Как посчитать кпд цикла по графику

Алгоритм решения задач на определение к.п.д. теплового цикла по графику зависимости давления от объема

Задача на определение коэффициента полезного действия по
графику зависимости давления от объема.
Рассчитайте КПД тепловой машины,
использующей в качестве рабочего
тела одноатомный идеальный газ и
работающей по циклу, изображенному на рисунке.
P
2
3
2P0
P0
0
4
1
V0
2V0
3V0
Появление новых рисунков и
записей происходит только после
щелчка мыши.
V
2

3.

Задача на определение коэффициента полезного действия по
графику зависимости давления от объема.
Рассчитайте КПД тепловой машины, использующей в
качестве рабочего тела одноатомный идеальный газ и
работающей по циклу, изображенному на рисунке.
P
2
3
2P0
P0
0
4
1
V0
2V0
3V0
V
3

4.

Подсказка №1
P
КПД
2
работа газа за цикл
Qполученное количество теплоты полученное
3
от нагревателя
2P0
P0
0
4
1
V0
2V0
Q полученное
3V0
Следовательно, необходимо
определить в каждом процессе по
изменению температуры получено,
или отдано количество теплоты.
V
Расчет количества теплоты производят исходя из первого
закона термодинамики.
4

5.

P
2
2P0
P0
0
1
V0
2V0
Подсказка №2
Работа, выполненная в какомлибо процессе, численно равна
площади фигуры заключенной
под графиком в координатах
3
P(V). Площадь заштрихованной
фигуры равна работе в
процессе 2-3, а площадь
4
закрашенной фигуры — работе в
процессе 4-1, причем именно
эта работа газа отрицательна,
V
3V0
т.к. от 4 к 1 объём уменьшается.
Работа за цикл равна сумме этих работ. Следовательно
работа газа за цикл численно равна площади этого цикла.
5

6.

Алгоритм решения задачи.
1. Записать формулу КПД.
2. Определить работу газа по
площади фигуры процесса в
координатах P,V.
P
2
3. Проанализировать в каком из
процессов поглощается , а не
выделяется количество теплоты.
3
2P0
P0
0
4
1
V0
2V0
3V0
4.Используя 1 закон термодинамики,
подсчитать полученное количество
теплоты.
V
5. Подсчитать КПД.
6

7.

Решение
1. Записать формулу КПД.
ÊÏÄ
Q ïîëó÷åííîå
P
2. Определить работу газа по площади
фигуры процесса в координатах P,V.
2
1, 2 , 3, 4 S прям оугольника
3
2P0
P0
0
1, 2 , 3, 4 (2 Р0 P0 )(3V0 V0 )
4
1
V0
2V0
3V0
V
7

8.

3. Проанализировать в каком из процессов поглощается ,
а не выделяется количество теплоты.
1. Процесс1 –2 . V = const, P
поглощается
P
3
4
1
V0
2V0
Q
3. Процесс 3 – 4. V = const, P , T
Q выделяется
2P0
0
Q
2. Процесс 2 – 3. P = const, V , T
поглощается
2
P0
T
3V0
4. Процесс 4 – 1. P = const, V ,
T Q выделяется
V
8

9.

4. Используя 1 закон термодинамики, подсчитать
полученное количество теплоты.
Q1, 2 U 1, 2 A1, 2
Для процесса 1-2
A1, 2 0 Для изохорного процесса
P
U 1, 2
3
R T1
2
P1V RT1
P2V RT2
2
3
2P0
P0
4
1
Вычтем из нижнего
уравнения верхнее
V ( P2 P1 ) R T
3
U 1, 2 V ( P2 P1 )
2
3
3
U 1, 2 V0 ( 2 P0 P0 ) P0V0
2
2
следовательно
0
V0
2V0
3V0
V
Q1, 2
3
P0V 0
2
9

10.

4. Используя 1 закон термодинамики, подсчитать
полученное количество теплоты.
Для процесса 2-3
Q 2 , 3 U 2 , 3 A2 , 3
3
U 2 , 3 R T 2
2
A2, 3 P2 V 2
P2 V 2 R T 2
3
U 2 , 3 P 2 V 2
2
P
2
3
2P0
P0
0
4
1
V0
2V0
3V0
3
5
Q 2 , 3 P 2 V 2 P 2 V 2 P 2 V 2
2
2
V
10

11.

5
Q 2 , 3 P 2 V 2
2
P
Q2 , 3
2
5
2 P0 (3 V0 V0 ) 5P0 2V0 10 P0V0
2
3
2P0
Q Q1, 2 Q2,3 10 P0V0
P0
0
4
1
V0
2V0
3V0
3
23
0V0
0V0
2
2
V
11

12.

5. Подсчитать КПД.
КПД
Q полученное
P
(2 Р0 P0 )( 3V0 V0 ) 2 Р0V0
2
3
2P0
P0
0
4
1
V0
2V0
3V0
V
2 P0V0
4 P0V0
КПД
23
23P0V0
P0V0
2
4
0,17 17%
23
12

КПД цикла Карно (графики цикла в координатах p-V и T-S)).

. Рассмотренный Карно тепловой двигатель состоял из нагревателя с температурой Т₁ холодильника с температурой Т₂ и рабочего тела, т.е. устройства, способного получать тепло и совершать работу (см. рис.*). Под рабочим телом пока будем понимать идеальный газ в цилиндре с поршнем.

Карно рассмотрел цикл из двух изотерм и двух адиабат (рис. **).

При изотермическом расширении 1-2 газ находится в контакте с нагревателем (Т₁) . Пусть при этом газ получает тепло Q₁ . На изотерме 3-4 газ отдает тепло Q₂ холодильнику Т2.

Данный цикл является обратимым (если его проводить бесконечно медленно). Он может быть проведен в обратном направлении, и при этом газ совершает отрицательную работу, нагреватель получает обратно тепло Q₁ , холодильник отдает газу тепло Q₂ , которое он получил в прямом цикле.

Именно так в принципе работает любой бытовой холодильник. Дальнейшие рассуждения проще всего провести, изобразив цикл Карно не на диаграмме р, V , а на диаграмме S, Т (энтропия — температура) . На этой диа- грамме цикл Карно имеет вид прямоугольника (рис. ***).

Изотермы изображаются прямыми 1-2 и 3-4 , адиабаты — прямыми 2-3 и 4-1 . Полученное тепло Q₁=T₁(S₂-S₁) и равно площади под отрезком 1-2 . Отданное холодильнику тепло Q₂=T₂(S₂-S₁) и равно площади под отрезком 4-3 . При этом площадь прямоугольника, т.е. равна работе А , совершаемой двигателем за цикл. Подставив выражения Q1 и Q₂ в формулу, получим, что КПД цикла Карно:

При выводе этой формулы не делалось никаких предположений о свойствах рабочего вещества и устройстве теплового двигателя. Отсюда следует знаменитая теорема Карно: КПД обратимых двигателей, работающих по циклу Карно, зависит только от температур T₁ и T₂ — нагревателя и холодильника, но не зависит ни от устройства двигателя, ни от рода рабочего вещества,
Пример. Выясним, в каком случае КПД цикла Карно повышается больше: при увеличении температуры нагревателя на ΔТ или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину. С этой целью возьмем частные производные по Т₁ и Т₂ выражения для КПД: , &nbsp Так как T₂1 , то . Значит, при уменьшении температуры холодильника КПД цикла повышается больше. Заметим, что этот вопрос можно решить и с помощью диаграммы Т, S. Можно показать (мы опускаем доказательство), что КПД любого необратимого теплового двигателя, работающего с теми же нагревателем и холодильником, всегда меньше, чем у двигателя, работающего по обратимому циклу Карно: .

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось originaldedo 07.06.2018, 22:44, всего редактировалось 2 раз(а).

$\Phi$

Добрый день. Есть задача, надо вычислить КПД по графику.
1-2 Изотерма, — количество вещества.

Сам я нашёл решение задачи по формуле $'-\frac<Q_2>$» />, но преподаватель сказал,что надо через площади найти т.е. через <img decoding=$ . НО там не треугольник а изотерма и я не понимаю как в данном случае найти площадь.

Re: Вычислить КПД по графику
07.06.2018, 17:25

Заслуженный участник

Интегрированием.
Posted automatically
07.06.2018, 17:27

Заслуженный участник

— неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы ).

Posted automatically
07.06.2018, 23:04

Заслуженный участник

i	Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

Re: Вычислить КПД по графику
07.06.2018, 23:33

Заслуженный участник

Можно просто посчитать клеточки.
Re: Вычислить КПД по графику
08.06.2018, 08:27

originaldedo
Чтобы применить приведенную вами формулу, нужно разобраться, что происходит с газом во всех трех процессах этого цикла.
А для этого нужно взять книжку и прочитать, что такое изохорический, изобарический и изотермический процессы. Какая энергия тратится на работу, совершаемую газом, а какая на изменение его внутренней энергии. Посмотреть, из чего складывается теплоемкость газа при постоянном давлении и постоянном обьеме. А также, что происходит с газом во время изотермического процесса. Поскольку цикл у нас замкнутый и процессы стандартные, то из всех 4-х приведенных параметров три независимы, а четвертый вычисляется. Вам нужно заранее определить эти три независимых параметра. Поскольку нам нужно расчитать КПД, то еще один параметр уйдет (сократится), а для двух оставшихся параметров на самом деле важно только их соотношение.

Re: Вычислить КПД по графику
08.06.2018, 15:43
fred1996 в сообщении #1318136 писал(а):

$$\frac<\ln \frac <V_2> После всех сокращений получилось такое >(p_2-p_1)>$» /> Re: Вычислить КПД по графику 08.06.2018, 15:54 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

originaldedo в сообщении #1318240 писал(а):

$$\frac<\ln \frac <V_2> После всех сокращений получилось такое >(p_2-p_1)>$» /> С размерностью беда (должна получиться безразмерная величина). Также множитель <img decoding=$ (и каким линиям на графике соответствуют $Q_1, Q_2$ ).

Кроме того, стоит выразить только через давления или только через объемы.

Re: Вычислить КПД по графику
08.06.2018, 16:01

Последний раз редактировалось originaldedo 08.06.2018, 16:03, всего редактировалось 2 раз(а).

DimaM в сообщении #1318242 писал(а):
originaldedo в сообщении #1318240 писал(а):

Кроме того, стоит выразить только через давления или только через объемы.

$$Q_1=Q_2_3=<<\frac 3 2>(p_2-p_1)>$» /> и <img decoding=$ у меня получилось таким $$<nRT\ln \frac <V_2>>$» /> Re: Вычислить КПД по графику 08.06.2018, 16:02 originaldedo в сообщении #1318246 писал(а): С размерностью беда это точно, не обращайте внимание на клеточки Беда не только с размерностью, но и с тем, что вы не понимаете, что это такое. В каких единицах измерения измеряется количество тепла? Re: Вычислить КПД по графику 08.06.2018, 16:07 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Последний раз редактировалось DimaM 08.06.2018, 16:09, всего редактировалось 1 раз.

originaldedo в сообщении #1318246 писал(а):

$$Q_1=Q_2_3=<<\frac 3 2>(p_2-p_1)>$» /> и <img decoding=$
Также не указано в условии, какой у вас газ. Так что в общем случае вы должны пользоваться параметром газовой постоянной: $$\gamma=\frac<C_p>$» /> <img decoding=$

Так что давайте ка по порядку. Начнем с процесса
Что там с газом происходит? Кто там тепло отдает, кто получает? Как меняется внутренняя энергия газа и какую работу он совершает?

Re: Вычислить КПД по графику
08.06.2018, 17:05

Последний раз редактировалось originaldedo 08.06.2018, 17:10, всего редактировалось 1 раз.

DimaM в сообщении #1318251 писал(а):
originaldedo в сообщении #1318246 писал(а):

$$Q_1=Q_2_3=<<\frac 3 2>(p_2-p_1)>$» /> и <img decoding=$ и $Q_3_1$ Не уверен,что надо через разницу но всё же написал так.
$$\frac<vRT_1\ln\frac<V_2>+p_1(V_2-V_1)><vR(T_2-T_1)+vRT_1\ln\frac<V_2>>=\frac A Q_1$» /> fred1996 в сообщении #1318257 писал(а): originaldedo При вычислении КПД количество молей роли не играет, поэтому везде для любых процессов можно пользоваться универсальным газовым законом: <img decoding=$
Также не указано в условии, какой у вас газ. Так что в общем случае вы должны пользоваться параметром газовой постоянной: $$\gamma=\frac<C_p>$» /> <img decoding=$

Если честно уже голова кипит, но думаю так:
Происходит нагревание газа в следствии чего увеличивается его энергия и он не совершает работы.

Примеры решения задач на расчет кпд тепловых двигатлей

Задача 2.1. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества , находится под давлением — и занимает объем . Сначала газ изохорно нагревают до температуры . Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определит термический КПД цикла.

Решение

ля наглядности построим сначала график цикла, который состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р,V этот цикл имеет вид, представленный на рис. 2.1. Характерные точки цикла обозначим 1, 2, 3.

Термический КПД любого цикла определяется

где — количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя; — количество теплоты, отданное газом за цикл охладителю.

Разность количеств теплоты равна работе А, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координатах р,V (рис.2.1) изображается площадью цикла (площадь цикла заштрихована).

Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты на двух участках: на участке 1 — 2 (изохорный процесс) и , на участке 2 — 3 (изотермический процесс). Таким образом

Количество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно

где — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; и количество вещества. Температуру начального состояния газа, воспользовавшись уравнением Клапейрона—Менделеева:

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

Количество теплоты, полученное газом при изотермическом процессе, равно

где — объем, занимаемый газом при температуре и давлении (точка 3 на графике).

На участке 3 — 1 газ отдает количество теплоты , равное

где Ср — молярная теплоемкость газа при изобарном процессе.

Подставим найденные значения и в формулу (1):

В полученном выражении заменим отношение объемов , согласно закону Гей-Люссака, отношением температур и выразим и через число степеней свободы молекулы . Тогда после сокращения на и получим

Подставив значения и , и произведя вычисления, найдем

Ответ:  = 4,1 %

Задача 2.2. Температура пара, поступающего в паровую машину, ; температура в конденсаторе . Определить теоретически максимальную работу при затрате количества теплоты .

Решение

ля того чтобы работа, совершаемая тепловой машиной (тепловым двигателем), была максимальной, необходимо, чтобы цикл, по которому работает двигатель, был обратимым. При наличии только двух термостатов — нагревателя с температурой и холодильника с температурой — возможен только один обратимый цикл — цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис.2.2.).

Коэффициент полезно действия этого цикла

КПД любого теплового двигателя

где А — полезная работа, совершаемая двигателем, — количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя.

Приравнивая правые части равенств (I) и (2), получим

Ответ: А=1,05 кДж.

Задача 2.3. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов. При изобарном процессе рабочее тело — идеальный газ — нагревается от температуры Т₁ = 200 К до Т₂ = 500 К. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и двигателя, работающего по циклу Карно, происходящему между максимальной и минимальной температурами данного цикла.

Решение

В условии задачи неоговорена последовательность процессов, но поскольку изобарный процесс, по условию, — процесс нагревания, следовательно, и расширения, а тепловая машина является тепловым двигателем, то прямая, соответствующая графику этого процесса в координатах р,V, должна лежать выше кривых, изображающих изотермический и адиабатный процессы. После изобарного расширения 1- 2 (рис. 2.3) газ должен а диабатно расширяться (кривая 2-3) до тех пор, пока температура станет равной , а затем изотермическим сжатием (кривая 3-1) газ можно вернуть в исходное состояние. (Легко убедиться, что при любой другой последовательности процессов не будет выполняться условие з

При последовательности процессов, изображенной на рис. 2.3 газ получает теплоту только в процессе 1-2, поэтому , и отдает теплоту в процессе 3-1 ( ). Процесс 2-3 происходит без теплообмена. Тогда коэффициент полезного действия цикла, согласно определению,

Газ идеальный, все процессы предполагаются обратимыми (фактически это предположение было сделано уже при изображении процессов на графике). Тогда и могут быть выражены по известным формулам для изобарного и изотермического процессов.

Коэффициент полезного действия цикла Карно найдем по известным формулам, так как из проведенного анализа очевидно, что .

Количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,

где — молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Количество теплоты, отдаваемое рабочим телом при изотермическом сжатии,

Для процесса 3-1 количество теплоты пропорционально . Поскольку , логарифм будет отрицательным, поэтому в выражении для стоит .

Объемы газа и их отношения неизвестны, однако состояния I и 2 лежат на одной изобаре и

Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате:

Учитывая, что , и извлекая корень степени , получаем

Перемножая почленно равенства (4) и (6), имеем

Подставим выражения (2) и (7) в (1):

Коэффициент полезного действия цикла Карно между максимальной и минимальной температурами

Задача 2.4. В цикле Отто газовых и карбюраторных двигателей внутреннего сгорания теплота подводится и отводится при постоянных объемах (рис. 2.4). Особенностью таких двигателей является то, что в них сжимается рабочая смесь, приготовленная вне цилиндров:

0—1 — всасывание рабочей смеси (горячий газ — воздух либо пары легкого топлива — воздух);

/—2 — адиабатическое сжатие рабочей смеси.

В конце сжатия происходит зажигание горючей смеси от электрической искры;

2—3 — быстрое возрастание давления продуктов сгорания (практически при постоянном объеме) и их температуры;

3—4 — адиабатическое расширение продуктов сгорания (рабочий ход поршня). В конце расширения открывается выпускной клапан, происходит падение давления в цилиндре (ветвь 4-1) при постоянном объеме;

1—0 — выталкивание поршнем продуктов сгорания.

О тношение

называется степенью адиабатического сжатия.

Определить КПД цикла, если показатель степени адиабаты равен .

Как посчитать кпд цикла по графику

Алгоритм решения задач на определение к.п.д. теплового цикла по графику зависимости давления от объема

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

КПД цикла Карно (графики цикла в координатах p-V и T-S)).

Научный форум dxdy

Примеры решения задач на расчет кпд тепловых двигатлей

Добавить комментарий Отменить ответ