Как составить двойственную задачу линейного программирования

Двойственные задачи линейного программирования

Двойственность является важным понятием в линейном программировании, имеющим экономическое (практическое) применение. Например, для задачи оптимального распределения ресурсов для производства некоторых видов товаров пара прямой и двойственной задачи принимает следующий экономический смысл:
Прямая задача: Сколько и какой продукции xj необходимо производить, чтобы при заданных доходах Cj и объемах ресурсов bi максимизировать доход от продажи продукции?
Двойственная задача: Какова должна быть «теневая» цена каждого ресурса yi, чтобы при заданных количествах bi и доходах Cj минимизировать затраты?

Для составления двойственных задач используют специальные правила, при решении же выбирают один из наиболее подходящих методов решения ЗЛП: симплекс-метод, графический метод. Более того, так как между парой двойственных задач существует связь, иногда достаточно решить только одну из задач, чтобы получить решение второй.

Примеры составления и решения двойственных задач линейного программирования приведены в этом разделе — изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении подобных заданий — Решение контрольных по линейному программированию.

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Примеры составления и решения двойственных задач онлайн

Задача 1. Записать математическую модель двойственной ЗЛП по заданной прямой:

Задача 2. Составить задачу, двойственную исходной задаче:

Задача 3. Решить задачу линейного программирования; составить задачу, двойственную данной, и также найти ее решение:

Высшая математика и экономика

Как к исходной задаче ЗЛП составить двойственную? Рассматриваются все возможные пары двойственных задач (симметричные и несимметричные). Разобранные примеры открывают возможности для составления двойственной задачи к ЛЮБОЙ исходной.

Как связаны решения исходной и двойственной задачи?
Для исходной задачи составим двойственную, решим ее графическим методом, затем используя 2 теорему двойственности, найдем решение исходной задачи.

Двойственная задача линейного программирования

Составление двойственной задачи линейного программирования

Для каждой задачи линейного программирования по определённым правилам можно составить соответствующую задачу, называемую двойственной задачей.

Рассмотрим прямую задачу линейного программирования и двойственную задачу.

Прямая задача.
Максимизировать функцию

Двойственная задача.
Минимизировать функцию

Эти задачи обладают следующими свойствами:

1. В прямой задаче ищется максимум функции цели (линейной формы), а в двойственной задаче — минимум.
2. Коэффициенты при переменных в функции цели прямой задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, и наоборот, свободные члены системы ограничений прямой задачи — коэффициентами при переменных в функции цели двойственной задачи.
3. В каждой задаче система ограничений задаётся в виде неравенств, причём все они одного смысла, а именно: при нахождении максимума функции цели (прямая задача) эти неравенства записываются со знаком «меньше или равно», а при нахождении минимума (двойственная задача) — со знаком «больше или равно».
4. Коэффициенты при переменных в системах ограничений описываются матрицами

Две задачи линейного программирования, удовлетворяющие указанным выше условиям, называются симметричными взаимно-двойственными задачами.

Мы обусловимся называть их просто взаимно-двойственными задачами.

Прямая и двойственная ей задача, взятые вместе, образуют пару взаимно двойственных задач, причём любую из них можно рассматривать как исходную, тогда другая окажется двойственной ей.

Итак мы рассмотрели соответствие между прямой и двойственной задачей линейного программирования, правда, пока только для задач, записанных в канонической форме. Сформулируем пока правила составления задачи, двойственной по отношению к исходной для канонической задачи (а позже перейдём к задаче, записанной в общей форме):

1. Приводят все неравенства системы ограничений исходной задачи к неравенствам одного смысла(то есть с одним и тем же знаком): если в исходной задаче ищется максимум функции цели (линейной формы) — они записываются со знаком «меньше или равно», если же минимум — со знаком «больше или равно». Для этого неравенства, в которых это требование не выполняется, умножают на минус единицу.
2. Выписывают матрицу A коэффициентов при переменных исходной задачи, полученых после преобразований, описанных в предыдущем пункте, и составляют матрицу A‘, транспонированную относительно матрицы A.
3. Составляют систему ограничений двойственной задачи, взяв в качестве коэффициентов при переменных элементы матрицы A‘, а в качестве свободных членов — коэффициенты при переменных в функци цели исходной задачи и записывают неравенства противоположного смысла (то есть меняют знак) по сравнению с неравенствами, полученными в пункте 1.
4. Составляют функцию цели (линейную форму) двойственной задачи, приняв за коэффициенты при переменных свободные члены системы ограничений исходной задачи, полученные в пункте 1.
5. Указывают, что необходимо найти при решении двойственной задачи, а именно: минимум функции цели, если в исходной задаче ищется максимум, и максимум, если в исходной задаче ищется минимум.
6. Записывают условие неотрицательности переменных двойственной задачи.

Пример 1. Составить задачу, двойственную следующей: найти максимум функции при ограничениях

Решение. Третье неравенство системы исходной задачи не удовлетворяет пункту 1 правил составления двойственной задачи. Поэтому умножим его на минус единицу:

Для облегчения составления двойственной задачи лучше пользоваться расширенной матрицей B, в которую наряду с коэффициентами при переменных системы ограничений исходной задачи запишем свободные члены и коэффициенты при переменных в функции цели, выделив для этой цели дополнительные столбец (отделён чертой) и строку (выделена красным цветом). Матрицу B транспонируем и, используя транспонированную матрицу B‘, составляем задачу, двойственную исходной. Матрицы B и B‘ имеют вид

Таким образом, двойственная задача линейного программирования сводится к нахождению минимума функции при ограничениях

Перейдём теперь к случаю составления двойственной задачи, когда прямая задача записана в общей форме (в системе ограничений могут быть неравенства с разными знаками, а также уравнения, условие неотрицательности переменных не обязательно). Для таких задач правила следующие:

1. Свободные члены в прямой задаче — коэффициенты функции цели в двойственной задаче.
2. Коэффициенты функции цели в прямой задаче — свободные члены в двойственной задаче.
3. Расширенная матрица в прямой задаче — транспонированная расширенная матрица в двойственной задаче.
4. j-й неизвестный в прямой задаче неотрицательный — j-е неравенство в двойственной задаче со знаком «больше или равно».
5. j-й неизвестный в прямой задаче без ограничения знака — j-е ограничение в двойственной задаче в виде уравнения.
6. j-й неизвестный в прямой задаче неположительный — j-е неравенство в двойственной задаче со знаком «меньше или равно».
7. i-е неравенство в прямой задаче со знаком «меньше или равно» — i-е неизвестный в двойственной задаче неотрицательный.
8. i-е ограничение в прямой задаче в виде уравнения — i-й неизвестный в двойственной задаче без ограничения знака.
9. i-е неравенство в прямой задаче со знаком «больше или равно» — i-й неизвестный в двойственной задаче неположительный.

Пример 2. Составить задачу, двойственную следующей: найти минимум функции при ограничениях

Решение. Как видим, прямая задача записана в общей форме. Это будем учитывать при расстановке знаков в условиях двойственной задачи. А пока, как и в предыдущем примере, произведём универсальное действие — составим матрицу B прямой задачи и транспонированную матрицу B‘ двойственной задачи:

Таким образом, двойственная задача линейного программирования сводится к нахождению максимума функции при ограничениях

Основные теоремы двойственности

Теория двойственности в линейном программировании строится на двух основных теоремах.

Теорема 1. Для прямой и двойственной задач в силе одно и только одно из следующих утверждений. 1. Если одна из задач линейного программирования имеет конечный оптимум, то и двойственная к ней задача также имеет конечный оптимум, причём оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, т. е. F max = Z min или F min = Z max . 2. Если линейная форма одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы. 3. Обе задачи не имеют решения, так как системы ограничений противоречивы.

Прежде чем сформулировать следующую теорему, установим соответствия между переменными в исходной и двойственной задачах. Приготовьтесь: последует игра формул, которую с первого раза не каждый поймёт, но после ознакомления с примером 2 должны понять все.

При решении симплекс-методом исходной задачи для сведения системы неравенств к эквивалентной ей системе уравнений нужно ввести m добавочных неотрицательных переменных (по числу неравенств в системе ограничений) x n+1 , x n+2 , . x n+i , . x n+m , где i = 1, 2, . m означает номер неравенства, в которое была введена добавочная переменная x n+i .

Система ограничений двойственной задачи состоит из n неравенств, содержащих m переменных. Если решать эту задачу симплекс-методом, то следует ввести n добавочных неотрицательных переменных y m+1 , y m+2 , . y m+j , . y m+n , где j = 1, 2, . n означает номер неравенства системы ограничений двойственной задачи, в которое была введена добавочная переменная y m+j .

Всё вышесказанное было приведено для того, чтобы установить следующее соответствие между переменными в исходной и двойственной задачах линейного программирования:

То есть, основные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют добавочным переменным двойственной задачи, тоже в порядке их следования. В свою очередь добавочные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют основным переменным двойственной задачи, также в порядке их следования.

Иными словами, каждой первоначальной переменной исходной задачи x j ( j = 1, 2, . n ) ставится в соответствие добавочная переменная y m+j , введённая в j-е неравенство двойственной задачи, а каждой добавочной переменной x n+i исходной задачи ( i = 1, 2, . m ), введённой в i-е неравенство исходной задачи, — первоначальная переменная y i двойственной задачи.

Всё вышесказанное, как уже было отмечено, станет более понятным из примера 2, который будет вскоре после Теоремы 2.

Теорема 2. Компоненты оптимального решения одной из задач (прямой или двойственной) равны абсолютным величинам коэффициентов при соответствующих переменных в выражении функции цели (линейной формы) другой задачи (двойственной или прямой) при достижении ею оптимума и при условии, что полученное оптимальное решение не является вырожденным.

Из теорем 1 и 2 следует, что если решить одну из взаимно двойственных задач линейного программирования, то есть найти её оптимальное решение и оптимум функции цели, то можно записать оптимальное решение и оптимум функции цели другой задачи. Теперь пример, который поможет разложить всё вышеизложенное по полочкам.

Пример 3. На основании решений прямой и двойственной задач линейного программирования из примера 1 убедиться в справедливости теорем 1 и 2.

В примере 1 была дана исходная задача: найти максимум функции при ограничениях

Мы составили двойственную ей задачу: найти минимум функции при ограничениях

Для решения прямой задачи симплекс-методом система ограничений-неравенств сводится к системе уравнений путём введения добавочных неотрицательных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 :

Читатель может проверить, решив задачу симплекс-методом, что она имеет следующие решения:

а максимум целевой функции F max = 13 ,

при этом сама целевая функция выражается как

Система ограничений двойственной задачи сводится к системе уравнений путём введения добавочных переменных y 5 , y 6 :

Решение двойственной задачи симплекс-методом даёт следующий ответ:

а минимум целевой функции Z min = 13 ,

при этом сама целевая функция выражается как

Решив двойственную задачу, убеждаемся в справедливости первой части теоремы 1: двойственная задача тоже имеет конечный оптимум, причём Z min = F max = 13 .

Убедимся, что справедливо также и утверждение теоремы 2. Для этого запишем переменные прямой и двойственной задачи, соблюдая их соответствие:

Как видим, основные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют добавочным переменным двойственной задачи, тоже в порядке их следования. В свою очередь добавочные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют основным переменным двойственной задачи, также в порядке их следования.

Функцию цели, полученную на последнем шаге решения двойственной задачи, выразим через все переменные этой задачи:

Рассматривая коэффициенты при переменных y j в этой функции цели и учитывая их соответствие коэффициентам при переменных x i , получим решение (4; 1; 0; 5; 4; 0) , совпадающее с решением прямой задачи.

Замечание. Решив прямую задачу, можно сразу получить решение двойственной задачи линейного программирования. Если выразить функцию цели, полученную при решении прямой задачи, через все переменные задачи, то получим

На основании теоремы 2, учитывая соответствие между переменными в прямой и двойственной задачах и взяв абсолютную величину коэффициентов при переменных, найдём оптимальное решение двойственной задачи (2/3; 0; 0; 7/3; 0; 0) . При этом Z min = F max = 13 .

Пример 4. Убедиться в том, что системы ограничений прямой задачи

и двойственной задачи

Решение. Вычтем из второго уравнения системы ограничений прямой задачи первое уравнение той же системы. Получим . Это уравнение не имеет решения, так как . Таким образом, система ограничений прямой задачи несовместна.

Сложим первые два неравенства системы ограничений двойственной задачи. Получим , что невозможно. Таким образом, системы ограничений и прямой, и двойственной задачи несовместны. Согласно части 3 теоремы 1 двойственности, обе задачи не имеют решений.

Экономическая интерпретация двойственной задачи линейного программирования

Посмотрим ещё раз на прямую задачу линейного программирования и двойственную задачу рядом.

Прямая задача.
Максимизировать функцию

Двойственная задача.
Минимизировать функцию

В этих задачах a — расходы сырья определённого вида на производство одного вида продукции, b запасы сырья определённого вида, c — прибыль от реализации единицы продукции определённого вида. В прямой задаче x — количество единиц выпускаемой продукции определённого вида. А в двойственной задаче b — цены сырья соответствующего вида. А целевая функция Z — общие затраты на приобретение сырья, которые требуется минимизировать.

Предположим, мастерская выпускает столы и шкафы, расходую на эти цели определённые виды сырья (древесины). Допустим, мастерская решила не производить продукцию, а продать сырьё — древесину, желая при этом получить выручку, не меньшую максимальной прибыли от реализации продукции. По каким ценам нужно продавать каждый вид древесины?

Максимальную прибыль определяет решение прямой задачи. Путём же решения двойственной задачи линейного программирования находятся цены y, точнее говоря, объективно обусловленные оценки. Они являются компонентами оптимального решения двойственной задачи линейного программирования.

Начало темы «Линейное программирование»

• Задача и теоремы линейного программирования, примеры формулировки задач
• Графический метод решения задач линейного программирования
• Симплекс-метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм
• Симплекс-метод: случай, когда максимум целевой функции — бесконечность
• Симплекс-метод: случай, когда система не имеет ни одного решения
• Симплекс-метод: случай, когда оптимальное решение — не единственное
• Решение задачи целочисленного программирования: методы и примеры
• Решение транспортной задачи распределительным методом на примерах

Двойственная задача линейного программирования

Прочие статьи цикла

1. Исследование операций
2. Метод ветвей и границ. Задача коммивояжера
3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
4. Симплексный метод решения ЗЛП. Пример
5. Двойственная задача линейного программирования
6. Транспортная задача линейного программирования
7. Задача выбора (назначения). Венгерский метод решения
8. Управление запасами

Обычно с задачей линейного программирования (ЗЛП) связана другая линейная задача, называемая двойственной. Обе эти задачи можно считать двойственными одну по отношению к другой, считать равносильными. Первая задача называется обычно исходной, или прямой, другая — обратной. Переменные, используемые в двойственной задаче называются двойственными или множителями Лагранжа. На них не накладывается ограничений по знаку. Рассматриваются двойственные критерии оптимальности. Специальные случаи называют симметричными двойственными задачами линейного программирования. Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается теоремой двойственности.

Теорема двойственности

Важнейшие свойства пары двойственных задач математического программирования сформулированы в трех основных теоремах.

Теорема двойственности

Допустимый вектор решения прямой задачи программирования оптимален тогда и только тогда, когда существует такой допустимый вектор решения двойственной задачи, что целевые функции прямой и двойственной задачи равны. Допустимый вектор двойственной задачи оптимален тогда и только тогда, когда существует допустимый вектор прямой задачи и целевые функции обеих задач равны.

Теорема существования решения

Если существуют допустимые векторы решений прямой и двойственной задач, то обе задачи имеют оптимальные векторы. Если одна из двух задач не имеет допустимого вектора, то ни одна из них не имеет оптимального вектора решения.

Теорема (принцип) дополняющей нежесткости

1. Если (x_Q , x_L) – оптимальное решение прямой задачи, а (y_Q, y_L) – решение двойственной задачи, то (x_Q , x_L, y_Q , y_L) – решение задачи Лагранжа. В частности, в этом случае удовлетворяются соотношения между переменными прямой и двойственной задач и условия дополняющей нежесткости.
2. Оптимальное решение прямой задачи программирования получается только при одном значении x_Q. Это справедливо и для переменной y_Q в двойственной задаче.

Теоремы двойственности

Основное неравенство двойственности. Для любых допустимых решений Х и Y пары двойственных ЗЛП имеет место неравенство

Экономически это означает, что для любого допустимого плана производства и любого дополнительного вектора оценок ресурсов (на складе) стоимость изготовленного продукта не превосходит оценки ресурсов.

Теорема существования (малая тероема двойственности)

Чтобы прямая и двойственная задачи имели opt решения, необходимо и достаточно, чтобы существовали допустимые решения для каждой из них.

Теорема 1 двойственности.

Если одна из пары двойственных задач имеет opt решение, то и другая его имеет. Причем экспериментальные решения их целевых ф. равны; если же ЦФ одной из задач не ограничена, то система ограничений другой противоречива. Интерпретация: оптимальное использование ресурсов – opt план. Суммарная оценка ресурсов = оценке продукта полученного при opt плане. Любой другой план не рентабелен. C_j – стоимость единицы продукции (внешняя оценка) y_i – стоимость единицы ресурса (внутренняя оценка). Эти двойственные оценки выступают как инструменты балансирования затрат и результатов. Имеет место x_j ​ ​ y_m +_j ; x_n+i y_i.

Теорема 2 двойственности (о дополняющей нежесткости)

Для того, чтобы допустимые решения X и Y пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнить условия:

То есть, если какое-либо ограничение одной ЗЛП обращается ее opt планом в строгое равенство, то соответствующая переменная двойственной задачи в ее opt плане равна нулю; если же какая-либо переменная opt-го решения одной ЗЛП положительна, то соответствующее ограничение в двойственной ЗЛП ее opt планом обращается в точное равенство.

Теорема Кёнига хорошо иллюстрирует использование принципа двойственности ЗЛП.

Формулирование теоремы. Максимальное число попарно неколлинеарных единиц любой булевой матрицы равно минимальному числу линий, покрывающих все единицы матрицы.

Доказательство. Для нахождения максимального числа попарно неколлинеарных единиц булевой матрицы достаточно сформулировать и решить линейную задачу:

Минимальное число линий, покрывающих все единицы матрицы [C_ij], найдем, решив линейную задачу:

Оптимальному решению (u*_i, v*_j) последней задачи отвечает минимальное покрытие, состоящее из множества строк I, для которых u*_i = 1 и столбцов J, для которых u*_j =1.

Матрицы А и А Т коэффициентов (*), (**), (***) являются абсолютно унимодулярными, как матрицы двудольного графа. Поэтому условия целочисленности переменных заменяем на условие их неотрицательности, и тогда получаем пару двойственных задач линейного программирования и согласно теореме двойственности имеем:

Линией матрицы называется ее строка или столбец. Два элемента матрицы называются неколлинеарными, если они не лежат на одной линии.

Матрица называется абсолютно унимодулярной, если все ее ненулевые миноры равны 1, либо -1.

Следствие. Матрица инциденций неориентированного графа G абсолютно унимодулярна тогда и только тогда, когда G – двудольный граф. В двудольном графе все простые циклы имеют четкую длину

Принцип двойственности в задачах линейного программирования.

Предположим, что руководство предприятия из анализа конъюнктуры рынка продукции приняли решение: производство сократить, а от запасов сырья избавиться, (продать на рынке) и при этом не нанести себе убытков.

С этой целью руководство должно назначить стоимости y_i за единицу сырья вида S_i, стремясь при этом минимизировать общую стоимость сырья (чтобы быстрее продать сырье): Ф = Σ 4 _i=1 b_iy_i

Выручка предприятия от продажи сырья, расходуемого на единицу продукции П_i, составит: Σ 4 _i=1 a_ij y_i

И по условию она не должна быть меньше С_j (в противном случае предприятию выгоднее не продавать сырье, а использовать его для нужд производства, выпуска продукции).

Сформулируем исходную и двойственную задачи:

Обе задачи по отношению друг к другу называются двойственными или сопряженными. Анализ таблицы позволяет сделать выводы:

1. Если первая задача сформулирована на поиск максимума, то вторая формулируется на поиск минимума линейной функции.
2. Коэффициенты ЦФ первой задачи являются свободными членами системы ограничений второй.
3. Свободные члены системы ограничений первой задачи являются коэффициентами линейной системы во второй задаче.
4. Матрица коэффициентов второй задачи является транспонированной к матрице коэффициентов ограничений первой задачи.
5. Знаки неравенств в ограничениях второй задачи противоположны знакам неравенств в ограничениях первой задачи.

Оптимальный план X opt одной из задач тесно связан с оптимальным планом Y opt другой. Если одна из задач имеет решение, то другая также разрешена, причем для оптимальных клонов X opt ₌₁, x₂. x_n> и Y opt ₌₁, y₂. y_m> справедливо равенство Q( X opt ) =Q’( Y opt ). Если линейная форма одной из задач неограниченна, то условия другой задачи несовместны. Если A -1 обратная матрица к матрице В, состоящей из векторов базиса оптимального плана исходной задачи, то оптимальный план двойственной задачи равен Y opt _{=СВ -1 ,} здесь С – вектор базисных переменных. Решение двойственной задачи получается в последней симплексной таблице исходной задачи, в (m+1) строке, в столбцах, соответствующих дополнительным параметрам.

Для того чтобы векторы X opt ₌₁, x₂. x_n> и Y opt ₌₁, y₂. y_m> были решениями пары задач, необходимо и достаточно, чтобы их компоненты удовлетворяли следующим условиям:

Эти условия называют принципом дополняющей нежесткости. Если исходная (прямая) задача задана в канонической форме, то двойственная к ней называется несимметричной. Для несимметричной двойственной задачи соблюдается условие y_i ≥ 0.

Теория ЗЛП доказывает, что компоненты оптимальных планов взаимно двойственных задач, приведенных к каноническому виду, соответствуют одни другим. То есть базисные переменные основной задачи соответствуют свободным переменным двойственной задачи и наоборот, j = 1(1)n, x*_j ​ y*_{m +j} ; x*_n+i ​ y*_i ; i = 1(1)m.

Размерности в табличке m и n берутся в задаче для y-ков записанной в канонической форме.

Пример. Двойственный симплекс метод.

Исходная задача. Имеется три вида продуктов П_j, причем единица веса каждого из видов продуктов содержит a_ij единиц (питательных веществ). Для нормальной жизнедеятельности человек должен потреблять не менее b_i единиц вещества B_i в сутки. Стоимость единицы продукта П_j равняется C_j. Требуется составить оптимальный суточный рацион питания, т.е. найти количество x_j продукта, которое должен потреблять человек, чтобы стоимость питания была бы минимальной, если известно, что

такие значения его компонентов x_j, j = 1(1)3, которые минимизируют целевую функцию (Ц) Q = 3x₁ + 2x₂ + x₃ и удовлетворяют ограничениям неравенствам

x_j ≥ 0; j = 1(1)3 = n

Для приведения задачи к каноническому виду введем дополнительные переменные x₄, x₅, x₆, x₇, переменных стало больше чем уравнений n – m = 7 – 4 = 3, следовательно, части из них (трем любым,) для получения решения можно задать произвольные значения (задают, как правило, нулевые значения), возникает число сочетаний из n по m вариантов. Система ограничений примет вид равенств

x_j ≥ 0; j = 1(1)3 = n, i = 1(1)4 = m.

Назначаем опорный план. Выбор в качестве базисных переменных x₄, x₅, x₆, x₇ приводит к недопустимому опорному плану. Так как знаки левой и правой частей различны. (Свободные переменные x₁ = x₂ = x₃ = 0) Метод искусственного базиса приводит к увеличению числа неизвестных задач, что нежелательно. Анализ задачи показывает, что число уравнений в системе ограничений больше числа переменных. Поэтому попытаемся применить принцип двойственности, т.е. вначале решим двойственную ЗЛП, а затем найдем решение исходной.

Двойственная задача. Коэффициентами линейной формы в двойственной задаче выступают правые части b_i , i = 1(1)4 = m, исходной основной задачи. Переменные получают другие имена y₁, y₂, y₃, y₄, и формулируется двойственная задача иначе. Найти максимум линейной формы Q’:

y_i ≥ 0; i = 1(1)4.

Приведем задачу к каноническому виду, вводим дополнительные неотрицательные переменные y₅ , y₆ , y₇ :

Найти минимум ЦФ (знаки у коэффициентов ЦФ поменяли на противоположные): Q’= — 0,2y₁ — 0,5y₂ — 0, 6y₃ — 0,1y₄;

при ограничениях (в ограничения добавили новые переменные):

y_i ≥ 0; i = 1(1)7.

Задача решается симплекс методом. Исходный опорный план в качестве переменных может иметь y₅, y₆, y₇ и свободные переменные y₁ = y₂ = y₃ = y₄ = 0, т.е. Y ₌ [0, 0, 0, 0, 3, 2, 1] .

Базисные переменные y₅, y₆, y₇ и ЦФ выражаем через свободные переменные, т.е. из свободных членов (правых частей, обозначенных γ_i ) вычитаем левые части ограничений

γ₀ =0, так как ЦФ не содержит свободного члена.

и строим симплекс таблицу с двумя полуклетками. Направляющий столбец y₃, направляющая строка y₆.

Анализ таблицы показывает, что все коэффициенты ЦФ при свободных переменных положительны. Следовательно, план Y не является оптимальным, ЦФ можно уменьшить, увеличивая значения соответствующих свободных переменных.

Находим γ = maxi> =max = 0,6. Переменную y₃ надо ввести в базис. После этого устанавливаем, существует ли оптимальный план. В направляющем столбце все коэффициенты положительны, следовательно, оптимальный план существует. В базисе есть переменные, которые можно уменьшать до нуля увеличивая значения y₃, тем самым минимизируя ЦФ. Раньше других в нуль обратиться переменная y₆ и ее исключаем из базиса.

После замены переменных в базисе переходим к новой симплексной таблице.

Анализ этой таблицы показывает, что все коэффициенты в выражении ЦФ свободных переменных отрицательны. Следовательно, опорный план Y = [0, 0, 20/3, 0, 5/3, 0, 1/3] является оптимальным. ЦФ при этом Q’₁ = — 4 достигла наименьшего значения. Возвращаемся к двойственной задаче. Используя соответствие между оптимальными планами двойственных задач ЛП, определяем: базисными переменными в оптимальном плане будут x₂ x₄ x₅ x₇; их значения с противоположным знаком записаны в последней строке таблицы. Таким образом, X opt ₌, т.е. оптимальный рацион из двух единиц продукта П₂. Стоимость такого рациона минимальна и составляет 4 единицы. Это значение с противоположным знаком записано в той же таблице.

1. Ваулин А. Е. Методы цифровой обработки данных.– СПб.: ВИККИ им. А. Ф. Можайского, 1993.– 106 с.
2. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982.
3. Квейд Э. Методы системного анализа // Новое в теории и практике управления производством в США.–М.: Прогресс, 1971.– с.78-99. .
4. Корбут А.А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969.
5. Макаров И. М. и др. Теория выбора и принятия решений.– М.: Наука, 1982.– 328 с.
6. Пфанцагль И. Теория измерений. – М.: Наука, 1988.–384 с.
7. Таха Х. А. Введение в исследование операций. 7-е изд. М.: Изд. дом «Вильямс», 2005.
8. Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений. – М.: Наука,1978. –352 с.

• Информационная безопасность
• Криптография
• Алгоритмы
• Математика
• Научно-популярное

Похожие публикации:

1. Tunatic server not found что делать
2. Как открыть код страницы в браузере
3. Как создать rpm пакет
4. Первичная синхронизация каталога active directory как сделать