поэтому

+ ^ Итак, во всех случаях 2-4 с помощью теоремы 1 получили неравенство / ^ (А; + 1)(п —

Случай 5. Дано ¿(А) = к ^ 6 и ^ 2. Тогда найдутся хотя бы две точки, в каждой из которых пересекается к прямых. Обозначим эти точки через Р и ф. Рассмотрим последовательность семейств прямых Ао, АЬ. А/, в которой каждое следующее семейство получается из предыдущего добавлением одной прямой из семейства А. Возможны два случая, в зависимости от которых мы определим Ао и А/.

(а) Прямая Рф не принадлежит семейству А. В качестве Ао возьмем 2к-элементное множество прямых, проходящих через точки Р и а в качестве А/ — семейство А. Тогда получается I = п — 2к.

(б) Прямая Рф принадлежит семейству А. За конфигурацию Ао возьмем 2к — 2 прямые, проходящие через точки Р и Q и отличные от прямой Рф. Пусть семейство А/ образуют все прямые из А, кроме прямой Рф. В этом случае I = п — 2к + 1.

Пусть прямая ¿г проходит через шг точек пересечения прямых семейства Ао. Тогда прямая ¿г пересекает прямые семейства Ао в п(Ао) — Шг точках. Пусть ¿г и жг обозначают количество не лежащих на прямых семейства Ао точек пересечения прямой ¿г с прямыми семейства Аг_1, которые принадлежат ровно одной и хотя бы двум прямым семейства Аг_1 соответственно. Все оставшиеся точки пересечения прямой ¿г ровно с одной прямой из Аг_1 лежат на прямых из Ао, поэтому оставшихся точек не более п(Ао) — 2шг. Следовательно, щ ^ п(Ао) — 2— + ¿г. Заметим, что гг ^ шг + жг. Тогда

Д(Аг) — Д(Аг_1) ^ иг — -г — жг ^ п(Ао) — 3шг + ¿г — жг. (4)

На прямой ¿г находится ¿г + жг точек пересечения, не принадлежащих прямым из Ао. Поэтому

/ (Аг) — / (Аг_1) = п(Ао) — — + ¿г + жг. (5)

Сложив формулы (4) и (5) по всем г = 1, 2. ,1, получим

/(А/) — /(Ао) = 1п(Ао) — ^ Шг + ^ ¿г + ^ жг. (7)

Выразим i=1 wi из неравенства (6) и подставим в равенство (7), учитывая R(A/) ^ 0:

Теперь рассмотрим два случая по отдельности.

Случай (а). Прямая Р^ не принадлежит семейству А. Тогда, подставляя в неравенство (8) параметры

п(Ао) = 2Л, I = п — 2Л, /(Ао) = Л2 + 2Л — 1, Я(Ао) = (Л — 1)2 +2, ж, ^ 0, г* ^ 0,

получаем неравенство /(А/) ^ Осталось заметить, что /(А) = /(А/) и что неравенство

4кп-бк^+8к-б ^ ^ _ равносильно неравенству (А; — 3)(п — (ЗА; — 2)) ^ 0, которое выполняется при

данных условиях на п и Л. Поэтому в случае (а) получаем /(А) ^ (Л + 1)(п — Л).

Случай (б). Прямая Р^ принадлежит семейству А. Обозначим через Ъ^ количество точек пересечения прямых семейства А кратности лежащих на прямой Р^ и отличных от точек Р и Тогда количество прямых семейства А, не проходящих через точки Р и равно I = ^^^=2(^ — 1)Ъ^ = п — 2Л + 1. Из определения чисел ж* и г* следует

> Ъз + . + Ък и ^ ж* ^^ С? — 3)Ъ,-. (9)

Вычислим параметры семейства Ао :

п(Ао) = 2Л — 2, /(Ао) = Л2 — 2, Я(Ао) = (Л — 2)2 + 2. (10)

Подставим (9), (10) и формулу /(А) — /(А1) = 2 + ^к=2 Ъj в неравенство (8):

Так как Е^С? ~ Щ = п — 2к + 1 и ^ ^ §(,? — 1) при ] ^ 3, то

Учитывая последнее неравенство, преобразуем (11) к виду

(8А; — 3)п — 12к2 + 22к — 15 ПА) > — •

Осталось доказать неравенство

(8Л — 3)п — 12Л2 +22Л — 15 2

^ (k + 1)(n — k) ^ n(2k — 9) ^ 6k2 — 28k + 15,

которое имеет место при п ^ к ^ к + 3 ^ ЗА; + 3 и при к ^ 6. Случай (б) разобран. □

Теорема 3 (Н. Мартинов). Конфигурация n прямых высекает f областей на проективной плоскости тогда и только тогда, когда найдется целое число k, 0 ^ k ^ n — 2, такое, что

Доказательство. Достаточность Н. Мартинов доказал в [4], построив следующую конфигурацию. Пусть п — Л прямых проходит через одну точку О, остальные Л прямых находятся в общем положении

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

18 ВМУ, математика, механика, № 5

относительно друг друга, Ь точек пересечения к прямых между собой принадлежит Ь прямым, проходящим

через точку О. Такая конфигурация делит проективную плоскость на (п — к) (к + 1) + ^ — £ областей,

Докажем необходимость. Обозначим через (1п максимальное целое число, такое, что п ^ + 3.

Обозначим через целые числа отрезка

Множества /д. при к ^ (1п заполняют все целые числа отрезка [(с1п + 1 )(п — (1п), 1 + га(-га2~1^]. Рассмотрим произвольную конфигурацию А с п = п(А) прямыми. Если максимальная кратность Ь(А) ^ п — то /(А) £ 1п_£(А). Если максимальная кратность Ь(А) ^ п — то, согласно теореме 2, имеем неравенство /(А) ^ + 1)(п — ^га), и поэтому найдется целое к ^ такое, что /(А) £ . □

Работа частично поддержана программой «Ведущие научные школы России», проект НШ-660.2008.1; программой развития научного потенциала высшей школы, проект РНП 2.1.1.3704; РФФИ, грант № 07-01-00648-а.

1. Grünbaum B. Arrangements and Spreads. AMS. Providence, R.I., 1972.

2. Purdy G.B. On the number of regions determined by n lines in the projective plane // Geom. dedic. 1980. 9. 107-109.

3. Арнольд В.И. На сколько частей делят плоскость n прямых? // Матем. просвещение. Сер. 3. 2008. 12. 95-104.

4. Martinov N. Classification of arrangements by the number of their cells // Discrete and Comput. Geometry. 1993. 9, N 1. 39-46.

5. Melchior E. Über Vielseite der Projektiven Ebene // Dtsch. Math. 1940. 5. 461-475.

Поступила в редакцию 19.02.2010

Сколько прямых проходит через 3 точки

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ

Одной из первых аксиом геометрии, относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.

Задача 1. Сколько прямых проходит через различные пары из: а) трех точек; б) четырех точек; в) пяти точек; г) n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Решение. Пусть даны точки A ₁ , …, A_n . Выясним, сколько прямых проходит через точку A ₁ и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A ₁ проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n – 1. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки A ₁ , справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n ( n – 1). Конечно, этот ответ, который могут дать учащиеся, не является верным. Например, при n = 3 получаем n ( n – 1) = 6, а число прямых на самом деле равно 3. Хорошо, если учащиеся сами догадаются, что при указанном выше подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно .

Полученная формула числа прямых имеет большое значение, в дальнейшем будет появляться при решении различных комбинаторных задач. Поскольку каждая прямая однозначно задается двумя точками, мы, по существу, вычислили, сколько различных пар можно составить из n элементов. При этом не имеет значение, какие это элементы. Число таких пар называется числом сочетаний из n элементов по два и обозначается . Например, если в классе 20 учеников, то число различных пар, которые можно образовать из учеников этого класса, равно = 190.

Следующая серия задач связана с числом попарных пересечений прямых на плоскости. Из сформулированной выше аксиомы непосредственно следует, что две прямые могут иметь не более одной общей точки.

Задача 2. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) три прямые; б) четыре прямые; в) пять прямых; г) n прямых?

Решение. Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая прямая имеет n – 1 точку пересечения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи 1. Так как всего прямых n , и на каждой прямой n – 1 точка, то их общее число будет равно n ( n – 1). При этом, поскольку каждую точку мы подсчитали дважды, число точек пересечения будет равно .

Можно было бы рассуждать и короче. Действительно, для того, чтобы подсчитать количество точек пересечения, достаточно подсчитать, количество пар прямых, которые можно образовать из данных n прямых. Как мы знаем, это число равно .

Обратим внимание на то, что формулировка и решение задачи 2 похожи на формулировку и решение задачи 1. Действительно, переформулируем утверждения этих задач.

Утверждение 1. Число прямых, проходящих через различные пары из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, равно .

Утверждение 2. Число точек попарных пересечений n попарно пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, равно .

Мы видим, что если слово «прямая» в утверждении 1 заменить на слово «точка», слово «точка» – на слово «прямая», прохождение прямой через две точки заменить на пересечение двух прямых, и принадлежность трех точек прямой – на пересечение трех прямых в одной точке, то получим утверждение 2. Это же относиться и к доказательствам этих утверждений. Одно получается из другого указанной выше заменой. Такая аналогия называется двойственностью между точками и прямыми.

Еще одной аксиомой, относящейся к взаимному расположению прямых на плоскости, является аксиома о том, что прямая разбивает плоскость на две части. При этом, если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с прямой, а если точки принадлежат одной части, то отрезок, их соединяющий, не пересекается с прямой.

Задача 3. На сколько частей разбивают плоскость: а) две прямые; б) три прямые; в) четыре прямые; г) n прямых, пересекающиеся в одной точке?

Задача 4. На сколько частей разбивают плоскость n попарно пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекающиеся в одной точке?

Решение. Выясним, на сколько увеличивается число частей плоскости при добавлении новой прямой к данным. Это увеличение происходит за счет того, что какие-то части плоскости разбиваются новой прямой на меньшие части. Так, если имелось две пересекающиеся прямые, то при добавлении третьей прямой три из имеющихся четырех частей плоскости разбиваются на две части и общее число образованных частей равно 7 = 4 + 3. Заметим, что количество частей плоскости, которые разбиваются на две части новой прямой, равно количеству частей новой прямой, на которые она разбивается точками пересечения с имеющимися прямыми. Каждая такая часть новой прямой разбивает соответствующую часть плоскости на две части. Поскольку n -я прямая пересекается с n – 1 прямой, то она разбивается на n частей и поэтому число частей плоскости увеличивается на n . Таким образом, общее число частей, на которые n прямых разбивают плоскость, равно 4 + 3 + … + n .

Нахождение формулы для этой суммы может быть проведено чисто геометрическими методами. Укажем на один из них, позволяющий найти сумму 1 + 2 + … + n .

Рассмотрим квадрат ( n + 1) x ( n + 1). Число его клеток равно ( n + 1) 2 . Подсчитаем эти клетки по диагоналям. В первой диагонали имеется одна клетка. Во второй диагонали – 2. И так далее, в n -ой диагонали – n . Таким образом, общее число клеток в диагоналях, расположенных ниже ( n + 1)– ой (большой) диагонали, равно 1 + 2 + … + n . Аналогично, общее число клеток в диагоналях, расположенных выше ( n + 1)– ой (большой) диагонали, равно 1 + 2 + … + n . Поскольку в большой диагонали ( n + 1) клеток, то общее число клеток в квадрате, подсчитанное по диагоналям равно 2(1 + 2 + … + n ) + ( n + 1). Следовательно, имеем равенство 2(1 + 2 + … + n ) + ( n + 1) = ( n + 1) 2 , из которого получаем

Используя эту формулу, находим искомое число частей 4 + 3 +… + n =

3 Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Проведем две прямые l и m, обозначив буквой О точку пересечения этих прямых. Третью прямую n можно провести двумя способами.

1 способ — третья прямая проходит через точку О. Тогда все прямые пересекаются в одной точке О.

2 способ — третья прямая не проходит через точку О. Получаются три точки пересечения: О, А, В.

Ответ: одна или три.

Источник:

Решебник по геометрии за 7 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2012 год),
задача №3
к главе «Глава I. Начальные геометрические сведения. §1 Прямая и отрезок».