Как найти альфа в геометрии

УПС, страница пропала с радаров.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Вам может понравиться Все решебники

Рыбченкова

Рыбченкова, Александрова, Глазков

Пасечник, Каменский, Рубцов

Погорелов 7-9 класс

Мерзляк, Номировский, Поляков

Enjoy English

Биболетова, Бабушис

Рыбченкова

Рыбченкова, Александрова, Загоровская

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

1. Синус, косинус и тангенс угла

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В треугольнике \(AOX\):
sin α = AX AO ; cos α = OX AO .
Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sin α = AX ; cos α = OX .

Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):

A cos α ; sin α .
Следовательно, для углов 0 ° ≤ α ≤ 180 ° видно, что − 1 ≤ cos α ≤ 1 ; 0 ≤ sin α ≤ 1 .

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,

tg α = AX OX = sin α cos α .

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0 ° ; 90 ° ; 180 ° .

sin 0 ° = 0 ; cos 0 ° = 1 ; tg 0 ° = 0 ; sin 90 ° = 1 ; cos 90 ° = 0 ; tg 90 ° не существует ; sin 180 ° = 0 ; cos 180 ° = − 1 ; tg 180 ° = 0 .

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90 ° , то оба выразим через α .

Если sin α = AX AO ; cos α = OX AO , то sin 90 ° − α = OX AO ; cos 90 ° − α = AX AO .
Видим, что справедливы равенства:
cos 90 ° − α = sin α ; sin 90 ° − α = cos α .
Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α .

Справедливы следующие равенства:
sin 180 ° − α = sin α ; cos 180 ° − α = − cos α .
Эти формулы называются формулами приведения:
cos 90 ° − α = sin α ; sin 90 ° − α = cos α .
sin 180 ° − α = sin α ; cos 180 ° − α = − cos α .

Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX 2 + OX 2 = 1 . Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем

геометрия — Плоскости альфа и бета

я могу угадать условие, но Вы знаете про что спрашиваете.

кстати, знаете что-нибудь про аксиомы стереометрии. если знаете, то ответ на задачу прост. если не знаете, то надо почитать учебник.

(22 Апр ’20 0:04) all_exist

@all_exist: я так вообще не понимаю, что тут написано. Что значит «а альфа, а бета» в вопросе?

(22 Апр ’20 0:19) falcao

@falcao, предположил, что каждое из этих условий означает, что прямая лежит в плоскости.

(22 Апр ’20 0:22) all_exist

@all_exist: да, похоже на то — в условии стояли какие-то значки, и их решили не читать 🙂

(22 Апр ’20 0:39) falcao

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

задан
21 Апр ’20 22:22

показан
525 раз

обновлен
22 Апр ’20 0:39

Тригонометрия

Тригономе́трия (от греческого τρίγωνον — «треугольник» и «метрия»), раздел геометрии, в котором метрические соотношения между элементами треугольника описываются через тригонометрические функции, а также устанавливаются соотношения между тригонометрическими функциями [1] . Первый раз термин появился в 1595 году в виде названия книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613) [2] .

1 Основные сведения
- 1.1 Тригонометрия в евклидовой геометрии
  - 1.1.1 Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
  - 1.1.2 Тригонометрические функции в произвольном треугольнике
  - 1.1.3 Тригонометрические функции и единичная окружность
  - 1.1.4 Аналитическое определение
  - 1.1.5 Сферическая тригонометрия
  Основные сведения
  
  Тригонометрия изучается как в евклидовой, так и в неевклидовой геометрии. Тригонометрия сферы евклидова пространства называется сферической тригонометрией [1] .
  
  Тригонометрия в евклидовой геометрии
  
  Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
  
  Прямоугольный треугольник
  
  Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника). Функции без приставки «ко» — основные тригонометрические функции, функции, содержащие приставку «ко» — дополнительные тригонометрические функции.
  - Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  - Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  - Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
  - Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
  - Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
  - Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету [3] .
  Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть углов от 0° до 90°. Углы 30 0 , 45 0 и 60 0 называют табличными, для нахождения значений других тригонометрических функций можно воспользоваться таблицами Брадиса или инженерным калькулятором.
  
  Таблица значений для углов 30 0 , 45 0 и 60 0 :
  
  Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике связаны следующими формулами:
  
  Тригонометрические функции в произвольном треугольнике
  
  Произвольный треугольник
  
  Решить произвольный треугольник, то есть по известным трем его элементам, найти остальные элементы треугольника, можно с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов.
  1. Теорема синусов a s i n α = >=> b s i n β >> = c s i n γ >>[5] .
  2. Теорема косинусов a 2 = b 2 + c 2 − 2 c b cos ⁡ α =b^+c^-2cb\cos \alpha > , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a b cos ⁡ β <\displaystyle b^=a^+c^-2ab\cos \beta > , c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ <\displaystyle c^=a^+b^-2ab\cos \gamma >[6] .
  Тригонометрические функции и единичная окружность
  
  Тригонометрические функции и единичная окружность
  Тригонометрические функции и единичная окружность
  
  Если точка лежит на тригонометрической окружности, а t — угол между осью абсцисс и радиус-вектором данной точки, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс, то её декартовы прямоугольные координаты (x, y) по определению равны cost и sint соответственно.
  
  cost=x и sint=y, остальные функции определяются как их отношения:
  - тангенс — отношение синуса к косинусу,
  - котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу),
  - секанс — величина, обратная косинусу,
  - косеканс — величина, обратная синусу.
  Величина угла считается положительной, если отсчёт ведётся против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчёт ведётся по ходу часовой стрелки.
  
  Для тригонометрических функций произвольных углов справедливы следующие формулы:
  1. основное тригонометрическое тождество: sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1 \alpha +\cos ^\alpha =1>
  2. ctg α ctg β = 1
  Для вычисления тригонометрических функций для углов, больших, чем острые, используют формулы приведения [7]
  
  Формулы приведения
  
  Аналитическое определение
  
  Синусоида и косинусоида
  
  Тангенсоида
  
  Каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, а это значит, что на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cosx — аналитическое определение [8] . Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс относятся к основным элементарным функциям. Для графика функции синус используют название «синусоида», график функции косинус называют «косинусоида». График функции тангенс и котангенс — «тангенсоида», «котангенсоида» соответственно. Функции периодические, их графики имеют вид бесконечных волнообразных кривых. Секансоида и косекансоида — название графиков функций секанс и косеканс соответственно [9] .
  
  Сфери́ческий треугольник
  
  Сферическая тригонометрия
  
  Предмет сферической геометрии — решение сферических треугольников, образуемых на поверхности шара дугами больших кругов [10] . А значит, сфери́ческая тригономе́трия, как раздел геометрии, изучает связи между углами и сторонами сферических треугольников. В сферическом треугольнике стороны a, b, c измеряются соответствующими центральными углами, а произведение этих углов и радиуса сферы — это длина его сторон. Используя, формулы сферической тригонометрии, можно по любым трём элементам сферического треугольника найти три его остальных элемента (решить треугольник) [11] .
  
  Сферическая теорема Пифагора cos a = cos b cos d
  
  Теорема косинусов для сферического треугольника:
  - 1) cos a = cos b cos d + sin b sin d cos A;
  - 2) cos A = sin B sin D cos a − cos B cos D.
  Формулы пяти элементов:
  - 1) sin a cos B = cos b sin d− − sin b cos d cos A;
  - 2) sin A cos b = cos B sin D+ + sin B cos D cos a
  Теорема синусов для сферического треугольника: s i n A s i n α = >=> s i n B s i n b >> = s i n C s i n c >> [12] .
  
  Тригонометрия в неевклидовой геометрии
  
  Гиперболический треугольник, внутренние углы
  
  В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 180 0 .
  
  1. В треугольнике с прямым углом выполняются следующие соотношения:
  
  2. Для прямоугольного треугольника формулу — ch a ch b = ch c можно назвать гиперболической теоремой Пифагора.
  
  3. sh a = sh c sin α , th b = th c cos α , cos α = ch a sin β , ctg α ctg β = ch c. При малых a, b и c эти соотношения принимают вид a = c sin α , b = c cos α , ctg α ctg β = 1, cos α = sin β , то есть такие же как для функций в прямоугольном треугольнике евклидовой геометрии.
  
  Для произвольного треугольника в гиперболической геометрии справедливы теоремы, аналогичные теоремам синусов и косинусов в евклидовой планиметрии [13] .
  
  История
  
  Трактат по тригонометрии Ли Мадоу (китайское имя иезуита из Италии Маттео Риччи, 1552—1610 гг.)
  
  Тригонометрия (от древне-греческого «треугольники измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 году как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей размеры и форму Земли) [14] .
  
  Составление первых тригонометрических таблиц принадлежит Гиппарху Никейскому (180—125 лет до нашей эры). В его таблицах даны значения дуг и хорд для серии углов, соответствующие введённым позднее синусам [15] .
  
  Тригонометрия на плоскости начала развиваться позднее сферической, хотя отдельные её теоремы встречались и раньше. Например:
  
  1) 12-я и 13-я теоремы 2-й книги «Начал» Евклида выражают по существу теорему косинусов.
  
  2) Тригонометрия развивалась арабскими астрономами и математиками, которым была уже известна теорема синусов
  - аль-Баттани (2-я половина IX — начало X веков)
  - Абу-ль-Вефа (X век)
  - Бхаскара (XII век)
  - арабскими учёным Насиром ад-Дином ат-Туси (XIII век).
  3) Теорема тангенсов была получена Региомонтаном (XV век).
  
  4) Дальнейшие работы в области тригонометрии принадлежат
  - Н. Копернику (1-я половина XVI век),
  - Т. Браге (2-я половина XVI век),
  - Ф. Виету (XVI век),
  - И. Кеплеру (конец XVI — 1-я половина XVII веков).
  Современный вид тригонометрия получила в работах Л. Эйлера (XVIII век) [1] .
  
  Литература
  1. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы: Для сред. шк. — 55-е изд. — М.: Просвещение, 1986. — 96 с.
  2. Кранц П. Сферическая тригонометрия: пер. с нем./ под ред. Я. Н. Шпильерейна. Изд. 2-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 96 с.
  3. Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского: Электронное издание — М.: МЦНМО, 2014 — 88 с
  4. Иовлев Н. И. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского.- Государственное издательство Москва, 1930 — 67 с.
  Примечания
  1. ↑ 1,01,11,2Тригонометрия(неопр.) . Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 31 августа 2023.
  2. ↑Тригонометрия(неопр.) . Картаслов.ру. Дата обращения: 11 сентября 2023.
  3. ↑Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А.Элементарная математика. Часть 3. Тригонометрия: учебное пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2017. — С. 3,4,6. — 107 с.
  4. ↑Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А.Элементарная математика. Часть 3. Тригонометрия: учебное пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2017. — С. 4,7. — 107 с.
  5. ↑Теорема синусов(неопр.) . Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 27 сентября 2023.
  6. ↑Теорема косинусов(неопр.) . Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 27 сентября 2023.
  7. ↑Формулы приведения(неопр.) . mathus.ru. Дата обращения: 27 сентября 2023.
  8. ↑Демидова Н.Е.Математика. Основы тригонометрии: Учебное пособие. — Н.Новгород: Нижегородский государственный архитектурностроительный университет, 2011. — С. 62. — 92 с.
  9. ↑Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А.Элементарная математика. Часть 3. Тригонометрия: учебное пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2017. — С. 23—27. — 100 с.
  10. ↑Степанов Н.Н.Сферическая тригонометрия. — ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — С. 7. — 154 с.
  11. ↑Сферическая тригонометрия(неопр.) . Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 23 сентября 2023.
  12. ↑Мордовцев С. М.Конспект лекций по курсу «Сферическая геометрия и тригонометрия» / Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Л.Б. Коваленко. — Харьков. нац. ун-т гор. хоз-ва им. А. Н. Бекетова.: Харьков. нац. ун-т гор. хоз-ва им. А. Н. Бекетова. – Харьков : ХНУГХ им. А.Н. Бекетова, 2016. — С. 34,38,39,43. — 96 с.
  13. ↑Сосов Е. Н.Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. — Казань: Казан. ун-т, 2016. — С. 14—18. — 84 с.
  14. ↑Появления термина «тригонометрия»(неопр.) . ОЗС. «Хронолайнер». Дата обращения: 30 августа 2023.
  15. ↑Гиппарх(неопр.) . Большая российская энциклопедия. Дата обращения: 23 сентября 2023.
  Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!
  - Знание.Вики:Статьи без ссылки на Викисклад
  - Наука
  - Все статьи
  - Математика
  - Образование
  Похожие публикации:

Как найти альфа в геометрии