На сколько квадратов можно разрезать квадрат

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n , начиная с шести.

Решение

Если квадрат допускает разбиение на n квадратов, то он допускает разбиение и на n + 3 квадрата (достаточно один из квадратов разрезать на четыре). Разобьем все натуральные числа на три арифметические прогрессии n = 3 k , n = 3 k + 1, n = 3 k + 2, и в каждой из них найдем минимальное n , для которого задача имеет решение. В первой прогрессии минимальное такое n равно 6, во второй — 4, в третьей — 8. (Требуемые разбиения строятся из квадратов 3×3, 2×2 и 5×5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	3
Название	Индукция в геометрии и комбинаторике
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.045

Проект осуществляется при поддержке и .

Научный форум dxdy

Задача, иллюстрирующая принцип математической индукции:
Докажите, что квадрат можно разрезать на 6, 8, 9 квадратов. На какое еще число квадратов можно разрезать квадрат?
Ответ: на любое число, отличное от 2, 3 и 5. Действительно не трудно разрезать квадрат на 6, 8, 9 квадратов, а разрезать его на 7 совсем просто: достаточно в исходном квадрате, а затем в его четвертинке нарисовать «крестик»(рисунок). Это и есть основная идея — подрисовать крестик, увеличив количество квадратов на 3. Следовательно, раз мы смогли разрезать квадрат на 6 квадратов, то сможем разрезать его на 9, на 12, на 15 квадратов, и так далее. Разрезав квадрат на 4 квадрата, мы далее сможем получить разрезания на: 7, 10, 13, и так далее квадратов. Наконец, мы сможем разрезать его на 8, 11, 14, . квадратов. Таким образом, добавляя тройку нужное число раз, мы из чисел 6, 7 и 8 можем получить любое натуральное число, большее 5. Конечно, остается доказать, что квадрат невозможно разрезать на 5 квадратов(ясно, что его нельзя разрезать как на 2, так и на 3 квадрата).
Приводится рисунок:
$$\begin(100,100) \put(0,0)<\line(0,0)<100>> \put(50,0)<\line(0,0)<100>> \put(100,0)<\line(0,0)<100>> \put(0,0)<\line(1,0)<100>> \put(0,50)<\line(1,0)<100>> \put(0,100)<\line(1,0)<100>> \put(25,50)<\line(0,0)<50>> \put(0,75)<\line(1,0)<50>> \end$» /><br />В ответе утверждается, что разрезать квадрат на 6, 8 квадратов легко, но не приводится рисунок. А как разрезать квадрат на 6 или 8 квадратов? Подскажите, пожалуйста!<br />Чтобы в результате разрезания получались квадраты, то обе стороны квадрата нужно делить на одинаковое число отрезков. <br />Например, если каждую из сторон квадрата поделить на два отрезка, а потом разрезать, то получим 4 квадрата. <br /><img decoding=$

Реализовать это разбиение в виде головоломки довольно сложно — слишком разные у этих квадратов стороны. А в виде лоскутного одеяла, скатерти или интарсии на столе — очень интересно! Но если немного «пошевелить» условие задачи, то можно сделать и нетривиальные головоломки.

Например, разрешить не всем квадратам быть попарно различными. В приведённом примере большой фиолетовый квадрат имеет сторону $5$, два синих — $4$, зелёный — $3$, жёлтые — по $2$, а у красных квадратов сторона равна $1$.

Квадрирование квадрата

Задачу разрезания на квадраты разумно ставить и для прямоугольника. И такая постановка имеет и историческое значение: в $1903$ году Макс Ден доказал, что если прямоугольник можно разрезать на квадраты (не обязательно равные), то отношение длин его сторон рационально.

Квадрирование квадрата

В приведённом примере прямоугольник $32\times 33$ разделён на попарно различные квадраты (со сторонами $18$, $15$, $14$, $10$, $9$, $8$, $7$, $4$ и квадратик со стороной $1$, который при изготовлении модели следует оставить как пустое место, оговорив это в описании).

Красота этих головоломок в том, что они могут стать введением в интересную область на стыке математики и физики. Ведь найденный способ решения задачи о квадрировании квадрата (или прямоугольника) основывается на правилах Кирхгофа из теории электрических цепей!

Литература

Яглом И. М. Как разрезать квадрат?. — М.: Наука, 1968. — (Математическая библиотечка). — [Возможность разбиения на 21 квадрат ещё не была известна!].

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1999. — [Глава «Квадрирование квадрата»].

Скопенков М. , Прасолов М. , Дориченко С. Разрезания металлического прямоугольника // Журнал «Квант». 2011. № 3. Стр. 10—16.

Для любого натурального n > 6 квадрат можно разрезать на n квадратов. Как это доказать?

Решение:
Если квадрат разрезан на m квадратов, то один из них можно разрезать на 4 квадрата, увеличив тем самым общее число квадратов до m+3. Квадрат можно разрезать на 1 квадрат (это он сам и есть) , на 6 квадратов (для этого разделим его на 9=3*3 одинаковых квадратов и объединим 4 из этих квадратов в один квадрат 2*2), на 8 квадратов (для этого разделим его на 16=4*4 одинаковых квадратов и объединим 9 из этих квадратов в один квадрат 3*3). Таким образом, мы можем разрезать квадрат на 3n+1, 3n+6, 3n+8 квадратов, где n — целое неотрицательное число. Любое число, большее 7, представимо в одном из таких видов, поскольку 1, 6 и 8 дают разные остатки (соответственно, 1, 0 и 2) при делении на 3.

Александр ГронскийГуру (3292) 12 лет назад

Безупречный ответ!

green flowerОракул (55576) 12 лет назад

Саша, спасибо)))

Остальные ответы

Молодец, Просветленный!

cтепан муравьевУченик (178) 3 года назад

списовать не хорошо

Похожие вопросы

На сколько квадратов можно разрезать квадрат