Интегрирование некоторых дробей.
Методы и приёмы решения
На данном уроке мы научимся находить интегралы от некоторых видов дробей. Для успешного усвоения материала Вам должны быть хорошо понятны выкладки статей Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением:
- Метод искусственного преобразования числителя
- Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- Метод выделения полного квадрата в знаменателе
- Подведение числителя под знак дифференциала
Метод искусственного преобразования числителя
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы избавлялись от произведения функций в подынтегральном выражении, превращая её в сумму, удобную для интегрирования. Оказывается, что иногда в сумму (разность) можно превратить и дробь!
Анализируя подынтегральную функцию, мы замечаем, что и в числителе и в знаменателе у нас находятся многочлены первой степени: и .
Когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, то помогает следующий искусственный приём: в числителе мы должны самостоятельно организовать такое же выражение, что и в знаменателе:
Рассуждение может быть следующим: «В числителе мне надо организовать , но если я прибавлю к «иксу» тройку, то, для того, чтобы выражение не изменилось – я обязан эту же тройку и вычесть».
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
В результате мы добились, чего и хотели. Используем первые два правила интегрирования:
Готово. Проверку при желании выполните самостоятельно.
Обратите внимание, что во втором интеграле – это «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.
Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто. В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).
Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Начинаем подбирать числитель.
Алгоритм подбора числителя примерно такой:
1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : .
2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на :
3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же :
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать ?
4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге , а не . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :
5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:
. Вот теперь нормально: получено из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое , значит, я обязан прибавить к своему выражению :
Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.
Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.
Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.
Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.
Помимо алгоритма подбора можно использовать деление столбиком многочлена на многочлен, эта техника рассмотрена в статье Сложные пределы, а также на следующем уроке – Интегрирование дробно-рациональной функции.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения.
Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.
, , , (коэффициенты и не равны нулю).
На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:
Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде , потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .
Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:
Найти неопределенный интеграл:
Найти неопределенный интеграл:
Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.
Метод выделения полного квадрата
Интегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата, который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков.
На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:
Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .
Найти неопределенный интеграл
Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).
Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:
Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:
Теперь можно применить формулу :
После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.
Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:
Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь
Найти неопределенный интеграл:
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Найти неопределенный интеграл:
Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!
Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:
Тут получилась формула , применяем:
ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Найти неопределенный интеграл:
Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».
(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.
(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.
(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»
(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.
(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.
(6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.
(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:
Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.
Найти неопределенный интеграл:
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.
Подведение числителя под знак дифференциала
Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? 😉
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).
То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?
Найти неопределенный интеграл:
Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.
1) Когда дан интеграл вида или (коэффициенты , и не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.
2) Заключаем выражение, которое находится в знаменателе (неважно – под корнем или без корня) под знак дифференциала, в данном примере:
3) Раскрываем дифференциал:
Смотрим на числитель нашего интеграла:
Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, . В данном случае подходящим множителем является:
4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:
Снова смотрим на числитель нашего интеграла: .
Уже ближе, но у нас не то слагаемое:
5) К нашему дифференциалу :
– приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:
– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять) наше «не то» слагаемое:
– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:
– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:
6) Выполняем проверку:
У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.
Чистовое оформление решения выглядит примерно так:
(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.
(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать
(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.
(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе).
Остальное дело техники.
И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.
Найти неопределенный интеграл:
Найти неопределенный интеграл:
Для решения данных примеров будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в моей таблице:
Как видите, интегрирование дробей – дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать…
Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
Пример 7: Решение:
Пример 8: Решение:
Пример 10: Решение:
Пример 13: Решение:
Я проверил каждый пример, а Вы? 😉
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Что в математике обозначают квадратные скобки( [ . ] ) ?
Благодарю всех.
А в этом случае что может означать?
Лучший ответ
Квадратными скобками в математике могут обозначаться:
Операция взятия целой части числа.
Для задания приоритета операций (аналогично круглым) в качестве скобок «второго уровня» — так легче различать вложенность скобок, например: [(2+3)·4]².
Векторное произведение векторов: c=[a,b]=[a×b]=a × b.
Закрытые сегменты; запись [1;3] означает, что в множество включены числа 1 \leq x \leq 3. В этом случае не соблюдается правило парности скобок, например, закрытый слева и открытый справа сегмент может быть обозначен как [x,y[ или [x,y).
Коммутатор [A,B] \equiv [A,B]_- \equiv AB-BA\! и антикоммутатор [A,B]_+ \equiv AB+BA\,, хотя для последнего иногда используют фигурные скобки без нижнего индекса.
Одинарная квадратная скобка объединяет совокупность уравнений или неравенств (чтобы совокупность выполнялась, достаточно, чтобы выполнялось любое из уравнений) .
Нотация Айверсона
Остальные ответы
промежуток числовой прямой, в который входят крайние точки
например (3,5)-здесь точки 3 и 5 не входят в промежуток, а квадратные скобки включают
По мойму это как бы скобки в скобках! Большие скобки это квадтратные а «подскобки» это круглые.. . в 5 классе задолбали с этой темой!
Источник: мой мозгГ
Квадратными скобками в математике могут обозначаться:
Операция взятия целой части числа.
Для задания приоритета операций (аналогично круглым) в качестве скобок «второго уровня» — так легче различать вложенность скобок, например: [(2+3)·4]².
Векторное произведение векторов: c=[a,b]=[a×b]=a × b.
Закрытые сегменты; запись [1;3] означает, что в множество включены числа 1 \leq x \leq 3. В этом случае не соблюдается правило парности скобок, например, закрытый слева и открытый справа сегмент может быть обозначен как [x,y[ или [x,y).
Коммутатор [A,B] \equiv [A,B]_- \equiv AB-BA\! и антикоммутатор [A,B]_+ \equiv AB+BA\,, хотя для последнего иногда используют фигурные скобки без нижнего индекса.
Одинарная квадратная скобка объединяет совокупность уравнений или неравенств (чтобы совокупность выполнялась, достаточно, чтобы выполнялось любое из уравнений) .
Нотация Айверсона
.
КОРОЧЕ: сходи в wikipedia.org и БУДЕТ ТЕБЕ СЧАСТЬЕ. тупо задавать вопросы. удел игрока. .
P.S. Далее пошло из серии МАССИВОВ 🙂
да в школе спишиш
Квадратными скобками в математике могут обозначаться:
Операция взятия целой части числа.
Для задания приоритета операций (аналогично круглым) в качестве скобок «второго уровня» — так легче различать вложенность скобок, например: [(2+3)·4]².
Векторное произведение векторов: c=[a,b]=[a×b]=a × b.
Закрытые сегменты; запись [1;3] означает, что в множество включены числа 1 \leq x \leq 3. В этом случае не соблюдается правило парности скобок, например, закрытый слева и открытый справа сегмент может быть обозначен как [x,y[ или [x,y).
Коммутатор [A,B] \equiv [A,B]_- \equiv AB-BA\! и антикоммутатор [A,B]_+ \equiv AB+BA\,, хотя для последнего иногда используют фигурные скобки без нижнего индекса.
Одинарная квадратная скобка объединяет совокупность уравнений или неравенств (чтобы совокупность выполнялась, достаточно, чтобы выполнялось любое из уравнений) .
Нотация Айверсона
Квадратными скобками в математике могут обозначаться:
Операция взятия целой части числа.
Для задания приоритета операций (аналогично круглым) в качестве скобок «второго уровня» — так легче различать вложенность скобок, например: [(2+3)·4]².
Векторное произведение векторов: c=[a,b]=[a×b]=a × b.
Закрытые сегменты; запись [1;3] означает, что в множество включены числа 1 \leq x \leq 3. В этом случае не соблюдается правило парности скобок, например, закрытый слева и открытый справа сегмент может быть обозначен как [x,y[ или [x,y).
Коммутатор [A,B] \equiv [A,B]_- \equiv AB-BA\! и антикоммутатор [A,B]_+ \equiv AB+BA\,, хотя для последнего иногда используют фигурные скобки без нижнего индекса.
Одинарная квадратная скобка объединяет совокупность уравнений или неравенств (чтобы совокупность выполнялась, достаточно, чтобы выполнялось любое из уравнений) .
Нотация Айверсона
Сложные интегралы
Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры.
Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.
Какие интегралы будут рассмотрены?
Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше.
Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.
Третьим номером программы пойдут интегралы от сложных дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.
В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.
И в заключение рассмотрим интеграл от корня из дроби, в числителе и знаменателе которой находятся линейные функции.
Конечно, название урока не совсем точно, будут и не сказать, что сильно сложные интегралы. Тем не менее, крепких орешков предостаточно. Запланировано довольно много примеров, поэтому поехали.
Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
Найти неопределенный интеграл
Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций. Проведем замену:
После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь:
Осталось выяснить, во что превратится . Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:
И само собой раскрываем дифференциалы:
На чистовике решение кратко записывается примерно так:
В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям:
(1) Выносим за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.
(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.
(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала.
(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .
(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:
Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)
Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.
На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, понятно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде .
Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.
Методом сведения интеграла к самому себе
Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:
Найти неопределенный интеграл
Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.
Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой и начнем решение:
Интегрируем по частям:
(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.
(2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее:
(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).
Теперь смотрим на самое начало решения: 
И на концовку: 
Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!
Приравниваем начало и конец:
Переносим в левую часть со сменой знака:
А двойку сносим в правую часть. В результате:
Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:
Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:
Таким образом:
Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы.
В результате:
Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.
Найти неопределенный интеграл
Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!
Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.
Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – предварительно выделить полный квадрат:
.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда?
Или такой пример, с квадратным двучленом:
Выделяем полный квадрат:
И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.
Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.
В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:
Найти неопределенный интеграл
Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:
В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:
Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:
Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.
Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:
За мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за ? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за , можно было пойти другим путём:
Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).
То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.
И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием!
Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.
На завершающем этапе часто получается примерно следующее:
Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:
Интегрирование сложных дробей
Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.
Продолжаем тему корней
Найти неопределенный интеграл
В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.
Замена тут проста:
Смотрим на жизнь после замены:
(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим из-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей, решается методом выделения полного квадрата. Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:
Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены:
Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций.
Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени
(многочлен в знаменателе)
Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.
Найти неопределенный интеграл
В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваю, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:
– и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.
Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.
Решение начинается с искусственного преобразования:
Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.
Полученный интеграл берётся по частям:
Для интеграла вида ( – натуральное число) выведена рекуррентная формула понижения степени:
, где – интеграл степенью ниже.
Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла .
В данном случае: , , используем формулу:
Как видите, ответы совпадают.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.
Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:
Далее следует «безболезненная» линейная замена и получается знакомый интеграл .
Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу, поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции, пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.
Интегрирование сложных тригонометрических функций
Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.
На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. На уроке Как вычислить площадь фигуры? в примере 10 фигурировал тангенс в кубе. В том примере для нахождения интеграла от тангенса в кубе мы применяли тригонометрическую формулу . Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!
Найти неопределенный интеграл
Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:
(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
(2) Для одного из множителей используем формулу
(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала. Во втором интеграле еще раз используем формулу , в данном случае .
(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. Для котангенса существует аналогичная формула: . Полное решение и ответ в конце урока.
Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций.
На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!
Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:
Найти неопределенный интеграл
Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:
(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла .
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на .
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.
Пара простых примеров для самостоятельного решения:
Найти неопределенный интеграл
Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.
Найти неопределенный интеграл
Ну, это совсем простой пример.
Полные решения и ответы в конце урока.
Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.
В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.
Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.
Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:
Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, например:
для интеграла – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.
! Примечание: если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах № 17, 18).
Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:
Найти неопределенный интеграл
Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:
(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем .
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу .
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.
Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)
Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:
Найти неопределенный интеграл
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока
У многих читателей могло сложиться впечатления, что я немного подустал. Отнюдь. За окном февральский ветер – самая атмосфера для лекций. Естественно, данная страничка создана не за один день, я успел несколько раз побриться, регулярно кушаю и так далее. К тому же, загружать студентов – удовольствие бесконечное =). …Шутка! На самом деле моя миссия – разгружать посетителей сайта. Вагонами.
Переходим к заключительному пункту познавательного путешествия в мир сложных интегралов:
Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.
В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.
Метод стар – нужно избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить громоздкую замену.
Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, очевидна:
, при этом , т. к. корень чётный.
Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал .
Теперь найдем дифференциал:
Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида !
Формулы замены таковы:
Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети – оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет.
Опять – двадцать пять, заключительный пример:
Найти неопределенный интеграл
В данном примере:
Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно:
Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!
Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал .
Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Проведем замену:
Интегрируем по частям:
Пример 3: Ответ:
Пример 4: Ответ:
Пример 6: Решение:
Интегрируем по частям:
Таким образом:
В результате:
Пример 8: Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:
Таким образом:
Пример 10: Решение:
Проведем замену:
Пример 11: Решение:
Замена:
Пример 12: Решение:
Замена:
Пример 14: Решение:
Дважды используем рекуррентную формулу
Пример 16: Решение:
Пример 18: Решение:
Используем формулу приведения: и формулу двойного угла: .
Пример 19: Решение:
Пример 21: Решение:
–3 – 3 = –6 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число
Пример 23: Решение:
Пример 24: Решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Что значат квадратные скобки в интеграле
Нет событий, понедельник 1 января 1
Нет событий, понедельник 1 января 1
Нет событий, вторник 2 января 2
Нет событий, вторник 2 января 2
Нет событий, среда 3 января 3
Нет событий, среда 3 января 3
Нет событий, четверг 4 января 4
Нет событий, четверг 4 января 4
Нет событий, пятница 5 января 5
Нет событий, пятница 5 января 5
Нет событий, суббота 6 января 6
Нет событий, суббота 6 января 6
Нет событий, воскресенье 7 января 7
Нет событий, воскресенье 7 января 7
Нет событий, понедельник 8 января 8
Нет событий, понедельник 8 января 8
Нет событий, вторник 9 января 9
Нет событий, вторник 9 января 9
Нет событий, среда 10 января 10
Нет событий, среда 10 января 10
Нет событий, четверг 11 января 11
Нет событий, четверг 11 января 11
Нет событий, пятница 12 января 12
Нет событий, пятница 12 января 12
Нет событий, суббота 13 января 13
Нет событий, суббота 13 января 13
Нет событий, воскресенье 14 января 14
Нет событий, воскресенье 14 января 14
Нет событий, понедельник 15 января 15
Нет событий, понедельник 15 января 15
Нет событий, вторник 16 января 16
Нет событий, вторник 16 января 16
Нет событий, среда 17 января 17
Нет событий, среда 17 января 17
Нет событий, четверг 18 января 18
Нет событий, четверг 18 января 18
Нет событий, пятница 19 января 19
Нет событий, пятница 19 января 19
Нет событий, суббота 20 января 20
Нет событий, суббота 20 января 20
Нет событий, воскресенье 21 января 21
Нет событий, воскресенье 21 января 21
Нет событий, понедельник 22 января 22
Нет событий, понедельник 22 января 22
Нет событий, вторник 23 января 23
Нет событий, вторник 23 января 23
Нет событий, среда 24 января 24
Нет событий, среда 24 января 24
Нет событий, четверг 25 января 25
Нет событий, четверг 25 января 25
Нет событий, пятница 26 января 26
Нет событий, пятница 26 января 26
Нет событий, суббота 27 января 27
Нет событий, суббота 27 января 27
Нет событий, воскресенье 28 января 28
Нет событий, воскресенье 28 января 28
Нет событий, понедельник 29 января 29
Нет событий, понедельник 29 января 29
Нет событий, вторник 30 января 30
Нет событий, вторник 30 января 30
Нет событий, среда 31 января 31
Нет событий, среда 31 января 31