1. Квадратные уравнения
Уравнение вида a x 2 + bx + c = 0 , в котором \(a\), \(b\) и \(c\) — действительные числа, и a ≠ 0 , называется квадратным уравнением .
4 x 2 − 3 x + 1 = 0 ;
Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам:
x 1 \(=\) − b + D 2 ⋅ a ; x 2 \(=\) − b − D 2 ⋅ a , где \(D =\) b 2 − 4ac .
\(D\) называется дискриминантом.
По значению дискриминанта можно определить количество корней квадратного уравнения.
Если \(D < 0\) (отрицательный), то у уравнения нет действительных корней.
Если \(D = 0\), то у уравнения два равных корня.
Если \(D > 0\) (положительный), то у уравнения два различных корня.
Приведённое квадратное уравнение (коэффициент при x 2 равен \(1\), т. е. \(а = 1\))
x 2 + bx + c = 0 можно решить с помощью обратной теоремы Виета: x 1 ⋅ x 2 = c x 1 + x 2 = − b
Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения имеют \(2\) вида:
1. если \(c = 0\), то a x 2 + bx = 0 ;
2. если \(b = 0\), то a x 2 + c = 0 .
Неполные квадратные уравнения можно решать с помощью формул дискриминанта, но рациональнее выбрать специальные способы:
1. a x 2 + bx = 0 можно решить, разложив на множители (вынести за скобку \(x\))
x ⋅ ( ax + b ) = 0 .
\(x = 0\) или \(ax+b=0\). Значит, один корень равен \(0\), а второй корень x = − b a
(т. к. произведение двух чисел равно \(0\) только тогда, когда хотя бы один из множителей равен \(0\)).
2 x 2 − 30 x = 0 ; x 2 x − 30 = 0 ; x = 0, или 2 x − 30 = 0 ; 2 x = 30 ; x = 15 .
Ответ: \(x = 0\); \(x = 15\).
2. a x 2 + c = 0 можно решить, извлекая корень из каждой части уравнения.
a x 2 = − c ; (обе стороны делятся на \(a\)) x 2 = − c a .
\(|x| =\) − c a . Извлекая корень из правой части уравнения, получаем \(x\) по модулю.
Это значит, что
x 2 \(=\) − − c a .
4 x 2 − 100 = 0 ; 4 x 2 = 100 | : 4 x 2 = 25 ; x = 25 ;
из этого следует, что x = 5 или x = − 5 .
Ответ: x 1 = 5 ; x 2 = − 5 .
x 2 + 36 = 0 ; x 2 = − 36 .
У уравнения нет решения, т. к. квадратный корень из отрицательного числа не имеет смысла (также известно, что число во второй степени не может быть отрицательным).
Неполные квадратные
уравнения
В уроке «Как решать квадратные уравнения» мы разобрали решение обычных квадратных уравнений, но есть уравнения, в которых не всегда очевидно, как найти коэффициенты « a », « b » и « c » для формулы поиска корней.
Например, рассмотрим такое квадратное уравнение.
4x 2 − 64 = 0
Давайте сравним это уравнение с общим видом квадратного уравнения
« ax 2 + bx + c = 0 » и определим, чему в нем равны « a », « b » и « c ».
- a = 4
- b = ?
- c= −64
Возникает вопрос: «Чему здесь равен коэффициент « b »?» Ответ прост: « b = 0 ». На самом деле по-другому уравнение можно записать так:
4x 2 − 64 = 0
4x 2 + 0 · x − 64 = 0
Теперь очевидно, чему равны коэффициенты « a », « b » и « c » в этом уравнении .
- a = 4
- b = 0
- c = −64
Зная чему равны коэффициенты, можно применить формулу нахождения
корней « x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
| −0 ± √ 0 2 − 4 · 4 · (−64) |
| 2 · 4 |
| −0 ± √ 0 + 1024 |
| 8 |
Ответ: x1 = 4 ; x2 = −4
Запомните!
Квадратные уравнения, в которых коэффициенты « b » и/или « c » равны нулю, называют неполными .
Примеры неполных квадратных уравнений
Рассмотрим другие примеры неполных квадратных уравнений. Выпишем их коэффициенты « a », « b » и « c » и найдем корни.
- a = 3
- b = 0
- с = 0
| −0 ± √ 0 2 − 4 · 3 · 0 |
| 2 · 3 |
Ответ: x = 0
5x 2 = 125
5x 2 − 125 = 0
- a = 5
- b = 0
- с = −125
Подставим коэффициенты в формулу для корней:
| −0 ± √ 0 2 − 4 · 5 · 125 |
| 2 · 5 |
| 0 ± √ 2500 |
| 10 |
Ответ: x1 = 5 ; x2 = −5
9x 2 − x = 0
- a = 9
- b = −1
- с = 0
| −(−1) ± √ (−1) 2 − 4 · 9 · 0 |
| 2 · 9 |
| 1 ± √ 1 − 0 |
| 18 |
Другие способы решения неполных квадратных уравнений
Любое неполное квадратное уравнение можно решить, не используя формулу для корней квадратного уравнения.
Корни в неполном квадратном уравнении можно найти, применяя формулы сокращенного умножения и правило деления уравнения на число.
Решим другим методом уравнения, которые мы решали по формуле выше.
Вспомним, что только умножение на « 0 » даст в результате ноль. Поэтому становится понятно, что в этом уравнении только один корень « x = 0 ».
Разделим левую и правую часть уравнению по правилу деления на « 5 ».
5x 2 = 125 | (:5)
5x 2 (:5) = 125 (:5)
x 2 = 25
Перенесем все в левую часть.
Произведение многочленов в скобках будет равно нулю в том случае, когда любая из скобок окажется равна нулю. Приравняем каждую скобку к нулю и найдем корни уравнения.
| (x − 5) = 0 | (x + 5) = 0 |
| x = 5 | x = − 5 |
Ответ: x1 = 5 ; x2 = −5
9x 2 − x = 0
Вынесем общий множитель за скобки в левой части.
9x 2 − x = 0
x(9x − 1) = 0
Произведение будет равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю.
| x = 0 | (9x − 1) = 0 |
| 9x = 1 | (:9) | |
| 9x (:9) = 1 (:9) | |
| x = |
Ответ: x1 = 0 ; x2 =
Важно!
Если у вас не получается решить уравнение с помощью формул сокращенного умножения, используйте формулу для поиска корней квадратного уравнения.
С помощью этой формулы всегда можно решить любое квадратное уравнение!
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Неполные квадратные уравнения
в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:
| ax 2 + bx = 0, | если c = 0; |
| ax 2 + c = 0, | если b = 0; |
| ax 2 = 0, | если b = 0 и c = 0. |
Решение неполных квадратных уравнений
Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:
x(ax + b) = 0.
Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:
x = 0 или ax + b = 0.
Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы
| x = — | b | . |
| a |
Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:
| x1 = 0 и x2 = — | b | . |
| a |
Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.
Пример 1. Решите уравнение:
a 2 — 12a = 0.
| a 2 — 12a = 0 | |
| a(a — 12) = 0 | |
| a1 = 0 | a — 12 = 0 |
| a2 = 12 | |
Пример 2. Решите уравнение:
7x 2 = x.
| 7x 2 = x | |
| 7x 2 — x = 0 | |
| x(7x — 1) = 0 |
| x2 = | 1 |
| 7 |
Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:
| ax 2 = —c, следовательно, x 2 = — | c | . |
| a |
В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.
Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:
x 2 = c.
В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:
x1 = +√ c , x2 = -√ c .
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.
Пример 1. Решите уравнение:
| 24 = 2y 2 | |
| 24 — 2y 2 = 0 | |
| -2y 2 = -24 | |
| y 2 = 12 | |
| y1 = +√ 12 | y2 = -√ 12 |
Пример 2. Решите уравнение:
b 2 — 16 = 0.
| b 2 — 16 = 0 | |
| b 2 = 16 | |
| b1 = 4 | b2 = -4 |
Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений
Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):
Для случаев, когда \(с=0\) или когда оба коэффициента равны нулю — всё аналогично.
Обратите внимание, что про равенство нулю \(a\) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае уравнение превратиться в линейное :
Решение неполных квадратных уравнений
Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является квадратным уравнением , поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через дискриминант ). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.
Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение:
У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде:
Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты.
Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)