Как по косинусу определить угол тупой или острый

1. Синус, косинус и тангенс угла

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В треугольнике \(AOX\):
sin α = AX AO ; cos α = OX AO .
Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sin α = AX ; cos α = OX .

Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):

A cos α ; sin α .
Следовательно, для углов 0 ° ≤ α ≤ 180 ° видно, что − 1 ≤ cos α ≤ 1 ; 0 ≤ sin α ≤ 1 .

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,

tg α = AX OX = sin α cos α .

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0 ° ; 90 ° ; 180 ° .

sin 0 ° = 0 ; cos 0 ° = 1 ; tg 0 ° = 0 ; sin 90 ° = 1 ; cos 90 ° = 0 ; tg 90 ° не существует ; sin 180 ° = 0 ; cos 180 ° = − 1 ; tg 180 ° = 0 .

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90 ° , то оба выразим через α .

Если sin α = AX AO ; cos α = OX AO , то sin 90 ° − α = OX AO ; cos 90 ° − α = AX AO .
Видим, что справедливы равенства:
cos 90 ° − α = sin α ; sin 90 ° − α = cos α .
Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α .

Справедливы следующие равенства:
sin 180 ° − α = sin α ; cos 180 ° − α = − cos α .
Эти формулы называются формулами приведения:
cos 90 ° − α = sin α ; sin 90 ° − α = cos α .
sin 180 ° − α = sin α ; cos 180 ° − α = − cos α .

Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX 2 + OX 2 = 1 . Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем

Косинус

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи : \(\frac\) , \(\frac\) , \(-2π\).

Например, для числа \(\frac\) — косинус будет равен \(\frac>\) . А для числа \(-\) \(\frac\) он будет равен \(-\) \(\frac<\sqrt>\) (приблизительно \(-0,71\)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице .

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).

Пример. Определите знак \(\cos 1\).
Решение: Найдем \(1\) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что \(π=3,14\). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что \(\cos⁡1\) – положителен.
Ответ: плюс.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
— тангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+tg^2⁡x=\) \(\frac\)
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\) \(\frac>\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция \(y=\cos\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: \(D(\cos )=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos )=[-1;1]\)
— четная: \(\cos⁡(-x)=\cos\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((\) \(\frac\) \(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;1)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((-\) \(\frac\) \(+2πn;\) \(\frac\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((\) \(\frac\) \(+2πn;\) \(\frac\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a → ⋅ b → = a → ⋅ b → ⋅ cos a → b → ˆ .

Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).

Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0 ° , а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.

2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).

Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180 ° . Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Особенный третий случай!
Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю , так как косинус прямого угла равен \(0\).

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю , то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a → 2 .

Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1. a → 2 ≥ 0 , к тому же a → 2 > 0 , если a → ≠ 0 → .
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения: a → ⋅ b → = b → ⋅ a → .

3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения: a → + b → ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → .

4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения: k ⋅ a → ⋅ b → = k ⋅ a → ⋅ b → .
Использование скалярного произведения

Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.

Вектор называют направляющим вектором прямой , если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.

Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.

Если a → x 1 ; y 1 ; z 1 , b → x 2 ; y 2 ; z 2 , то a → ⋅ b → = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 .
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.

Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cos α = a → ⋅ b → a → ⋅ b → , то

cos α = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ⋅ x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 .

Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n → данной плоскости и неким вектором b → равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90 ° .

При нахождении косинуса угла между n → и b → можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b → , и плоскостью.

Теорема косинусов

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

• a² = b² + c² – 2b.c.cosα
• b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
• c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

cos α = cos 120º = — 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

• b²+c²−a²
• b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
• b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.

Доказательство теоремы косинусов

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a CD = a.cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки «a²»: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

• две его стороны равны;
• углы при основании равны.

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b.c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

Дата обновления 01/10/2020.