Есть функция f которая определена следующим образом

Как сделать это в Python?

1) Есть функция f, которая определена следующим образом:
def f(n):
return n * 10 + 5
Введите её в интерпретаторе и посчитайте, чему равно значение следующего выражения:
f(f(f(10)))
Разберитесь, почему получается именно такое значение.

Голосование за лучший ответ

все уже сделано
print(f(f(f(10))))

def f(n):
return n * 10 + 5

Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Функции высшего порядка — Python: Функции

Функции высшего порядка — это важная концепция в Python. В Python все является объектом, включая функции. Это означает, что функции можно передавать в качестве аргументов другим функциям как и любой другой объект.

Функции, которые можно передавать в качестве аргументов или возвращать из других функций, известны как объекты первого класса или граждане первого класса.

В этом уроке мы научимся работать с объектами первого класса, функциями высшего порядка и лямбда-функциями.

Объекты первого класса

В Python функции являются объектами первого класса. Это означает, что их можно передавать в качестве аргументов другим функциям, возвращать как значения из других функций и хранить в переменных или структурах данных как любой другой объект. Это позволяет использовать функции как строительные блоки для более сложных программ.

Напишем пример, чтобы посмотреть, как функции используются в качестве объекта первого класса:

def hello(name): print(f"Hello, name>!") greeting_function = hello greeting_function("Hexlet") # "Hello, Hexlet!" 

В этом примере мы определяем функцию hello , которая принимает один аргумент и печатает приветствие. Затем мы присваиваем функцию переменной greeting_function и вызываем ее с аргументом.

Рассмотрим другой пример с передачей функции в качестве аргумента другой функции:

def apply_function(numbers, function): results = [] for number in numbers: result = function(number) results.append(result) return results def square(number): return number ** 2 numbers = [1, 2, 3, 4, 5] squared_numbers = apply_function(numbers, square) print(squared_numbers) # [1, 4, 9, 16, 25] 

В этом примере функция apply_function принимает в качестве аргументов список чисел и функцию. Функция apply_function применяет переданную функцию к каждому числу в списке и возвращает новый измененный список. Функция square возводит число в квадрат, и используется в качестве аргумента функции apply_function .

Объекты первого класса также позволяют возвращать функции из другой функции:

def make_multiplier(n): def multiplier(x): return x * n return multiplier times_2 = make_multiplier(2) times_3 = make_multiplier(3) print(times_2(5)) # 10 print(times_3(5)) # 15 

В этом примере функция make_multiplier принимает число n и возвращает новую функцию, которая умножает свой аргумент на n . Затем эта функция применяется, чтобы создать две новые функции times_2 и times_3 , которые умножают свой аргумент на 2 и 3 соответственно. В итоге вызывается функция с аргументом 5, чтобы увидеть их результаты.

Функции высшего порядка

Функции, которые принимают другие функции в качестве аргументов и/или возвращают функции в качестве результатов, называются функциями высшего порядка или ФВП. Их можно использовать для инкапсуляции многократно используемого поведения и создания более абстрактного кода, о котором легче рассуждать.

Например, встроенные функции map и filter в Python являются функциями высшего порядка, которые работают с итерируемыми объектами и применяют функцию к каждому элементу итерируемого объекта.

Рассмотрим следующий пример функции высшего порядка:

def repeat(func, n): for i in range(n): func() def hello(): print("Hello, world!") repeat(hello, 3) 

Вывод будет следующим:

Этот код использует функцию repeat() для многократного вызова функции hello() .

Рассмотрим другой пример с возвратом функции:

def double(function): def inner(argument): return function(function(argument)) return inner def multiply_by_five(x): return x * 5 double(multiply_by_five)(3) # 75 

В этом примере в теле функции double создается функция inner и возвращается в роли результата. Так как вызов double возвращает функцию, мы можем сразу сделать второй вызов ( (3) ). Он уже даст результат двойного применения исходной функции к аргументу.

Имя inner довольно часто используется, чтобы называть функции, которые создаются на лету внутри внешней функции.

Но мы могли бы и не вызвать функцию-значение сразу, а вместо этого сохранить в переменную:

multiply_by_25 = double(multiply_by_five) multiply_by_25 # .inner at 0x7fd1975c58c8> multiply_by_25(1) # 25 multiply_by_625 = double(multiply_by_25) multiply_by_625 # .inner at 0x7fd1968f41e0> multiply_by_625(1) # 625 

При выводе значения ссылки multiply_by_25 отображается double..inner — та самая созданная на лету функция inner . И в случае multiply_by_625 функция называется inner , но адрес в памяти другой — большое шестнадцатеричное число после «at».

Одним из полезных применений функций высшего порядка является использование их для определения анонимных функций — лямбда-функций.

Лямбда-функции

В Python лямбда функция — это небольшая анонимная функция, которая может быть определена без имени. Лямбда-функции часто используются там, где требуется небольшая, одноразовая функция. Синтаксис для определения лямбда-функции в Python следующий:

lambda arguments: expression 

Здесь arguments — это список входных аргументов функции, который разделен запятыми. А expression — это тело функции, значение которой возвращает лямбда-функция.

Например, лямбда-функция, которая принимает два аргумента и возвращает их сумму, может быть определена следующим образом:

sum = lambda x, y: x + y 

Это создает лямбда-функцию, которая принимает два аргумента x и y и возвращает их сумму. Затем лямбда-функцию можно вызывать как любую другую функцию:

result = sum(2, 3) print(result) # 5 

Лямбда-функции также можно использовать в сочетании с другими функциями, такими как map , filter и reduce . С их помощью можно создать краткий и выразительный код. Например, следующий код использует лямбда-функцию с функцией map для возведения в квадрат каждого элемента списка:

numbers = [1, 2, 3, 4, 5] squares = map(lambda x: x**2, numbers) print(list(squares)) # [1, 4, 9, 16, 25] 

В этом коде лямбда-функция lambda x: x**2 передается в качестве первого аргумента функции map . Это создает новый объект-итератор, который применяет лямбда-функцию к каждому элементу списка numbers . В результате получается новый список квадратных чисел.

Лямбда-функции — мощный инструмент в Python для создания небольших анонимных функций, которые можно использовать в самых разных контекстах. Однако их следует использовать с осторожностью, поскольку их лаконичный синтаксис иногда может затруднить чтение и понимание кода.

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

• 130 курсов, 2000+ часов теории
• 1000 практических заданий в браузере
• 360 000 студентов

Наши выпускники работают в компаниях:

Непрерывность функции. Точки разрыва.
Как исследовать функцию на непрерывность?

На данном уроке мы разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва и распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность. Из самого названия темы многие интуитивно догадываются, о чём пойдёт речь, и думают, что материал довольно простой. Это правда. Но именно несложные задачи чаще всего наказывают за пренебрежение и поверхностный подход к их решению. Поэтому рекомендую очень внимательно изучить статью и уловить все тонкости и технические приёмы.

Что нужно знать и уметь? Не очень-то и много. Для качественного усвоения урока необходимо понимать, что такое предел функции. Читателям с низким уровнем подготовки достаточно осмыслить статью Пределы функций. Примеры решений и посмотреть геометрический смысл предела в методичке Графики и свойства элементарных функций. Также желательно ознакомиться с геометрическими преобразованиями графиков, поскольку практика в большинстве случаев предполагает построение чертежа. Перспективы оптимистичны для всех, и даже полный чайник сумеет самостоятельно справиться с задачей в ближайший час-другой!

Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Понятие непрерывности функции

Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой:

Или, говоря лаконичнее, наша функция непрерывна на (множестве действительных чисел).

Каков «обывательский» критерий непрерывности? Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

При этом следует чётко отличать два простых понятия: область определения функции и непрерывность функции. В общем случае это не одно и то же. Например:

Данная функция определена на всей числовой прямой, то есть для каждого значения «икс» существует своё значение «игрека» . В частности, если , то . Заметьте, что другая точка выколота, ведь по определению функции, значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Таким образом, область определения нашей функции: .

Однако эта функция не является непрерывной на ! Совершенно очевидно, что в точке она терпит разрыв. Термин тоже вполне вразумителен и нагляден, действительно, карандаш здесь по любому придётся оторвать от бумаги. Немного позже мы рассмотрим классификацию точек разрыва.

Непрерывность функции в точке и на интервале

В той или иной математической задаче речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. То есть, не существует «просто непрерывности» – функция может быть непрерывной ГДЕ-ТО. И основополагающим «кирпичиком» всего остального является непрерывность функции в точке.

Теория математического анализа даёт определение непрерывности функции в точке с помощью «дельта» и «эпсилон» окрестностей, но на практике в ходу другое определение, которому мы и уделим самое пристальное внимание.

Сначала вспомним односторонние пределы, ворвавшиеся в нашу жизнь на первом уроке о графиках функций. Рассмотрим будничную ситуацию:

Если приближаться по оси к точке слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси к точке (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью левостороннего предела:

Обратите внимание на запись (читается «икс стремится к ка слева»). «Добавка» «минус ноль» символизирует бесконечно малое отрицательное число, по сути это и обозначает, что мы подходим к числу с левой стороны.

Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа (синяя стрелка), то «игреки» придут к тому же значению , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:

«Добавка» символизирует бесконечно малое положительное число, и запись читается так: «икс стремится к ка справа».

Если односторонние пределы конечны и равны (как в нашем случае): , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел . Всё просто, общий предел – это наш «обычный» предел функции, равный конечному числу.

Заметьте, что если функция не определена при (выколите чёрную точку на ветке графика), то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях, выражения означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ, определена ли сама функция в данной точке или нет. Хороший пример встретится в следующем параграфе, когда анализу подвергнется функция .

Определение: функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .

Определение детализируется в следующих условиях:

1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .

2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .

. Рекомендую законспектировать пункты, поскольку они потребуются для решения практических задач. Далее по тексту они будут отмечаться как Условие № 1, Условие № 2 и Условие № 3.

Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .

Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке данного интервала.

В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел . Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. И вообще, любая элементарная функция непрерывна на своей области определения, так, например, логарифмическая функция непрерывна на интервале . Надеюсь, к данному моменту вы достаточно хорошо представляете, как выглядят графики основных функций. Более подробную информацию об их непрерывности можно почерпнуть у доброго человека по фамилии Фихтенгольц.

С непрерывностью функции на отрезке и полуинтервалах тоже всё несложно, но об этом уместнее рассказать на уроке о нахождении минимального и максимального значений функции на отрезке, а пока голову забивать не будем.

Классификация точек разрыва

Увлекательная жизнь функций богата всякими особенными точками, и точки разрыва лишь одна из страничек их биографии.

Примечание: на всякий случай остановлюсь на элементарном моменте: точка разрыва – это всегда отдельно взятая точка – не бывает «несколько точек разрыва подряд», то есть, нет такого понятия, как «интервал разрывов».

Данные точки в свою очередь подразделяются на две большие группы: разрывы первого рода и разрывы второго рода. У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, которые мы рассмотрим прямо сейчас:

Точка разрыва первого рода

Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны, то она называется точкой разрыва первого рода.

Начнём с самого оптимистичного случая. По первоначальной задумке урока я хотел рассказать теорию «в общем виде», но чтобы продемонстрировать реальность материала, остановился на варианте с конкретными действующими лицами.

Уныло, как фото молодожёнов на фоне Вечного огня, но нижеследующий кадр общепринят. Изобразим на чертеже график функции :

Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки . И в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю. Однако в соответствии со смыслом предела – мы можем бесконечно близко приближаться к «нулю» и слева и справа, то есть, односторонние пределы существуют и, очевидно, совпадают:
(Условие № 2 непрерывности выполнено).

Но функция не определена в точке , следовательно, нарушено Условие № 1 непрерывности, и функция терпит разрыв в данной точке.

Разрыв такого вида (с существующим общим пределом) называют устранимым разрывом. Почему устранимым? Потому что функцию можно доопределить в точке разрыва:

Странно выглядит? Возможно. Но такая запись функции ничему не противоречит! Теперь разрыв устранён и все счастливы:

Выполним формальную проверку:
1) – функция определена в данной точке;
2) – общий предел существует;
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, все три условия выполнены, и функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Впрочем, ненавистники матана могут доопределить функцию нехорошим способом, например :

Любопытно, что здесь выполнены первые два условия непрерывности:
1) – функция определена в данной точке;
2) – общий предел существует.

Но третий рубеж не пройден: , то есть предел функции в точке не равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, в точке функция терпит разрыв.

Второй, более грустный случай носит название разрыва первого рода со скачком. А грусть навевают односторонние пределы, которые конечны и различны. Пример изображён на втором чертеже урока. Такой разрыв возникает, как правило, в кусочно-заданных функциях, о которых уже упоминалось в статье о преобразованиях графиков.

Рассмотрим кусочную функцию и выполним её чертёж. Как построить график? Очень просто. На полуинтервале чертим фрагмент параболы (зеленый цвет), на интервале – отрезок прямой (красный цвет) и на полуинтервале – прямую (синий цвет).

При этом в силу неравенства значение определено для квадратичной функции (зелёная точка), и в силу неравенства , значение определено для линейной функции (синяя точка):

В самом-самом тяжёлом случае следует прибегнуть к поточечному построению каждого куска графика (см. первый урок о графиках функций).

Сейчас нас будет интересовать только точка . Исследуем её на непрерывность:

1) – функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы.

Слева у нас красный отрезок прямой, поэтому левосторонний предел:

Справа – синяя прямая, и правосторонний предел:

В результате получены конечные числа, причем они не равны. Поскольку односторонние пределы конечны и различны: , то наша функция терпит разрыв первого рода со скачком.

Логично, что разрыв не устраним – функцию действительно не доопределить и «не склеить», как в предыдущем примере.

Точки разрыва второго рода

Обычно к данной категории хитро относят все остальные случаи разрыва. Всё перечислять не буду, поскольку на практике в 99%-ти процентах задач вам встретится бесконечный разрыв – когда левосторонний или правосторонний, а чаще, оба предела бесконечны.

И, конечно же, самая напрашивающаяся картинка – гипербола в точке ноль. Здесь оба односторонних предела бесконечны: , следовательно, функция терпит разрыв второго рода в точке .

Я стараюсь наполнять свои статьи максимально разнообразным содержанием, поэтому давайте посмотрим на график функции , который ещё не встречался:

Исследуем на непрерывность точку по стандартной схеме:

1) Функция не определена в данной точке, поскольку знаменатель обращается в ноль.

Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке , но хорошо бы классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию. Для этого:

2) Вычислим односторонние пределы:

Напоминаю, что под записью понимается бесконечно малое отрицательное число, а под записью – бесконечно малое положительное число.

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке . Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика.

Не редка ситуация, когда оба односторонних предела существуют, но бесконечен только один из них, например:

Это график функции .

Исследуем на непрерывность точку :

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

О методике вычисления таких односторонних пределов поговорим в двух последних примерах лекции, хотя многие читатели всё уже увидели и догадались.

Левосторонний предел конечен и равен нулю (в саму точку мы «не заходим»), но правосторонний предел бесконечен и оранжевая ветка графика бесконечно близко приближается к своей вертикальной асимптоте, заданной уравнением (чёрный пунктир).

Таким образом, функция терпит разрыв второго рода в точке .

Как и для разрыва 1-го рода, в самой точке разрыва функция может быть определена. Например, для кусочной функции смело ставим чёрную жирную точку в начале координат. Справа же – ветка гиперболы, и правосторонний предел бесконечен. Думаю, почти все представили, как выглядит этот график.

То, чего все с нетерпением ждали:

Как исследовать функцию на непрерывность?

Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение:

1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.

2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.

Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.

Разделаемся с любимыми модулями:

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение: почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков. Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:

Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения: перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа – кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.

Исследуем функцию на непрерывность аналитически:

1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.

2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Ещё раз заметьте, что при нахождении пределов не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.

Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования ;-)) и завершить задание:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно – из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.

Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции .

Решение: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):

Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.

Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой – обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами – будет несколько интересных и важных фишек:

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.

Решение: и снова сразу выполним чертёж на черновике:

Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .

Из чертежа всё понятно – функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4 подобных примеров:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.

На всякий пожарный напомню тривиальный факт: предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

И здесь – предел единицы равен самой единице.

– общий предел существует.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.

Ответ: функция непрерывна в точках .

Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).

Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет 😉

Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:

Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.

Решение: нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) Функция не определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела: в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем –1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на бесконечно малое отрицательное число, равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени равна нулю: . Или, если ещё подробнее: .

Вычислим правосторонний предел:

И здесь – вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу на бесконечно малое положительное число:

Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

II) Исследуем на непрерывность точку

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим левосторонний предел:

Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного – получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .

По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число, даёт «плюс бесконечность»: .

Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число:

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построение схематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:

Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.

Более простая функция для самостоятельного решения:

Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.

Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно. Однако по просьбам учащихся ещё один случай:

Исследовать на непрерывность функцию в точке .

Решение, как обычно, по пунктам, новизна будет в пределах:

1) Очевидно, функция не определена в данной точке, ибо знаменатель обращается в ноль:

2) Вычислим односторонние пределы в точке :

Справка: если основание степени , то , а . И сразу на другой случай жизни: если основание степени , то наоборот:

Второй односторонний предел:

Односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, таким образом, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

По условию, чертёж не требовался, но мне не сложно, сейчас только раскопаю шаблоны семилетней давности 🙂 …ого, секунд 20 потребовалось всего и ещё минуты три на чертёж:

Вот такое вот нечто…, никогда не думал, что свои шутки буду пробивать по Поиску, хотел пошутить, да оказалось повтором 🙂 И коль скоро шутки нет, то факультативное задание для тренировки: найдите пределы этой же функции на «минус» и «плюс» бесконечности.

Ответ: функция терпит бесконечный разрыв в точке

Спасибо за ваши письма! – они помогают сделать материал более полным и качественным.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: преобразуем функцию: . Учитывая правило раскрытия модуля и тот факт, что , перепишем функцию в кусочном виде:

Исследуем функцию на непрерывность.
1) Функция не определена в точке .
2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Выполним чертёж:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва: (две единицы вверх).

Пример 5: Решение: каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.
I) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.
3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Скачок разрыва: (пять единиц вниз).
Чертёж можно найти в первой части статьи.
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 7: Решение:
I) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:

Левосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
II) Исследуем на непрерывность точку
1) – функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Выполним чертёж:

Ответ: В точке функция терпит разрыв 2-го рода, в точке функция терпит разрыв 1-го рода со скачком.

Пример 9: Решение: исследуем на непрерывность точку :
1) Функция не определена в данной точке.
2) Вычислим односторонние пределы:

Левосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
Выполним чертёж:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв 2-го рода.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Предел функции

Предел последовательности

Предел функции

Приближенные вычисления

Непрерывность функций

(11)

выполняется неравенство

(12)

Для обозначения предела функции при используется символическое выражение

или запись вида

Другими словами, функция имеет своим пределом число A при , если разность представляет собой бесконечно малую функцию Пусть, например,

и Тогда из тождества

вытекает, что

Отметим, что для существования предела функции при не требуется, чтобы эта функция была определена в точке a. Например, функция не определена в точке x = 3, однако ее предел при существует и равен числу 6. Кроме того, определяющее значение для существования предела функции при имеет только поведение этой функции в достаточно малой окрестности точки a. Вне этой окрестности функция может быть неограниченной. Примером может служить функция f(x) = 1⁄x, предел которой при x → 1 равен 1, хотя эта функция является неограниченной на промежутке, включающем в себя точку 0.

Функция называется бесконечно большой при , если она неограниченно возрастает по абсолютной величине при . В таких случаях говорят, что стремится к бесконечности при и записывают это утверждение в виде

На формальном языке определение предела функции при выглядит следующим образом. Функция имеет своим пределом бесконечность при , если для любого сколь угодно большого числа E > 0 существует такое число δ(E), что для всех x, удовлетворяющих условию

,

выполняется неравенство

По сути дела такому определению можно дать стандартное толкование: если для всех x из δ-окрестности точки a значения функции попадают в окрестность бесконечно удаленной точки, то при эта функции имеет своим пределом ∞.

Аналогичным образом формулируется понятие предела функции при . Число A называется пределом функции при , если для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число ∆(ε), что для всех x, удовлетворяющих условию

(13)

выполняется неравенство

(14)

Функция имеет своим пределом бесконечность при , если для любого сколь угодно большого числа E > 0 существует такое число ∆(E), что для всех x, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Такой предел обозначается выражением вида

Отметим, что следует соблюдать определенную осторожность при обращении с символом ∞. Порой решающее значение на результат оказывает знак бесконечности. Например,