От чего зависит период колебаний волны

От чего зависит период колебаний волны

Волны > Механические > Частота и период колебаний ( ν, T ).

Содержание	Величина	Наименование
Частота колебаний (ν) — число колебаний за единицу времени. Период колебаний (Т) — время одного полного колебания. Частота и период колебаний — обратные величины:

§ 8. Формула периода математического маятника

Период колебаний физического маятника зависит от многих обстоятельств: от размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределения массы тела относительно этой точки; поэтому вычисление периода подвешенного тела —довольно сложная задача. Проще обстоит дело для математического маятника. Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы.

1. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза), подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническому (§ 5) и период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется изохронизмом (от греческих слов «изос» — равный, «хронос» — время).

Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали (§ 11), т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей пользовался собственным пульсом.

Выведем теперь формулу для периода колебаний математического маятника.

Рис. 16. Колебания маятника в плоскости (а) и движение по конусу (б)

При качаниях маятника груз движется ускоренно по дуге (рис. 16, а) под действием возвращающей силы , которая меняется при движении. Расчет движения тела под действием непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом.

Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности (рис. 16, б). Это движение может быть получено в результате сложения двух независимых колебаний: одного — по-прежнему в плоскости рисунка и другого — в перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы, так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой. Следовательно, и период сложного движения — обращения маятника по конусу — будет тот же, что и период качания водной плоскости. Этот вывод можно легко иллюстрировать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому — вращение по конусу.

Но период обращения «конического» маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скорость:

Если угол отклонения от вертикали невелик (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила направлена по радиусу окружности , т. е, равна центростремительной силе:

С другой стороны, из подобия треугольников и следует, что . Так как , то отсюда

Приравняв оба выражения друг другу, мы получаем для скорости обращения

Наконец, подставив это в выражение периода , находим

Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника , т. е. расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Другими словами, мы получили путем расчета те основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений.

Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позволяет установить количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен .

На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника и определив из большого числа колебаний период , мы можем вычислить с помощью полученной формулы . Этот способ широко используется на практике.

Известно (см. том I, §53), что ускорение свободного падения зависит от географической широты места (на полюсе , а на экваторе ). Наблюдения над периодом качаний некоторого эталонного маятника позволяют изучить распределение ускорение свободного падения по широте. Метод этот настолько точен, что с его помощью можно обнаружить и более тонкие различия в значении на земной поверхности. Оказывается, что даже на одной параллели значения в разных точках земной поверхности различно. Эти аномалии в распределении ускорения свободного падения связаны с неравномерной плотностью земной коры. Они используются для изучении распределения плотности, в частности для обнаружения залегания в толще земной коры каких-либо полезных ископаемых. Обширные гравиметрические изменения, позволившие судить о залегании плотных масс, были выполнены в СССР в области так называемой Курской магнитной аномалии (см. том II, § 130) под руководством советского физика Петра Петровича Лазарева. В соединении с данными об аномалии земного магнитного поля эти гравиметрические данные позволили установить распределение залегания железных масс, обусловливающих Курскую магнитную и гравитационную аномалии.

2. Амплитуда, частота, период колебаний

Сравним колебания двух качелей на рисунке \(1\) — пустых качелей и качелей с мальчиком. Качели с мальчиком колеблются с большим размахом, то есть их крайние положения находятся дальше от положения равновесия, чем у пустых качелей.

Амплитудой колебаний \(A\) называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Полным колебанием называют движение, за которое тело возвращается в исходную точку (из которой началось колебание).

За одно полное колебание тело дважды максимально отклоняется от положения равновесия, поэтому один полный путь одного полного колебания равен четырём амплитудам: \(s=4A\).

Период колебаний — это промежуток времени, за который тело совершает одно полное колебание.
\([T]=1~с\)

ударим по столу двумя линейками — металлической и деревянной (рис. \(2\)) Линейки после этого начнут колебаться, но за один и тот же промежуток времени металлическая линейка (B) сделает больше колебаний, чем деревянная (A).

Рис. \(2\). Колебания металлической (B) и деревянной (A) линеек
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний .
Обрати внимание!

Обозначается частота греческой буквой ν («ню»). За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица в честь немецкого учёного Генриха Герца названа герцем (Гц).

Период колебания \(T\) и частота колебаний ν связаны следующей зависимостью:

Свободные колебания в отсутствие трения и сопротивления воздуха называются собственными колебаниями , а их частота — собственной частотой колебательной системы.

Для описания закономерностей колебательной системы необходимо учитывать зависимость параметров колебания от параметров системы. Например, период колебаний и их частота зависят от массы груза и жёсткости пружины для физического маятника.

Рис. \(3\). Движение пустых качелей и качелей с мальчиком

Рассмотрим колебания двух одинаковых пустых качелей на рисунке \(3\). В один и тот же момент времени красные качели из положения равновесия начинают движение вперед, а зелёные качели из положения равновесия движутся назад. Движение качелей таково, что их амплитуды и периоды колебаний одинаковы. А если одинаковы периоды, то и частота колебаний совпадает. Однако, направлений движения качелей противоположно. О таких движениях говорят, что они движутся в противофазах.

Красные пустые качели и качели с мальчиком тоже колеблются с одинаковыми частотами. Направление скоростей этих качелей тоже совпадает. Это означает, что колебания происходят в одинаковых фазах, т.е. совпадают по фазе.

Фаза — физическая величина. Её используют для описания колебания тела.
Исходя из выше сказанного следует, что характеристиками колебательного движения являются:

• амплитуда,
• частота (можно использовать период),
• фаза.

Урок физики по теме: «Период и частота гармонических колебаний»

Тип урока: изучение нового материала.

Форма организации урока: фронтальная, групповая и индивидуальная.

Методы: теоретический и экспериментальный.

Цели урока:

1. период и частота колебаний пружинного маятника зависят от массы груза и жёсткости пружины;
2. период и частота колебаний математического маятника зависят от длины нити и ускорения свободного падения;
3. период и частота колебаний маятников зависят только от параметров колебательной системы.

1. получение научного факта о зависимости периода и частоты колебаний от параметров колебательной системы;
2. распознавание параметров, от которых зависят период и частота колебаний маятников;
3. воспроизведение конкретных ситуаций, доказывающих, что период и частота колебаний зависят только от параметров колебательной системы.

1. практика (опыт) – источник знаний;
2. практика (опыт) – критерий истинности знаний;
3. законы физики являются отражением тех связей, которые существуют в природе.

Сценарий урока

Организационный момент:

Учитель: Добрый день. Сегодня ми продолжаем изучать тему “Механические колебания”. На прошлых уроках мы рассмотрели, какие процессы можно назвать колебательными. Какие движения называют механическими колебаниями и провели классификацию колебаний. Вспомните, какие основные виды механических колебаний нам известны?

Ученики: Свободные, вынужденные и автоколебания.

Учитель: Кроме того, на прошлых уроках мы, воспользовавшись законами механики Ньютона, получили уравнения движения груза, подвешенного на пружине и математического маятника. А так же выяснили, какие колебания называют гармоническими, затухающими и вынужденными.

Сегодня мы продолжим изучение механических колебаний. Но сначала вспомним, что мы уже узнали о механических колебаниях.

1. Актуализация знаний:

Проводится в виде взаимного опроса учащихся. При этом сначала задают вопросы ученики, сидящие на первом варианте своему соседу по парте, затем они меняются ролями. Таким образом, в опросе участвуют все учащиеся класса, и каждый из них проговаривает основные понятия. (Система проведения взаимного опроса отработана на предыдущих уроках и не нова для учащихся.)

Вопросы для взаимного опроса:

2. Какую физическую величину называют амплитудой колебаний?

3. Какую физическую величину называют частотой колебаний?

4. Под действием, каких сил происходят колебания в пружинном маятнике?

5. В каких точках траектории колеблющегося тела скорость равна нулю?

6. В каких точках траектории колеблющееся тело обладает только кинетической энергией?

7. Какие колебания называют свободными?

2. Какую физическую величину называют периодом колебаний?

3. Как связаны между собой период и частота колебаний?

4. Под действием, каких сил происходят колебания в математическом маятнике?

5. В каких точках траектории колеблющегося тела ускорение равно нулю?

6. В каких точках траектории колеблющееся тело обладает только потенциальной энергией?

7. Какие колебания называют вынужденными?

2. Организация деятельности учащихся:

а) Мотивация.

Учитель: Знаете ли вы, что в сентябре 1985 года в Мехико произошло землетрясение. Оно было чрезвычайно разрушительным. Как установили эксперты, возникшие во время землетрясения колебания, случайно совпали с собственными колебаниями почвы под многими, частями города, а так же с собственными колебаниями многих зданий. Чрезвычайная длительность землетрясения способствовала развитию резонансных явлений, которые и привели к разрушению зданий. Главной причиной разрушения в большинстве случаев была частота собственных колебаний зданий. Отсюда практический вывод: при строительстве в сейсмической зоне новых зданий следует неуклонно следить за тем, чтобы собственные колебания зданий не совпадали с собственными колебаниями грунта, — таким путём удастся значительно смягчить резонансный эффект. А для того, чтобы это уметь учитывать, нужно знать, от чего зависит частота и период колебаний. Давайте выясним эту зависимость. Запишем тему урока:

“Период и частота гармонических колебаний”.

б) Организация деятельности учащихся по созданию знания.

Учитель: Колебательное движение – движение периодическое, поэтому нужно получить формулу для вычисления периода колебаний. Цель сегодняшнего урока – выяснить от чего зависит период и частота колебаний пружинного и математического маятника. Рассмотрим пружинный маятник. Как вы думаете?

Ученик: Мне кажется, что период колебания пружинного маятника зависит от массы груза.

Учитель: Запишем эту гипотезу под № 1. Какие ещё будут предложения?

Ученик: А мне кажется, что период колебаний будет зависеть от того, какая пружина.

Учитель: Точнее от её жёсткости. Запишем эту гипотезу под № 2. Есть ещё предложения?

Ученик: А я думаю, что период будет зависеть от того, насколько пружина была растянута в начальный момент времени.

Учитель: Значит от амплитуды колебаний. Запишем эту гипотезу под № 3. Будут ли ещё предложения? Перейдём к грузу, подвешенному на нити. Как вы думаете, от чего зависит период колебаний этого маятника?

Таким же образом выдвигаются следующие три гипотезы: период колебаний математического маятника зависит от: — длины нити; — массы груза; — амплитуды колебаний.

Учитель: Итак, у нас есть шесть гипотез. Нам надо все их проверить. Для этого класс разделится на 4 исследовательские группы: две первые группы – это “Теоретики”, а две вторые группы – “Экспериментаторы”. Каждая группа разрабатывает только одну познавательную задачу. Давайте уясним, что нужно сделать каждой исследовательской группе.

Класс разбивается на группы учителем с учётом индивидуальных особенностей учащихся, в каждой группе выбирается капитан и докладчик. Каждой группе выдаётся карточка с письменным заданием.

Познавательная задача для “Теоретиков” — математически вывести зависимость собственной частоты колебаний груза и периода колебаний, опираясь на уравнения движения маятников, полученные на предыдущем уроке. Предметом деятельности для группы “Теоретиков” № 1 будет пружинный маятник, а для группы “Теоретиков” № 2 – математический.

Познавательная задача для “Экспериментаторов” — выяснить опытным путём, от каких параметров зависит собственная частота и период колебаний груза. Предметом деятельности для группы “Экспериментаторов” № 1 будет пружинный маятник, а для группы “Экспериментаторов” № 2 – математический.

“Теоретики” объединяются в два круга и выводят формулу сначала на листочке, а затем делают аккуратную запись последовательного вывода на кодоплёнке специальными маркерами. Готовят докладчика.

“Экспериментаторы” получают карточки, на которых сформулирована цель и предмет деятельности. От учащихся требуется выполнить самостоятельно следующую деятельность:

— подобрать средства; — составить программу деятельности; — получить конечный продукт.

После чего капитан разбивает на пары свою команду и каждая из них и исследует свои гипотезы на специально подготовленном лабораторном оборудовании.

Пример карточки-задания для каждой подгруппы “Экспериментаторов”. Правая часть заполняется учениками.

1. Предмет деятельности	Пружинный маятник
2. Познавательная задача	От каких параметров зависит период и частота колебаний пружинного маятника
3. Гипотеза № 1, (№ 2, № 3)	Период и частота колебаний пружинного маятника зависит от массы груза
4. Познавательная задача № 1	Зависит ли период и частота колебаний пружинного маятника от массы груза
5. Разработка идеи экспериментального решения познавательной задачи № 1:
а) Какое явление нужно воспроизвести?	Колебания груза на пружине
б) Какую величину нужно изменять?	Массу груза
в) Какие величины нужно измерять?	Число колебаний и время, за которое это число колебаний совершено
г) Какие величины должны быть постоянными?	Жёсткость пружины, амплитуда колебаний
6. Проектирование экспериментальной установки
7. Конструирование экспериментальной установки
8. Составление программы проведения экспериментов
9. Проведение эксперимента
10. Формулирование ответа на познавательную задачу № 1
11. Формулирование физического суждения о зависимости периода и частота колебания…

в) Обсуждение результатов.

Сначала выступает группа “Экспериментаторов” № 1, делая вывод на основе своих исследований. На доске появляется запись:

Период колебаний пружинного маятника.

1. Чем больше масса груза, тем больше период его колебаний: Т~m

2. Чем больше жёсткость пружины, тем меньше период колебаний: Т~

3. Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.

Затем проецируется кодоплёнка группы “Теоретиков” №1, которые делают теоретический вывод формулы колебаний пружинного маятника с пояснениями. На доске появляется запись:

Учитель: Давайте вспомним, как связаны между собой период и частота колебаний маятников?

Ученик: Частота – это величина обратная периоду колебаний:

На доске появляется запись:

Учитель: Мы установили экспериментально и получили теоретически зависимость периода и частоты колебаний от параметров самой колебательной системы. Подведём итог.

На доске появляется запись:

Вывод: Период и частота колебаний пружинного маятника зависит только от параметров колебательной системы: массы груза и жёсткости пружины.

После этого выступает группа “Экспериментаторов” № 2, делая вывод на основе своих исследований. На доске появляется запись:

Период колебаний математического маятника.

1. Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

2. Чем больше длина нити маятника, тем больше период колебаний: Т~ l

3. Период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.

Затем проецируется кодоплёнка группы “Теоретиков” №2, которые делают теоретический вывод формулы колебаний пружинного маятника с пояснениями. На доске появляется запись:

Вывод: Период и частота колебаний математического маятника зависит только от параметров колебательной системы: длины нити и ускорения свободного падения.

Учитель: Эта формула была впервые получена голландским учёным Х. Гюйгенсом, современником Ньютона. Зависимость периода колебаний от значения ускорения свободного падения используется на практике. Измеряя очень точно период колебания маятника, можно с большой точностью определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на заданной широте оно не везде одинаково. В районах, где залегают плотные породы, ускорение свободного падения несколько больше. Этим пользуются при разведке полезных ископаемых.

г) Домашнее задание.

Учитель: Сегодня нам не удалось практически проверить зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения. Но эту зависимость можно обнаружить, если подняться на вершину Останкинской телебашни. Попробуйте рассчитать период колебаний маятника дома, если высота Останкинской телебашни 500 м, а длина нити маятника 1м. Затем для того же маятника рассчитайте период колебаний у поверхности земли, где g=9,81м/с 2 . Сравните эти значения. Это будет вашим домашним заданием.

д) Формулирование физического суждения.

Учитель: Итак, рассмотрев обе колебательные системы, мы экспериментально доказали и получили теоретически две важные зависимости (обращается внимание на доску) и два важных вывода.

Посмотрев на них, мы можем сформулировать общий вывод. Каким он будет? Кто догадался?

На доске появляется запись:

Вывод: Период и частота колебаний любого маятника всегда зависит только от параметров колебательной системы.

3. Контрольный этап

Учитель: Теперь, изучив зависимости периодов и частоты колебаний маятников, вы легко решите следующие задачи-упражнения: (задачи-упражнения иллюстрируются на экране при помощи кодотранспаранта, или раздаются учащимся ксерокопии заданий по вариантам. ) Вам нужно выбрать № правильного ответа, записать его на листочке и сдать.

Задание 1 варианта: Выберите ситуации, в которых приведены правильные суждения:

1. Период колебания математического маятника увеличился при увеличении дины нити.	2. Период колебаний пружинного маятника уменьшился при увеличении массы груза.	3. Период колебания математического маятника уменьшился при увеличении дины нити.
4. Период колебания математического маятника увеличился при увеличении амплитуды колебаний.	5. Период колебаний пружинного маятника увеличился при увеличении жёсткости пружины.	6. Период колебаний пружинного маятника увеличился при увеличении массы груза.
7. Частота колебаний пружинного маятника увеличилась при увеличении массы груза.	8. Частота колебания математического маятника увеличилась при увеличении дины нити.	9. Частота колебания математического маятника уменьшилась при уменьшении ускорения свободного падения.

Задание 2 варианта: Выберите ситуации, в которых приведены правильные суждения:

1. Частота колебаний пружинного маятника увеличилась при уменьшении массы груза.	2. Частота колебания математического маятника увеличилась при уменьшении амплитуды колебаний.	3. Период колебания математического маятника уменьшился при увеличении массы груза.
4. Период колебания математического маятника увеличился при уменьшении ускорения свободного падения.	5. Период колебаний пружинного маятника уменьшился при увеличении жёсткости пружины.	6. Период колебаний пружинного маятника увеличился при увеличении массы груза.
7. Период колебания математического маятника увеличился при увеличении дины нити.	8. Частота колебания математического маятника увеличилась при уменьшении дины нити.	9. Период колебаний пружинного маятника уменьшился при увеличении массы груза.

Если остаётся время, полезно разобрать правильные ответы фронтально, после того как учащиеся сдали свои работы.

Литература, используемая при подготовке к уроку:

1. Г. Я. Мякишев, А. З. Синяков. Физика: Колебания и волны. 11 кл. : Учеб. для углублённого изучения физики. – М. : Дрофа, 2001.
2. Анофрикова С. В. , Стефанова Г. П. Практическая методика преподавания физики. Часть 1: Учебное пособие. – Астрахань: Изд-во Астраханского пед. ин-та, 1995.