Как сравнить логарифм и корень

Как сравнить логарифм 4 по основанию 3 и корень из 5 — 1?

Итак, нужно сравнить log3(4) и sqrt(5) — 1
Согласно калькулятору первое число больше второго.
Чтобы доказать это без использования калькулятора, запишем неравенство log3(4) > sqrt(5) — 1
Воспользуемся тем, что sqrt(5) < 2,25, потому что при возведении в квадрат, получается верное неравенство 5 < 5,0625. Если в исходном неравенстве число sqrt(5) - 1 заменить на большее 1,25, и получится верное неравенство, то подавно верно и исходное.
Итак, считаем, что log3(4) > 1,25 = 5/4. Теперь умножим неравенство на 4
4log3(4) = log3(4^4) = log3(256) > 5
И потенцируем по основанию 3
256 > 243
Получили верное неравенство. Производя выкладки в обратном порядке, убеждаемся в справедливости неравенства
log3(4) > sqrt(5) — 1

Остальные ответы

Похожие вопросы

Как сравнивать логарифмы

С помощью схемы сравнение логарифмов можно изобразить так:

1) Сравнить b и c, если

То есть, знак неравенства не изменился. Значит, функция возрастает и основание a>1.

Сравнение логарифмов с разными основаниями.

Чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, можно попытаться, используя свойства логарифмов, привести их к одинаковым основаниям.

Оба логарифма можно привести к основанию 3:

и основание 3>1, функция возрастает и знак неравенства не изменяется:

Иногда бывает достаточно сравнить логарифмы с нулём.

Сравним каждый из логарифмов с нулём:

Сравнивать логарифмы можно, опираясь непосредственно на определение логарифма.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

Замечание по поводу логарифмический уравнений

Перед тем как переходить непосредственно к уравнению, хочу поделиться небольшой исторической справкой. Дело в том, что ЕГЭ по математике в том виде, котором нам предстоит его сдавать, существует в России уже не первый год. И то уравнение, которое вы сейчас видите на своих экранах, появилось в контрольно-измерительных материалах уже давно.

Однако из года в год ко мне приходят ученики которые пытаются решать вот такие, прямо скажем, непростые уравнения, но при этом не могут понять: с чего им вообще начинать и как подступиться к логарифмам? Такая проблема может возникнуть даже у сильных, хорошо подготовленных учеников.

В результате многие начинают опасаться этой темы, а то и вовсе считать себя тупыми. Так вот, запомните: если у вас не получается решить такое уравнение, это совершенно не значит, что вы — тупые. Потому что, например, вот с таким уравнением вы справитесь практически устно:

А если это не так, вы сейчас не читали бы этот текст, поскольку были заняты более простыми и приземленными задачами. Конечно, кто-то сейчас возразит: «А какое отношение это простейшее уравнение имеет к нашей здоровой конструкции?» Отвечаю: любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным оно ни было, в итоге сводится вот к таким простейшим, устно решаемым конструкциям.

Разумеется, переходить от сложных логарифмических уравнений к более простым нужно не с помощью подбора или танцев с бубном, а по четким, давно определенным правилам, которые так и называются — правила преобразования логарифмических выражений. Зная их, вы без труда разберетесь даже с самыми навороченными уравнениями в ЕГЭ по математике.

И именно об этих правилах мы будем говорить в сегодняшнем уроке. Поехали!

Решение логарифмического уравнения в задаче C1

Итак, решаем уравнение:

В первую очередь, когда речь заходит о логарифмических уравнениях, вспоминаем основную тактику — если можно выразиться, основное правило решения логарифмических уравнений. Заключается оно в следующем:

. Любое логарифмическое уравнение, что бы в него не входило, какие бы логарифмы, по какому бы основанию, и что бы в себе не c одержали, обязательно нужно привести к уравнению вида:

log _a f ( x ) = log _a g ( x )

Если мы посмотрим на наше уравнение, то заметим сразу две проблемы:

1. Слева у нас стоит сумма двух чисел, одно из которых вообще не является логарифмом.
2. Справа стоит вполне себе логарифм, однако в его основании стоит корень. А у логарифма слева — просто 2, т.е. основания логарифмов слева и справа различаются.

Итак, мы составили этакий список проблем, которые отделяют наше уравнение от того канонического уравнения, к которому нужно привести любое логарифмическое уравнение в процессе решения. Таким образом, решение нашего уравнения на данном этапе сводится к тому, чтобы устранить описанные выше две проблемы.

Любое логарифмическое уравнение решается быстро и легко, если свести его к канонической форме.

Сумма логарифмов и логарифм произведения

Давайте действовать по порядку. Сначала разберемся с конструкцией, которая стоит слева. Что мы можем сказать про сумму двух логарифмов? Давайте вспомним замечательную формулу:

log _a f ( x ) + log _a g ( x ) = log _a f ( x ) · g ( x )

Но стоить учесть, что в нашем случае первое слагаемо вообще не является логарифмом. Значит, нужно представить единицу в виде логарифма по основанию 2 (именно 2, потому что слева стоит логарифм по основанию 2). Как это сделать? Опять вспоминаем замечательную формулу:

Здесь нужно понимать: когда мы говорим «Любое основание b », то подразумеваем, что b все-таки не может быть произвольным числом. Если мы вставляем какое-то число в логарифм, на него сразу накладываются определенные ограничения, а именно: основание логарифма должно быть больше 0 и не должно быть равно 1. Иначе логарифм просто не имеет смысла. Запишем это:

Давайте посмотрим, что происходит в нашем случае:

Теперь перепишем все наше уравнение с учетом этого факта. И сразу же применяем другое правило: сумма логарифмов равна логарифму произведения аргументов. В итоге получим:

Мы получили новое уравнение. Как видим, оно уже гораздо ближе к тому каноническому равнению, к которому мы стремимся. Но есть одна проблема, мы записали ее в виде второго пункта: у наших логарифмов, которые стоят слева и справа, разные основания. Переходим к следующему шагу.

Правила вынесения степеней из логарифма

Итак у логарифма, который стоит слева, основание просто 2, а у логарифма, который стоит справа, в основании присутствует корень. Но и это не является проблемой, если вспомнить, что из оснований из аргументов логарифма можно выносить в степень. Давайте запишем одно из этих правил:

Переведя на человеческий язык: можно выносить степень из основания логарифма и ставить ее спереди в качестве множителя. Число n «мигрировало» из логарифма наружу и стало коэффициентом спереди.

С тем же успехом мы можем вынести степень из основания логарифма. Выглядеть это будет так:

Другими словами, если вынести степень из аргумента логарифма, эта степень также пишется в качестве множителя перед логарифмом, но уже не в виде числа, а в виде обратного числа 1/ k .

Однако и это еще не все! Мы можем объединить две данные формулы и почить следующую формулу:

Когда степень стоит и в основании, и в аргументе логарифма, мы можем сэкономить время и упростить вычисления, если сразу же вынести степени и из основания, и из аргумента. При этом то, что стояло в аргументе (в нашем случае это коэффициент n ), окажется в числителе. А то, что было степенью у основания, a k , отправится в знаменатель.

И именно эти формулы мы сейчас будем применять для того, чтобы свести наши логарифмы к одному и тому же основанию.

Вынесение степени из основания логарифма

Прежде всего, выберем более-менее красивое основание. Очевидно, что с двойкой в основании намного приятней работать, чем с корнем. Таким образом, давайте попробуем привести второй логарифм к основанию 2. Давайте выпишем этот логарифм отдельно:

Что мы можем здесь сделать? Вспомним формулу степени с рациональным показателем. Другими словами, мы можем записать в корни в качестве степени с рациональным показателем. А затем выносим степень 1/2 и из аргумента, и из основания логарифма. Сокращаем двойки в коэффициентах в числителе и знаменателе, стоящих перед логарифмом:

Наконец, перепишем исходное уравнение с учетом новых коэффициентов:

log₂ 2(9 x 2 + 5) = log₂ (8 x 4 + 14)

Мы получили каноническое логарифмическое уравнение. И слева, и справа у нас стоит логарифм по одному и тому же основанию 2. Помимо этих логарифмов никаких коэффициентов, никаких слагаемых ни слева, ни справа нет.

Следственно, мы можем избавиться от знака логарифма. Разумеется, с учетом области определения. Но прежде, чем это сделать, давайте вернемся назад и сделаем небольшое уточнение по поводу дробей.

Деление дроби на дробь: дополнительные соображения

Далеко не всем ученикам понятно, откуда берутся и куда деваются множители перед правым логарифмом. Запишем еще раз:

Давайте разберемся, что такое дробь. Запишем:

А теперь вспоминаем правило деления дробей: чтобы разделить на 1/2 нужно умножить на перевернутую дробь:

Разумеется, для удобства дальнейших вычислений мы можем записать двойку как 2/1 — и именно это мы наблюдаем в качестве второго коэффициента в процессе решения.

Надеюсь, теперь всем понятно, откуда берется второй коэффициент, поэтому переходим непосредственно к решению нашего канонического логарифмического уравнения.

Избавление от знака логарифма

Напоминаю, что сейчас мы можем избавиться от логарифмов и оставить следующее выражение:

2(9 x 2 + 5) = 8 x 4 + 14

Давайте раскроем скобки слева. Получим:

18 x 2 + 10 = 8 x 4 + 14

Перенесем все из левой части в правую:

8 x 4 + 14 − 18 x 2 − 10 = 0

Приведем подобные и получим:

8 x 4 − 18 x 2 + 4 = 0

Можем разделить обе части этого уравнения на 2, чтобы упростить коэффициенты, и получим:

4 x 4 − 9 x 2 + 2 = 0

Перед нами обычное биквадратное уравнение, и его корни легко считаются через дискриминант. Итак, запишем дискриминант:

D = 81 − 4 · 4 · 2 = 81 − 32 = 49

Прекрасно, Дискриминант «красивый», корень из него равен 7. Все, считаем сами иксы. Но в данном случае корни получатся не x , а x 2 , потому что у нас биквадратное уравнение. Итак, наши варианты:

Обратите внимание: мы извлекали корни, поэтому ответов будет два, т.к. квадрат — функция четная. И если мы напишем лишь корень из двух, то второй корень мы просто потеряем.

Теперь расписываем второй корень нашего биквадратного уравнения:

Опять же, мы извлекаем арифметический квадратный корень из обеих частей нашего уравнения и получаем два корня. Однако помните:

Недостаточно просто приравнять аргументы логарифмов в канонической форме. Помните об области определения!

Итого мы получили четыре корня. Все они действительно являются решениями нашего исходного уравнения. Взгляните: в нашем исходном логарифмическом уравнении внутри логарифмов стоит либо 9 x 2 + 5 (эта функция всегда положительна), либо 8 x 4 + 14 — она тоже всегда положительна. Следовательно, область определения логарифмов выполняется в любом случае, какой бы корень мы не получили, а это значит, что все четыре корня являются решениями нашего уравнения.

Прекрасно, теперь переходим ко второй части задачи.

Отбор корней логарифмического уравнения на отрезке

Отбираем из наших четырех корней те, которые лежат на отрезке [−1; 8/9]. Возвращаемся к нашим корням, и сейчас будем выполнять их отбор. Для начала предлагаю начертить координатную ось и отметить на ней концы отрезка:

Обе точки будут закрашенные. Т.е. по условию задачи нас интересует заштрихованный отрезок. Теперь давайте разбираться с корнями.

Иррациональные корни

Из этого следует, что корень из двух не попадает в интересующий нас отрезок. Аналогично мы получим и с отрицательным корнем: он меньше, чем −1, т. е. лежит левее интересующего нас отрезка.

Рациональные корни

Остается два корня: x = 1/2 и x = −1/2. Давайте заметим, что левый конец отрезка (−1) — отрицательный, а правый (8/9) — положительный. Следовательно, где-то между этими концами лежит число 0. Корень x = −1/2 будет находиться между −1 и 0, т.е. попадет в окончательный ответ. Аналогично поступаем с корнем x = 1/2. Этот корень также лежит на рассматриваемом отрезке.

Убедиться, что число 8/9 больше, чем 1/2, можно очень просто. Давайте вычтем эти числа друг из друга:

Получили дробь 7/18 > 0, а это по определению означает, что 8/9 > 1/2.

Давайте отметим подходящие корни на оси координат:

Окончательным ответом будут два корня: 1/2 и −1/2.

Сравнение иррациональный чисел: универсальный алгоритм

В заключении хотел бы еще раз вернуться к иррациональным числам. На их примере мы сейчас посмотрим, как сравнивать рациональные и иррациональные величины в математике. Для начала по между ними вот такую галочку V — знак «больше» или «меньше», но мы пока не знаем, в какую сторону он направлен. Запишем:

Зачем вообще нужны какие-то алгоритмы сравнения? Дело в том, что в данной задаче нам очень повезло: в процессе решения возникло разделяющее число 1, про которое мы точно можем сказать:

Однако далеко не всегда вы с ходу увидите такое число. Поэтому давайте попробуем сравнить наши числа «в лоб», напрямую.

Как это делается? Делаем то же самое, что и с обычными неравенствами:

1. Сначала, если бы у нас где-то были отрицательные коэффициенты, то мы умножили бы обе части неравенства на −1. Разумеется, поменяв при этом знак. Вот такая галочка V изменилась бы на такую — Λ.
2. Но в нашем случае обе стороны уже положительны, поэтому ничего менять не надо. Что действительно нужно, так это возвести обе части в квадрат, чтобы избавится от радикала.

Если при сравнении иррациональных чисел не удается с ходу подобрать разделяющий элемент, рекомендую выполнять такое сравнение «в лоб» — расписывая как обычное неравенство.

При решении это оформляется вот таким образом:

Все, мы получили строгое доказательство, что все числа отмечены на числовой прямой х правильно и именно в той последовательности, в которой они должны быть на самом деле. Вот к такому решению никто не придерется, поэтому запомните: если вы сразу не видите разделяющее число (в нашем случае это 1), то смело выписывайте приведенную выше конструкцию, умножайте, возводите в квадрат — и в итоге вы получите красивое неравенство. Из этого неравенства точно будет понятно, какое число больше, а какое — меньше.

Возвращаясь к нашей задаче, хотелось бы еще раз обратить ваше внимание на то, что мы делали в самом начале при решении нашего уравнения. А именно: мы внимательно посмотрели на наше исходное логарифмическое уравнение и попытались свести его к каноническому логарифмическому уравнению. Где слева и справа стоят только логарифмы — без всяких дополнительных слагаемых, коэффициентов спереди и т. д. Нам нужны не два логарифма по основанию a или b , именно логарифм, равный другому логарифму.

Кроме того, основания логарифмов также должны быть равны. При этом если уравнение составлено грамотно, то с помощью элементарных логарифмических преобразований (сумма логарифмов, преобразование числа в логарифм и т.д.) мы сведем это уравнение именно к каноническому.

Поэтому впредь, когда вы видите логарифмическое равнение, которое не решается сразу «в лоб», не стоит теряться или пробовать подобрать ответ. Достаточно выполнить следующие шаги:

1. Привести все свободные элементы к логарифму;
2. Затем эти логарифмы сложить;
3. В полученной конструкции все логарифмы привести к одному и тому же основанию.

В результате вы получите простое уравнение, которое решается элементарными средствами алгебры из материалов 8—9 класса. В общем, заходите на мой сайт, тренируйтесь решать логарифмы, решайте логарифмические уравнения как я, решайте их лучше меня. А у меня на этом все. С Вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Смотрите также:

1. Задача C1: логарифмы и тригонометрия в одном уравнении
2. Задача C1: еще одно показательное уравнение
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Решение задач B12: №448—455
5. Как решать задачу 18: графический подход
6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией

• Вход для учеников
• ЕГЭ-2024
• Часть 1
• 1. Уравнения
• 2. Вероятность
• 3. Планиметрия
• 4. Тригонометрия
• 5. Стереометрия
• 6. Производные
• 7. Формулы
• 8. Текстовые задачи
• 11. Экстремумы функций
• Часть 2
• 12. Тригонометрические уравнения
• 13. Сложная стереометрия
• 14. Сложные неравенства
• 15. Экономические задачи
• 16. Сложная планиметрия
• 17. Задачи с параметром
• 18. Теория чисел
• Архив
• X1. Движение и время
• X2. Графики
• X3. Площади
• X4. Стереометрия
• X5. Экономика
• Об экзамене
• Советы
• 2014
• 2015
• 2016
• 2017
• 2018
• 2019
• Школьникам
• Студентам
• Реклама
• Обо мне

• © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
  ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
• Карта сайта

Стыдные вопросы о логарифмах: всё, что нужно знать программисту

Объясняем, почему не стоит бояться логарифмов и как их считать в Python.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Иван Стуков
Журналист, изучает Python. Любит разбираться в мелочах, общаться с людьми и понимать их.

Прежде чем начать обсуждение, давайте немного освежим знания и решим несколько стандартных задачек:

• Чему равен log₃ 81?
• А lg 2 × lb 10?
• А сумма log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3?

Если вы легко прорешали все три примера в уме, не пользуясь калькулятором, — можете сразу переходить к заключительной главе. Для тех же, кто слегка подзабыл школьные годы чудесные, — буквально пять минут ликбеза.

Что такое логарифм

По большому счёту, логарифм — это просто перевёрнутая степень. Рассмотрим выражение 2 3 = 8. В нём:

• 2 — основание степени;
• 3 — показатель степени;
• 8 — результат возведения в степень.

У возведения в степень существует два обратных выражения. В одном мы ищем основание (это извлечение корня), в другом — показатель (это логарифмирование).

Таким образом, выражение 2 3 = 8 можно превратить в log₂ 8 = 3.

Закрепляем знания: логарифм — это число, в которое нужно возвести 2 (основание степени), чтобы получить 8 (результат возведения в степень).

Форма записи неинтуитивна, и поначалу можно легко спутать основание со степенью. Чтобы избежать этого, можно использовать следующее правило:

Основание у логарифма, как и у возведения в степень, находится внизу.

Чтобы лучше запомнить структуру записи, посмотрите на эти выражения и постарайтесь понять их смысл:

В общем виде запись log_AB читается так: логарифм B по основанию A.

Что такое натуральный логарифм

Главная часть любого логарифма — его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций позволяет проводить с ними различные операции.

Основанием натурального логарифма является число Эйлера (e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828.

На всякий случай напомним, что такое иррациональные числа. Так называют числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Например, 0,333… — рациональное число, потому что его можно записать как 1/3. А вот число Пи или корень из 2 — иррациональны.

Так как натуральные логарифмы часто используются, для них ввели особый способ записи: ln x — это то же самое, что log_e x.

Что такое e

Представим кристалл, который весит 1 кг и растёт со скоростью 100% в год. Можно ожидать, что через год он будет весить 2 кг, но это не так.

Каждая новая выращенная часть начнёт растить свою собственную. Когда в кристалле будет 1,1 кг, он будет расти со скоростью 1,1 кг в год, а когда в нём будет 1,5 кг — со скоростью 1,5 кг в год. Математики подсчитали, что через год масса кристалла составит e, или ≈ 2,71828 кг.

Такой рост называется экспоненциальным. По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, растут снежные комья, распадается радиоактивное вещество и остывают напитки.

Зачем нужны натуральные логарифмы

Чтобы узнать, какой массы достигнет кристалл через три, пять, десять лет, нужно возвести e в соответствующую степень.

e 5 ≈ 148,4132 кг

e 10 ≈ 22 026,4658 кг

Но как рассчитать, когда кристалл будет весить тонну? Составим уравнение:

Нам известны основание степени и результат возведения в степень — осталось найти её показатель. Ничего не напоминает? Это ведь и есть логарифм x = log_e 1000! Или, если использовать сокращённую запись, x = ln 1000.

Подставим в калькулятор и выясним, что x ≈ 6,9. Именно столько лет потребуется кристаллу, чтобы его масса достигла тонны.

Какие ещё есть виды логарифмов: десятичный и двоичный

Десятичный логарифм — логарифм, основание которого равно 10. Он обозначается lg x и очень удобен, потому что с ним легко вычислять круглые числа.

Двоичный логарифм — логарифм, основание которого равно 2. Он обозначается lb x и часто используется программистами, потому что компьютеры думают и считают в двоичной системе.

Свойства и формулы логарифмов

Список операций, которые можно совершать с логарифмами, ограничен. Если вы запомните все и научитесь их выполнять, то сможете щёлкать логарифмические задачки, как семечки.

У всех логарифмов есть ограничения. Их основание и аргумент должны быть больше нуля, при этом основание не может быть равно единице. На математическом языке это звучит так:

Перейдём к свойствам логарифмов. Они работают в обе стороны, и их применяют как слева направо, так и справа налево.

1. Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю:

Например: log₁₇ 1 = 0

2. Логарифм, где число и основание совпадают, равен единице:

Например: log₁₇ 17 = 1

3. Основное логарифмическое тождество:

Например: log₁₇ 17 5 = 5

4. Логарифм произведения чисел равен сумме их логарифмов:

Например: log₅ 12,5 + log₅ 10 = log₅ (12,5 × 10) = log₅ 125 = 3

5. Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:

Например: log₃ 63 − log₃ 7 = log₃ 63/7 = log₃ 9 = 2

6. Если основание или аргумент возведены в степень, то их можно удобно выносить перед логарифмом:

Из этих двух формул следует:

Например: log_{2 3} 4 9 = 9/3 × log₂ 4 = 3 × 2 = 6

7. Если нам неудобно основание логарифма, то его можно изменить:

Например: log₂₅ 125 = log₅ 125/log₅ 25 = 3/2 = 1,5

Из этой формулы следует, что мы можем поменять местами основание и аргумент вот так:

Например: log₁₆ 4 = 1/log₄ 16 = 1/2 = 0,5

Как решать логарифмы: попробуйте сами

А теперь возвращаемся к задачам, которые мы дали в начале статьи.

Пример 1

log₃ 81

Вспомните, что 81 — это 9 2 . А 9 — это 3 2 . Таким образом:

Теперь логарифм не представляет для нас никаких сложностей. Воспользуемся свойством степени и вынесём четвёрку.

log₃ 3 4 = 4 × log₃ 3 = 4 × 1 =4

Пример 2

lg 2 × lb 10

Переведём сокращённые записи в полный вид:

lg 2 × lb 10 = log₁₀ 2 × log₂ 10

Приведём оба логарифма к одному основанию.

Пример 3

log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3

Воспользуемся свойством суммы.

Представим 216 в виде степени числа 6 и вынесем с помощью свойства степени.

log₂₁₆ 6 = log₆ 3 6 = 1/3 × log₆ 6 = 1/3 × 1 = 1/3

Как считать логарифмы в Python

Чтобы работать с логарифмическими выражениями в Python, необходимо импортировать модуль math:

import math

И теперь посчитаем log₂ 8, используя метод math.log (b, a):

print (math.log (8, 2)) >>> 3.0

Обратите внимание на два момента. Во-первых, мы сначала передаём функции аргумент и только потом — основание. Во-вторых, функция всегда возвращает тип данных float, даже если результат целочисленный.

Если мы не передаём функции основание, то логарифм по умолчанию считается натуральным:

#math.e — метод для вызова числа Эйлера. print (math.log (math.e)) >>> 1.0

Для подсчёта десятичного и двоичного логарифма есть отдельные методы:

#Для десятичного. print (math.log10 (100)) >>> 2.0 #Для двоичного. print (math.log2 (512)) >>> 9.0

Ещё в Python есть специфичный метод, который прибавляет к аргументу единицу и считает натуральный логарифм от получившегося числа:

x = math.e print (math.log1p (x-1)) >>> 1.0

Когда х близок к нулю, этот метод даёт более точные результаты, чем math.log (1+x). Сравните:

x = 0.00001 print (math.log(x+1)) >>> 9.999950000398841e-06 print (math.log1p(x)) >>> 9.99995000033333e-06

Это все основные инструменты для работы с логарифмами в Python.

Читайте также:

• Математика для джунов: что нужно повторить перед собеседованием по Data Science
• Тест: как хорошо ты знаешь устройство интернета?
• ML-разработчик: кто такой, чем занимается и сколько получает