Сколько слов можно составить из слова комбинаторика

КОМБИНАТОРИКА РАЗБИЕНИЙ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.1. Восемь разных книг нужно расставить по трем полкам так, чтобы на одной полке оказалось 2 книги, а на двух других — по 3 книги. Сколькими способами это можно сделать?

Поскольку в данной формулировке полки не различимы, то речь идет о неупорядоченном разбиении множества книг на три подмножества мощности 2, 3 и 3. Параметры m ₁ = 1, m ₂ = 2, поэтому число разных способов расставить книги так, как это требуется в условии задачи, равно

Приведенные выше примеры показывают, как важно для решения задачи выбрать наиболее подходящую комбинаторную схему, правильно определить, какие именно комбинаторные операции требуется выполнить над исходным множеством. Иногда формулировка задачи допускает неоднозначное понимание того, какие результаты комбинаторной операции считаются одинаковыми, а какие – разными. В таких случаях нужно самостоятельно сделать необходимые уточнения.[24]

Задача 5.2. одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шаров). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам?[11]

Решение. Мы имеем 7 шариков, которые распределяем по 4 лункам (лунки могут быть пустые), т. е. это соответствует формуле о разбиениях = k n , число способов равно 4 7 = 16348.

Задача 5.3. Стадион имеет 4 входа. Сколькими способами болельщик может войти на стадион в один вход, а выйти через другой?[12]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях (3), число способов равно = 12.

Задача 5.4. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? [11]

Решение. Это задача о разделе 28 костей между 4 игроками по 7 костей.

Используя формулу для числа способов такого раздела (3)

Задача 5.5. Сколькими способами можно разместить 4 книги на полке?[16]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях n !, число способов равно 4! = 1·2·3·4 = 24

Задача 5.6. Сколькими способами можно поставить в ряд 6 человек для выполнения их группового портрета? Сколькими способами можно это сделать, если поставить трех человек в переднем ряду и трех во втором?[12]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях n !, число способов равно 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720

Задача 5.7. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «лодка»?[12]

Решение. Слово «лодка» состоит из 5 различных букв. Значит можно воспользоваться формулой n !, число различных «слов» будет 5! = 1·2·3·4·5 = = 120.

Задача 5.8. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?[20]

Решение. Слово «математика» состоит из 10 повторяющихся букв: 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т». Значит можно воспользоваться формулой (3), число различных «слов» будет = = 151200.

Задача 5.9. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?[11]

Решение. Слово «комбинаторика» состоит из 13 повторяющихся букв: 2 буквы «к», 2 буквы «о», 2 буквы «и», 2 буквы «а». Значит можно воспользоваться формулой (3), число различных «слов» будет = = 389188800.

Задача 5.10. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?[13]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях = , число способов равно = = = = 151200.

Задача 5.11. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов на студенческую конференцию из группы в 20 человек?[21]

Решение. Воспользуемся формулой = , число способов равно = = = =1140.

Задача 5.12. Сколькими способами можно расставить 40 различных книг по шести полкам так, чтобы не было пустых полок, если на полку помещаются все 40 книг?

Решение . В задаче опять важно, на какую полку, и в каком порядке расставляются книги, но теперь не должно быть пустых полок. Поэтому искомое число расстановок .[10]

Задача 5.13. Рассеянный почтальон должен разнести
12 писем по 12 адресам. Сколькими способами он может разложить письма по почтовым ящикам так, чтобы

а) ни один адресат не получил адресованное ему письмо;

б) ровно 5 человек получили адресованные им письма;

в) хоть один адресат получил адресованное ему письмо;

г) ровно один адресат получил адресованное ему письмо?

Решение . а) В силу предыдущей задачи искомое число способов .

б) Согласно формуле (1.6.12) искомое число способов равно .

в) Всего способов раскладки писем по ящикам, из них в случаях ни один адресат не получит адресованное ему письмо. Поэтому искомое число способов .

г) Очевидно, что такой ситуации быть не может.

Задача 5.14 (задача о беспорядках). Имеется различных предметов и различных ячеек . Требуется разместить предметы по ячейкам так, чтобы никакой предмет не попал в ячейку . Сколько существует таких способов размещения?

Решение . Примем за множество всевозможных раскладок предметов по ячейкам. Число таких раскладок равно числу перестановок из элементов, т.е. Условимся, что свойство означает: элемент находится в ячейке , . Тогда – число раскладок, при которых элемент находится в ячейке ( ), а – число раскладок, при которых никакой предмет не попал в ячейку . По формуле .

Задача 5.15. Контрольную работу по дискретной математике, содержащую три задачи, писали 105 студентов III курса. Первую задачу решили 70 человек, вторую – 59, а третью – 62. С первой и второй задачами справились – 39 студентов, со второй и третьей – 32, с первой и третьей – 41. Шесть человек не решили ни одной задачи. Сколько студентов полностью справились с контрольной работой?

Решение . Множество студентов примем за , а за свойства – решение студентом первой, второй и третьей задачи соответственно. Тогда , , , , , , . Подставляя эти значения в формулу (1.6.5), получим

6 = 105 – (70 + 59 + 62) + (39 + 32 + 41) – .

Задача 5.16. Имеются цветы трех видов: 10 васильков, 15 незабудок, 12 ромашек. Требуется разложить их на 2 букета.[11]

Решение. Васильки на 2 букета можно разложить 11 способами, незабудки — 16, ромашки — 13 способа ми. Поскольку расклад каждого вида цветов выполняется независимо, то общее число вариантов расклада будет: 11·16·13.

Задача 5.17. Из группы в 15 человек нужно отобрать бригаду, в которую должно входить не менее 5 человек. Сколько имеется вариантов выбора?

Решение. Подсчитаем число неблагоприятных комбинаций выбора, т. е. со ставим варианты бригад из 1, 2, 3, 4 человек. Их количество равно:

А общее количество бригад равно 2 15 – 1. Разность дает число благо­ приятных комбинаций.[17]

Задача 5.18. Трое мальчиков собрали 40 яблок. Сколько имеется способов раздела яблок между ними?

Решение. Напишем 40 единиц и 2 нуля, выполняющих как и ранее функции раз делителя, и затем начнем их переставлять всеми возможными спосо бами. Каждой перестановке будет соответствовать некоторый способ раздела 40 яблок на 3 кучки. Каждому способу раздела будет соответствовать некоторый код, содержащий 40 единиц и 2 нуля. Поэтому коли чество способов раздела:

Р(40,2) = 42!/(2!40!) = 861.

Задача 5.19. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение : В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

2365 способами можно взять 4 детали из ящика.

Ответ : 1365 способами

Задача 5.20. Восемь разных книг нужно расставить по трем полкам так, чтобы на верхней полке оказалась 1 книга, на средней полке — 3 книги, на нижней полке — 4 книги. Сколькими способами это можно сделать?

В данном примере множество из восьми книг разбивается на три непересекающихся подмножества мощности 1, 3 и 4. Согласно формуле (3) количество различных вариантов выполнить такое разбиение равно

Задача — Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”? у меня получиловь 151200

ну допустим не 10!))) буквы же повторяются!
м -2 раза
а-3раза
т-2 раза
е—1раз
и -1
к-1 раз
P(n1,n2,n3. nk)=n! / (n1!n2!n3. nk!), при чем n1+n2+n3+. nk=n
P(2,3,2,1,1,1)=10!/(2!3!2!1!1!1!)=151200
то есть у автора вопроса — правильный ответ

Источник: учебник по высшей математике, раздел комбинаторика, перестановки с повторениями
Остальные ответы

и все они имеют смысл? наверное ты нашел число возможных сочетаний букв из слова «математика», а не осмсленных слов

151201!ты наверное слово мама забыл?:)

Перестано́вка — это упорядоченный набор чисел 1,2,3,4. n При этом n называется порядком перестановки. Число всех перестановок порядка n =n! в слове математика 10 букв т е число перестановок = 10!=3628800

Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/перестановка

Искомые слова представляют собой перестановки с повторением (n =10 — число букв в слове) из элементов-букв множества А (а, е, и, к, м, т) , где буквы повторяются в последовательности ( 3,1,1,1,2,2)
Тогда Р = 10! / 3!2!2! =151200

Комбинаторика 5

Во многих комбинаторных задачах непосредственное нахождение числа интересующих нас вариантов оказывается затруднительным. Однако при некотором изменении условия задачи можно найти количество вариантов, превосходящее исходное в известное число раз. Такой прием называется методом кратного подсчета.

1. Сколько анаграмм имеет слово КЛАСС?

Трудность в том, что в этом слове две одинаковые буквы С. Будем временно считать их разными и обозначим С₁ и С₂. Тогда число анаграмм окажется равным 5! = 120. Но те слова, которые отличаются друг из друга лишь перестановкой букв С₁ и С₂, на самом-то деле являются одной и той же анаграммой! Поэтому 120 анаграмм разбиваются на пары одинаковых, т.е. искомое число анаграмм равно 120/2 = 60.

2. Сколько анаграмм имеет слово ШАРАДА?

Считая три буквы А различными буквами А₁, А₂, А₃, получим 6! анаграмм. Но слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв А₁, А₂, А₃, на самом деле являются одной и той же анаграммой. Поскольку имеется 3! перестановок букв А₁, А₂, А₃, полученные изначально 6! анаграмм разбиваются на группы по 3! одинаковых, и число различных анаграмм оказывается равным 6!/3! = 120.

Другая содержательная комбинаторная идея — так называемый переход к дополнению. В некоторых задачах вместо искомого числа «нужных» вариантов оказывается проще найти число «ненужных» вариантов, дополняющее число «нужных» вариантов до известного общего количества.

3. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Найдем количество «ненужных» четырехзначных чисел, в записи которых присутствуют только нечетные цифры. Таких чисел 5 4 = 625. Но всего четырехзначных чисел 9000, поэтому искомое количество «нужных» чисел равно 9000 – 625 = 8375.

1. Найти число анаграмм у слов ВЕРЕСК, БАЛАГАН, ГОРОДОВОЙ.
2. Найти число анаграмм у слов БАОБАБ, БАЛЛАДА, ПЕРЕПОЛОХ, АНАГРАММА, МАТЕМАТИКА, КОМБИНАТОРИКА, ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ.
3. Сколькими способами можно поселить 7 приезжих в три гостиничных номера: одноместный, двухместный и четырехместный?
4. В холодильнике лежат два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд Пете дают один какой-то фрукт. Сколькими способами это может быть сделано?
5. Из семи лучших лыжников школы нужно отобрать команду из трех человек для участия в городских соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
6. Перед экзаменом профессор пообещал поставить двойки половине экзаменуемых. На экзамен пришло 20 студентов. Сколькими способами он может выполнить обещание?
7. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?
8. В продаже есть шоколадное, клубничное и молочное мороженое. Сколькими способами можно купить три мороженых?
9. При приготовлении пиццы к сыру добавляются разные компоненты, обеспечивающие тот или иной вкус. В распоряжении Билла имеются лук, грибы, помидоры, перец и анчоусы, причем все это, по его мнению, можно добавлять к сыру. Сколько видов пиццы может приготовить Билл?
10. Свидетель криминальной разборки запомнил, что преступники скрылись на «мерседесе», номер которого содержал буквы Т, З, У и цифры 3 и 7 (номером является строка, в которой сначала идут три буквы, а затем — три цифры). Сколько существует таких номеров?
11. Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?
12. Сколько всего существует n-значных чисел?
13. Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры?
14. Кубик бросают трижды. Среди всевозможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз выпала шестерка. Сколько их?
15. Сколько пятизначных чисел имеют в своей записи цифру 1?
16. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске белого и черного короля так, чтобы они не били друг друга?
17. Сколько делителей у числа 10800?

• Авторские методические материалы
• Задачи по математике
• Задачи по физике
• Биология
• Подготовка к ЕГЭ
• Задачи по химии
• Астрономия
• Статьи об образовании
• История науки

Комбинаторика

Сколько различных четырехбуквенных “слов” можно составить из слова ИНФОРМАТИКА? Ответ обосновать.

задан 8 Мар ’15 11:58

deniszpol
45 ● 3 ● 13
80&#037 принятых

Различных цифр всего 9, поэтому ответ $%9^4$%.

(8 Мар ’15 13:26) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: при составлении слов из заданного состава букв (как в известной игре) обычно подразумевается, что использовать букву можно максимум столько раз, сколько она встречается среди букв исходного слова.

(8 Мар ’15 14:04) falcao

к $%9^4$% нужно прибавить те слова, в которые буква «А» входит дважды.

(8 Мар ’15 14:14) Роман83

@Роман83: нет, там ничего прибавлять не нужно, так как $%9^4$% включает в себя все случаи, в том числе такие, где любая из букв может встречаться три или четыре раза.

(8 Мар ’15 14:27) falcao

1 ответ

Рассмотрим несколько случаев.

а) Никакие буквы не повторяются. Поскольку различных букв здесь 9, получится число размещений из 9 по 4, то есть $%9\cdot8\cdot7\cdot6=3024$%.

б) Дважды повторяется А, и дважды повторяется И. Здесь способов $%6$%, в чём можно убедиться непосредственно, если не пользоваться формулой для числа сочетаний.

в) Дважды повторяется А, остальные буквы используются не более чем по разу. Здесь мы сначала $%6$% способами определяем места для буквы А, затем на первое из свободных мест ставим одну из оставшихся $%8$% букв, а потом на последнее свободное место ставим одну из $%7$% букв. По правилу произведения получается $%6\cdot8\cdot7=336$%.

г) Дважды повторяется И, остальные буквы используются не более чем по разу. Здесь способов тоже $%336$%.

Мы перебрали все случаи, и теперь по правилу суммы остаётся сложить полученные числа: $%3024+6+336+336=3702$%.

отвечен 8 Мар ’15 14:25

falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55