Как посчитать количество функций в модуле

Модуль числа в Python

Очень часто возникает необходимость вычисления модуля числа в Python. Рассмотрим, что такое модуль числа, какие есть способы его вычисления. Так же отдельно коснемся комплексных чисел.

Модуль числа

Часто в программировании требуется вычислить абсолютное значение числа. Иначе говоря, отбросить знак.

При вычислении модуля возможны 3 ситуации:

Когда число больше 0. Если взять его по модулю — не изменится.
Модуль нуля так же равен нулю.
У отрицательного числа отбрасываем знак. То есть умножаем его на -1.

Но это все справедливо только для действительных чисел. Чему же тогда будет равен модуль комплексных?

Комплексное число состоит из действительной составляющей и мнимой. Геометрически это можно представить как 2 ортогональные оси: действительную и мнимую. Отмечаем на координатных осях требуемую точку. Модулем будет длина отрезка, проведенного из начала координат в эту точку.

Исходя из теоремы Пифагора получаем, что модуль комплексного числа это корень квадратный из суммы квадратов мнимой и действительной частей.

Вычисление

Вычислять модуль можно следующими способами:

Используя стандартную функцию abs.
С помощью функции fabs библиотеки math.
При помощи самостоятельно написанной функции.

Все эти функции работают как в Python 2, так и в Python 3.

abs

Для вычисления в Python модуля числа используется функция abs. Результат функции того же типа, которого был аргумент.

a = -10 b = abs(a) print(b) print(type(b)) 10

fabs

Можно так же воспользоваться функцией fabs из библиотеки math. Библиотеку можно подключить с помощью from math import fabs .

from math import fabs a = -10 b = fabs(a) print(b) print(type(b)) 10.0

Отличие abs от fabs заключается в том, что функция abs возвращает значение того же типа, что и аргумент. Функция же fabs вначале преобразует тип аргумента к вещественному числу.

Свое решение

Если по каким то причинам нет возможности или желания использовать стандартные функции, то можно написать свое решение.

Например, можно вычислить воспользоваться тернарным оператором.

a = -10 b = a if a > 0 else -a print(b) 10

На основе такого условия сделаем свою функцию.

def my_abs(a): return a if a > 0 else -a print(my_abs(-3)) 3

Модуль комплексного числа

Мы разобрались как происходит вычисление с действительными числами. Теперь посмотрим, как в языке программирования Python можно получить модуль комплексного.

Функцией fabs мы не сможем воспользоваться. Если попытаемся это сделать, то получим ошибку приведения комплексного числа к действительному (TypeError).

from math import fabs a = -10-2j b = fabs(a) print(b) Traceback (most recent call last): File "main.py", line 3, in b = fabs(a) TypeError: can't convert complex to float

А вот с помощью abs преобразование удается.

a = -10-2j b = abs(a) print(b) 10.19803902718557

Или же напишем свою функцию:

from math import sqrt def my_abs_complex(c): return sqrt(c.real**2 + c.imag**2) a = -10-2j b = my_abs_complex(a) print(b) 10.198039027185569

Результаты получились одинаковыми. Но нам все равно пришлось подключить библиотеку math для вычисления квадратного корня.

Функция ABS

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ABS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает модуль (абсолютную величину) числа. Абсолютная величина числа — это число без знака.

Синтаксис

Аргументы функции ABS описаны ниже.

Число — обязательный аргумент. Вещественное число, абсолютное значение которого необходимо найти.

Пример

Скопируйте таблицу ниже и вставьте ее в ячейку A1 в Excel. Возможно, для работы формул понадобится выбрать все ячейки с ними и нажать клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. Можно также расширить столбцы для более удобного просмотра листа.

Модуль числа в Python — функции abs() и math.fabs()

Запускаю китайскую реплику «ТАРДИС», и вот мы в пятом классе. На доске нарисована числовая ось, а на ней выделен отрезок. Его начало в точке 4, а конец — в 8. Учительница говорит, что длину отрезка можно найти путём вычитания координаты начала отрезка из координаты его конца. Вычитаем, получаем 4, и радуемся — мы нашли длину. Ура! ��

Перемещаемся на год вперёд, и там происходит странное: учительница выделяет мелом другой отрезок, но делает это в каком-то неправильном месте — левее точки с цифрой «0». Теперь перед нами старая задача, но с новыми числами и даже буквами: A, B, минус 4 и минус 8. Мы начинаем искать длину отрезка AB = [-4;-8]:

Переводим непонимающий взгляд с получившейся отрицательной длины на довольную улыбающуюся учительницу, а затем на доску. Там наверху, рядом с сегодняшней датой, написана тема урока: «Модуль числа».

Что такое модуль числа

Модуль числа называют абсолютной величиной.

Для вещественных чисел модуль определяется так:

Т.е. в любом случае, модуль — число большее или равное 0. Поэтому отрицательная длина в примере хитрой учительницы должна была быть взята по модулю:

Тогда дети бы увидели, что геометрический смысл модуля — есть расстояние. Это справедливо и для комплексных чисел, однако формальное определение для них отличается от вещественного:

, где z — комплексное число: z = x + i y.

В Python для нахождения модуля числа применяются две функции: fabs() из подключаемой библиотеки math и встроенная функция abs() .

Abs

В то время как math.fabs() может оперировать только вещественными аргументами, abs() отлично справляется и с комплексными. Для начала покажем, что abs в python работает строго в соответствии с математическим определением.

# для вещественных чисел print(abs(-1)) print(abs(0)) print(abs(1)) > 1 > 0 > 1

Как видно, с вещественными числами всё в порядке. Перейдём к комплексным.

# для комплексных чисел print(complex(-3, 4)) print(abs(complex(-3, 4))) > (-3+4j) > 5.0

Если вспомнить, что комплексное число выглядит так: z = x + i y, а его модуль вычисляется по формуле:

, то можно без труда посчитать, что sqrt(3**2 + 4**2) действительно равно 5.0 .

Можно заметить, что abs() возвращает значения разных типов. Это зависит от типа аргумента:

print(type(abs(1))) > print(type(abs(1.0))) > print(type(abs(complex(1.0, 1.0))))

В этом кроется ещё одно отличие abs() от fabs() . Функция из модуля math всегда приводит аргумент к вещественному типу, а если это невозможно сделать — выбрасывает ошибку:

print(type(math.fabs(complex(2,3)))) > TypeError: can’t convert complex to float

Fabs

Для начала работы с fabs() необходимо импортировать модуль math с помощью следующей инструкции:

Мы уже выяснили, что fabs() не работает с комплексными числами, поэтому проверим работу функции на вещественных:

print(math.fabs(-10)) print(math.fabs(0)) print(math.fabs(10)) > 10.0 > 0.0 > 10.0

Функция производит вычисления в соответствие с математическим определением, однако, в отличие от abs() , всегда возвращает результат типа float :

Основные свойства модулей

# Квадрат модуля = квадрату числа print(pow(4, 2) == pow(abs(4), 2)) > True # |x| = |-x| print(abs(-10) == abs(10)) > True # Модуль произведения = произведению модулей: |ab|=|a||b| print(math.fabs(11 * 3) == math.fabs(11) * math.fabs(3)) > True # Аналогично для деления: |a/b|=|a|/|b| print(math.fabs(48/8) == math.fabs(48) / math.fabs(8)) > True # |a ** b| = |a| ** b print(abs(2 ** 10) == abs(2) ** 10) > True

И еще несколько важных неравенств:

Как решать уравнения с модулем: основные правила

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

\[\left| a \right|=\left\< \begin& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end \right.\]

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

График функции-модуля и его пересечение с горизонтальной линией

Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: $_>$ и $_>$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: $_>$ и $_>$. В этом случае выражение $\left| _>-_> \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Определение модуля через расстояние

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left( x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

\[\left| f\left( x \right) \right|=a\]

Ну и как такое решать? Напомню: $f\left( x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left( 2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

\[2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\]

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

\[\left\< \begin& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end \right.\Rightarrow -2x-1=5\Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

\[2x+1=-5\Rightarrow 2x=-6\Rightarrow x=-3\]

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left( x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\[\left| f\left( x \right) \right|=a\Rightarrow f\left( x \right)=\pm a\]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$ :

\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\Rightarrow \left\< \begin& f\left( x \right)=\pm g\left( x \right), \\& g\left( x \right)\ge 0. \\\end \right.\]

Применительно к нашему уравнению получим:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\< \begin& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end \right.\]

Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x=2$ и $x=/\;$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\]

И решается оно точно так же:

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

Выносим общий множитель $^>$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x=/\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$ или даже более простому $\left| f\left( x \right) \right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\Rightarrow f\left( x \right)=\pm g\left( x \right)\]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left( 2x-7 \right)\]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

\[2x+3=-2x+7\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\]

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

Опять у нас уравнение вида $\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:

Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

\[x-^>=0\Rightarrow x\left( 1-^> \right)=0\Rightarrow \left[ \begin& x=0 \\& x=\pm 1 \\\end \right.\]

\[^>+x-2=0\Rightarrow \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin& x=-2 \\& x=1 \\\end \right.\]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

\[\left| a \right|=\left\< \begin& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end \right.\]

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 \gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

\[3x-5 \gt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=3x-5\]

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

\[3x-5=5-3x\Rightarrow 6x=10\Rightarrow x=\frac\]

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 \gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=\frac$ в это условие и проверим:

\[x=\frac\Rightarrow 3x-5=3\cdot \frac-5=5-5=0\]

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 \lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 \lt 0$:

\[3x-5 \lt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=5-3x\]

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

\[3x-5 \lt 0\Rightarrow 3x \lt 5\Rightarrow x \lt \frac\]

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

\[x\in \left( -\infty ;\frac \right)\]

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

\[3x-5=0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=0\]

Но тогда исходное уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

\[0=3x-5\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac\]

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 \gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Объединение корней уравнения, полученных методом расщепления

Итого окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;\frac \right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Разбиение числовой прямой на интервалы

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

Самый левый: $x \lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
Центральный: $1\le x \lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
Самый правый: $x\ge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Смотрите также:

Простейшие уравнения с модулем
Уравнение с двумя модулями
Сложные выражения с дробями. Порядок действий
Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
Как решать биквадратное уравнение
B4: счетчики на электричество

Вход для учеников
ЕГЭ-2024
Школьникам
1. Арифметика
Арифметика
Дроби
Модуль
Проценты
Корни
Степени
Прогрессии
Текстовые задачи
2. Алгебра
Уравнения
Системы уравнений
Неравенства
Системы неравенств
Рациональные дроби
Функции
Многочлены
Логарифмы
Экспонента
Задачи с параметром
Вероятность
4. Геометрия
Треугольники
Многоугольники
Окружность
Стереометрия
Векторы
3. Математический анализ
Тригонометрия
Предел
Производная
Интегралы
Студентам
Реклама
Обо мне

При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
Карта сайта