1. Затухающие колебания
В школьном курсе физики рассматривают идеальные модели явлений. При изучении параметров колебательного движения потери энергии на преодоление сопротивления (воздуха) не учитываются. Потенциальная энергия переходит в кинетическую и обратно в потенциальную. Полная механическая энергия остаётся постоянной. Такой вывод можно сделать из закона сохранения энергии. В этом случае амплитуда колебаний меняться не будет.
При переходе от идеальных замкнутых систем, в которых происходят гармонические колебания с постоянными амплитудой, частотой и периодом к реальным системам, мы должны учитывать рассеивание энергии на преодоление сопротивления воздуха, на увеличение внутренней энергии системы. В реальных системах амплитуда колебаний уменьшается с течением времени вплоть до полного прекращения колебаний — затухания .
Затухающими колебаниями называют свободные колебания, энергия которых уменьшается из-за воздействия сил сопротивления (трения) с течением времени.
Скорость затухания колебаний прямо пропорциональна силе сопротивления: чем больше сопротивление, тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний.
на графике \(1\) колебания затухают быстрее, чем на графике \(2\), значит сила сопротивления первой колебательной системы больше.
Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии.
Обрати внимание!
При наличии трения колебания идут медленнее:
T зат > T 0 .
Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.
Амплитуда затухающих колебаний — величина не постоянная, а изменяющаяся со временем. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.
При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.
Савельев И.В. Курс общей физики, том I
Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.
Предисловие к четвертому изданию
При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.
Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.
Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.
Ноябрь 1969 г. И. Савельев
Из предисловия к четвертому изданию
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.
При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.
Частота затухающих колебаний
Период затухающих колебаний Т* представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя (рис. 3.6):
Формулу (24) можно представить в следующем виде:
где Т = 2π/k — период свободных колебаний этой же точки.
Формула (3.24) показывает, что период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний точки. Однако при небольшом сопротивлении это увеличение незначительно. В случае небольшого сопротивления период затухающих колебаний можно принимать равным периоду свободных колебаний.
Амплитудой затухающих колебаний называют наибольшие отклонения точки в ту и другую сторону от положения покоя в течение каждого колебания.
Из последовательных значений переменной амплитуды можно составить ряд (рис. 3.7): .
Определим отношение последовательных членов ряда Ai+1 и Ai, соответствующих моментам времени :
Так как отношение Аi+1 /Аi постоянно и по величине меньше единицы, то последовательные значения амплитуды составляют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем .
Отвлеченное число называется декрементом колебаний: натуральный логарифм декремента, т. е. величина , называется логарифмическим декрементом:
Коэффициент n называют коэффициентом затухания. Затухание колебаний происходит очень быстро даже при малом сопротивлении. Так, например, при n=0,05k
т.е. период затухающих колебаний Т* отличается от периода свободных колебаний Т лишь на 0,125%, а амплитуда колебаний за время одного полного колебания уменьшается на 0,27 своей величины, а после 10 полных колебаний становится равной лишь 0,04304 своего первоначального значения.
Tаким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.
Случаи апериодического движения. Движение материальной точки теряет колебательный характер и становится апериодическим в случае большого сопротивления, т. е. при n≥ k или α ≥ 2 .
а) При n > k корни общее решение уравнения (3.15) имеет вид
Введем вместо постоянных интегрирования C1 и С2 две новые постоянные В1 и В2, положив
Подставим эти значения C1 и С2 в уравнение (3.27):
Введем в полученное уравнение гиперболические функции
Тогда получаем уравнение в следующем виде:
Дальнейшее преобразование этого уравнения проведем, заменив постоянные B1 и В2 двумя другими постоянными A и β по условию
Тогда уравнение примет вид
Уравнение движения точки (3.28) показывает, что рассматриваемое движение точки не является колебательным, так как гиперболический синус не является периодической функцией. В зависимости от начальных условий материальная точка может совершать одно из движений, графики которых показаны на рис. 3.8—3.10. Эти графики соответствуют начальному отклонению точки от положения покоя на величину .
На рис. 3.8 показан график движения точки с начальной скоростью v0, имеющей направление, совпадающее с направлением оси x. Благодаря этой скорости точка сначала удаляется от положения покоя, а затем под действием восстанавливающей силы постепенно приближается к этому положению.
Графики (рис. 3.9 и 3.10) соответствуют движению точки с начальной скоростью , направленной противоположно направлению оси х. При достаточно большой начальной скорости точка может совершить один переход через положение покоя и затем при обратном движении приближаться к этому положению (рис. 3.9).
Рис. 3.8 Рис. 3.9 Рис. 3.10
б) При n=k общее решение уравнения (3.15) в этом случае имеет вид
Чтобы найти C1 и С2, получим уравнение, определяющее скорость точки, продифференцировав уравнение (3.29):
Пусть в начальный момент t= 0 точка имеет координаты x0 и проекцию скорости на ось х, равную .
Подставим в уравнения (3.29) и (3.30) эти начальные условия:
Зная значения С1 и С2, представим уравнение (3.29) в следующем виде:
Движение точки, определяемое уравнением (3.31), является также апериодическим.
Пример. Тело весом G = 20 Н, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости и прикрепленное к концу недеформированной пружины (рис. 3.11), отклоняют из положения покоя вправо, растягивая пружину на 4 см, и отпускают, сообщая начальную скорость 56 см/с, направленную влево (удлинение пружины на 1 см вызывается силой 4 Н). Определить дальнейшее движение тела, пренебрегая массой пружины.
Решение. Направим ось х горизонтально вправо, считая началом координат О положение покоя тела, принятого за материальную точку. Тогда начальные условия будут следующими (рис. 3.12):
В произвольный момент времени t на тело М, имеющее координату х, действуют сила тяжести , реакция плоскости и сила упругости деформированной пружины , направленная к точке О. Модуль силы пропорционален деформации пружины, т. е.
где с — коэффициент жесткости пружины.
Проекция силы на ось х
По условию задачи, с = 4 Н/см.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний:
Решение дифференциального уравнения представим в форме:
Вычислим частоту и период колебаний по формулам:
Амплитуду А и начальную фазу β свободных колебаний тела вычислим по начальным условиям с помощью формул:
Уравнение свободных колебаний груза имеет вид
На рис. 3.13 построен график движения, соответствующего полученному уравнению. При этом по оси абсцисс отложены не значения t, а пропорциональные им произведения kt. Тогда начальная фаза β изображается величиной смещения начала волны синусоиды в направлении, противоположном направлению оси абсцисс.
Примечание. Амплитуда свободных колебаний зависит как от начального отклонения тела из положения покоя, так и от начальной скорости. При этом направление начальной скорости не влияет на амплитуду. Так, если начальную скорость направить вправо ( =56 см/с), амплитуда будет иметь ту же величину. Если тело опустить без начальной скорости ( = 0), то амплитуда
т. е. амплитуда будет равна начальному отклонению тела от положения покоя. Наличие начальной скорости увеличивает амплитуду,
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
- Вынужденные колебания точки.
возмущающая сила
Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую наряду с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая возмущающей силой.
Практически наиболее важным является случай, когда возмущающая силa изменяется по гармоническому закону, т. е. проекция ее на ось х, направленную по траектории точки, определяется так:
где Н – максимальный модуль, или амплитуда, возмущающей силы; р — частота изменения возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за 2π с; pt+δ — фаза изменения возмущающей силы: δ- начальная фаза изменения возмущающей силы.
Период изменения возмущающей силы определяется по ее частоте:
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки М (рис. 4.1) под действием восстанавливающей силы и возмущающей силы , изменяющейся по гармоническому закону.
Направим ось х по прямолинейной траектории точки М, а начало координат поместим в положение покоя точки М, соответствующее недеформированной пружине.
Составим дифференциальное уравнение движения точки, учитывая, что на точку М с координатой х в момент времени t действуют силы и , имеющие проекции на ось х:
Здесь — квадрат частоты свободных колебаний. Введем обозначение Н/т = h:
Уравнение (4.3) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки.
Общее решение уравнения (4.3) складывается из общего решения однородною уравнения и частного решения данного уравнения (4.3):
Однородное уравнение имеет общее решение:
В соответствии с видом функции f(t) в правой части уравнения (4.3) будем искать частное решение уравнения (4.3) в виде
Определим постоянную АB подстановкой функции (4.4) в уравнение (4.3). Так как , то после подстановки (4.4) в уравнение (4.3)
Полученное равенство должно быть справедливо при любом значении sin (pt +δ). Это выполняется лишь при равенстве коэффициентов в левой и правой частях, т. е.
Подставляя значение АВ в выражение (4.4), находим искомое частное решение уравнения (4.3):