Расчёт катетов по гипотенузе и углу
Прямоугольный треугольник это треугольник у которого один из углов равен 90 градусов.
Прямой угол это угол 90 градусов.
Гипотенуза это противолежащая прямому углу сторона, самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Катеты это стороны прямоугольного треугольника прилежащие к прямому углу.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.
Синусом называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Как найти стороны прямоугольного треугольника
Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?
Формула
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
следовательно: c = √ a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (a или b ) =
Прилежащий угол (β или α ) =
Гипотенуза c =Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:
c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (a или b ) =
Противолежащий угол (α или β ) =
Гипотенуза c =Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:
c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по двум углам
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Гипотенуза c =
Катет (известный) =
Катет (искомый) =Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:
a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (прилежащий катету) = °
Катет =Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:
b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (противолежащий катету) = °
Катет =Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:
a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (прилежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:
b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (противолежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:
a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см
Как найти катет прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза
Треугольник – это часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых, называемых сторонами треугольника, имеющими попарно по одному общему концу, называемых вершинами треугольника. Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным.
Статьи по теме:
- Как найти катет прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза
- Как найти катет в прямоугольном треугольнике
- Как найти стороны прямоугольного треугольника
Инструкция
Стороны прямоугольного треугольника, прилегающие к прямому углу (AB и BC), называются катетами. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (AC).
Пусть нам известна гипотенуза AC прямоугольного треугольника ABC: |AC| = c. Обозначим угол с вершиной в точке A как ∟α, угол с вершиной в точке B как ∟β. Нам необходимо найти длины |AB| и |BC| катетов.
Пусть известен один из катетов прямоугольного треугольника. Предположим |BC| = b. Тогда мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2. Из данного уравнения находим неизвестный катет |AB| = a = √ (c^2 — b^2).
Пусть известен один из углов прямоугольного треугольника, предположим ∟α. Тогда катеты AB и BC прямоугольного треугольника ABC можно найти, используя тригонометрические функции. Так получаем: синус ∟α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе sin α = b / c, косинус ∟α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе cos α = a / c. Отсюда находим требуемые длины сторон: |AB| = a = с * cos α, |BC| = b = c * sin α.
Пусть известно соотношение катетов k = a / b. Также решаем задачу с использованием тригонометрических функций. Отношение a / b есть ни что иное, как котангенс ∟α: отношение прилежащего катета к противолежащему ctg α = a / b. В этом случае из данного равенства выражаем a = b * ctg α. И подставляем в теорему Пифагора a^2 + b^2 = c^2:
b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Выносим b^2 за скобки, получаем b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. И отсюда легко получаем длину катета b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.
По аналогии, если известно соотношение катетов b / a, решаем задачу с применением тригонометрической функции тангенс tg α = b / a. Подставляем значение b = a * tg α в теорему Пифагора a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Отсюда a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.
Рассмотрим частные случаи.
∟α = 30°. Тогда |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.
∟α = 45°. Тогда |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.
Видео по теме
Обратите вниманиеКвадратные корни извлекаются с положительным знаком, т.к. длина не может быть отрицательной величиной. Это кажется очевидным, но данная ошибка очень распространена, если решать задачу на автомате.
Полезный совет
Для нахождения катетов прямоугольного треугольника удобно использовать формулы приведения: sin β = sin (90° — α) = cos α; cos β = cos (90° — α) = sin α.
- Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций
Совет полезен?
Статьи по теме:- Как вычислить катет
- Как найти катет
- Как найти катеты равнобедренного треугольника
Добавить комментарий к статье
Похожие советы- Как найти неизвестный катет
- Как вычислить длину катета
- Как вычислить длину катета прямоугольного треугольника
- Как найти гипотенузу при известном катете
- Как найти длину стороны прямоугольного треугольника
- Как решать тригонометрические функции
- Как вычислить сторону прямоугольного треугольника
- Как найти длину катета
- Как найти гипотенузу треугольника
- Как рассчитать катет
- Как называются стороны прямоугольного треугольника
- Как выглядят прямоугольные треугольники
Гипотенуза
Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.
Как найти гипотенузу?
Как найти гипотенузу, зная катеты?
Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.
Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).
Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:
c² = 3² + 4² c² = 9 + 16 c² = 25 c = √25 c = 5.
Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).
Как найти катет в прямоугольном треугольнике
По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:
Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:
Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.
Применяем формулу b = √c² — a² ⇔
b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.
Как найти гипотенузу, зная катет и угол?
Если есть противолежащий катет — теорема синусов
Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).
Известна одна сторона треугольника ���� = √2 и ∠β = 45º.
∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).
Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.
Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.
Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:
BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º
В таблице вы найдёте значения для синуса:
sin 45º √2/2 sin 60º √3/2 sin 90º 1 В условии задачи нам дано: ���� = √2, значит:
BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º
Подставляем значения синуса из таблицы:
BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔
BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)
Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:
Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.
Если есть прилежащий катет — по косинусу
Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).
Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.
Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).
Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.
Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.
Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.
Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).
Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.
Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.
Формула b = √2a². Подставляем:
b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899
Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):
Ответ: гипотенуза равна 9.899.