Теорема косинусов (ЕГЭ 2022)
Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника. Она однажды тебя спасёт!
Дальше смотри рисунки и ты все поймешь. Один рисунок лучше тысячи слов ��
Разберёшься в ней – будь уверен, что любая задача с треугольником окажется тебе под силу!
Теорема косинусов — коротко о главном
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
\( \displaystyle ^>=<^>+^>-2ab\cos \gamma \)
Почему теорема косинусов это… теорема Пифагора
И причем тут теорема Пифагора? Сейчас поясню.
Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.
\( \displaystyle ^>=<^>+^>\)
А что будет, если угол \( \displaystyle \angle C\), скажем, острый?
Вроде ясно, что величина \( \displaystyle ^>\) должна быть меньше, чем \( \displaystyle <^>+^>\). Но вот на сколько меньше?
А если угол \( \displaystyle \angle C\) – тупой?
Ну, тогда величина \( \displaystyle ^>\) больше, чем \( \displaystyle <^>+^>\)?
Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной \( \displaystyle \angle C\)?
Обрати внимание на вот эту добавку к теорему Пифагора: \( \displaystyle «-2ab\cos \gamma »\).
Вот она и «адаптирует» теорему Пифагора под острые и тупые углы треугольника. Сейчас мы докажем теорему косинусов и ты увидишь в теореме косинусов теорему Пифагора своими глазами.
Доказательство теоремы косинусов
Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.
Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
\( \displaystyle ^>=<^>+^>-2ab\cos \gamma \)
Рассмотрим три случая:
- угол С острый,
- угол С тупой,
- угол С прямой.
И убедимся, что для всех трех случаев теорема косинусов работает!
Угол С острый
\( \displaystyle \angle C^>\)
Проведем высоту \( \displaystyle AH\) из точки \( \displaystyle A\) и рассмотрим треугольник \( \displaystyle AHB\).
Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:
Что такое \( \displaystyle AH\) и \( \displaystyle HB\) ?
\( \displaystyle AH\) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) \( \displaystyle AHC\).
\( \displaystyle AH=b\sin \gamma \)
А вот \( \displaystyle BH=a-CH=a-b\cos \gamma \) (снова из \( \displaystyle \Delta AHC\) ).
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Регистрация
Угол С тупой
\( \displaystyle \angle C>^>\)
Начинаем точно также: опускаем высоту из точки \( \displaystyle A\).
А теперь, внимание, отличие!
\( \displaystyle AH=b\sin \left( ^>-\gamma \right)\) — это из \( \displaystyle \Delta AHC\) , который теперь оказался снаружи \( \displaystyle \Delta ABC\), а
\( \displaystyle BH=a+b\cos \left( ^>-\gamma \right)\).
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Регистрация
Угол С прямой
Но тогда \( \displaystyle \cos \gamma =0\) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:
В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?
Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.
Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле:
И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.
Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.
И приходи к нам на бесплатные вебинары и занятия ( о них ниже).
Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов
Теорема косинусов (и синусов) — универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов.
А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.
Этот вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике (о нем ниже). Вы выучите сами теоремы и научитесь применять их при решении задач первой части.
Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $\alpha$, противолежащим стороне $a$, справедливо соотношение:
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» древнегреческого математика Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог, астроном и математик Региомонтан (1436 — 1476), назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени выдающегося средневекового астронома и математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 — 929).
В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Следствие из теоремы косинусов
- Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1): $$\cos \alpha=\frac+c^-a^>$$
- Если $b^+c^-a^>0$, то угол $\alpha$ — острый; Если $b^+c^-a^=0$, то угол $\alpha$ — прямой; Если $b^+c^-a^ \lt 0$, то угол $\alpha$ — тупой.
Примеры решения задач
Задание. В треугольнике $ABC AC=3, BC=5$ и $AB = 6 .$ Найти угол, противолежащий стороне $AB$
Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:
$$\angle A C B=\arccos \left(-\frac\right)$$
Ответ. $\angle A C B=\arccos \left(-\frac\right)$
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Задан треугольник $ABC$, длины сторон которого $AC=17, BC=14, \angle ACB=60^$. Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.
Решение. Согласно теореме косинусов
$$A B^=A C^+B C^-2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos \angle A C B=$$
$$=17^+14^-2 \cdot 17 \cdot 14 \cdot \cos 60^=289+196-238=24$$
Ответ. $A B=\sqrt$
стороны треугольника 5м, 6м, 7м, Найти косинусы углов треугольника. помогите плиз! нужно решение ответы есть!
Это теорема косинусов. Если известны все стороны (как в этой задачке) , то все косинусы находятся из соотношения c² = a² + b² -2abcos (угол между b, c). Ну и просто по очереди все стороны сюда поподставлять.
Остальные ответы
c2 = a2 + b2 – 2abcosC
cosC=(a2 + b2-c) /2ab
и так далее
VladУченик (178) 16 лет назад
ой сорри очепятка там с2 во второй формуле
cosC=(a2 + b2-c2) /2ab
a^2 = b^2 + c^2 — 2 bc cos A
cos A = ( b^2 + c^2 — a^2 ) / ( 2 bc )
Опускаем высоту на сторону, длиной 7м. Получаем два прямоугольных треугольника. С общей высотой. Сторона в 7м разбивается на два отрезка. Длина одного Х, другого (7-Х) . Используешь теорему Пифагора для обоих прямоугольных треугольников, выражая высоту в квадрате через разность гипотенузы в квадрате и катета в квадрате. Эти выражения приравниваем между собой, там Х в квадрате взаимно уничтожается и получается красивый ответ. Х=19/7
Тогда отношение Х/5 — есть cos одного из углов, отношение (7-Х) /6 — косинус второго, а третий можно найти как разность 180- arccos первого угла — арккосинус второго, тогда его косинус тоже можно найти. Нужно ли подробное решение?
Ну вот, зря старался. Я думал, что теоремой косинусов пользоваться нельзя, а нужно самому выводить формулы. В противном случае — это задача для детей.
Теорема косинусов
Теоре́ма ко́синусов, теорема геометрии , утверждающая, что в любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A . a^2=b^2+c^2-2bc\cos. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A . Здесь a , b , c a, b, c a , b , c – стороны треугольника, A A A – угол между сторонами b b b и c c c (рис.).
Теорема косинусов позволяет по заданным трём сторонам a , b , c a, b, c a , b , c треугольника найти косинус любого из трёх углов A A A , B B B , C C C : cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c , cos B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c , cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . \cos=\frac, \quad \cos=\frac, \quad \cos=\frac. cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 , cos B = 2 a c a 2 + c 2 − b 2 , cos C = 2 ab a 2 + b 2 − c 2 . Теорема Пифагора является следствием теоремы косинусов для прямого угла A A A : A = π 2 ⟹ a 2 = b 2 + c 2 . A=\frac<\pi>\implies\ a^2=b^2+c^2. A = 2 π ⟹ a 2 = b 2 + c 2 .
Опубликовано 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Последнее обновление 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Связаться с редакцией
Информация
Области знаний: Тригонометрия
- Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
ISSN: 2949-2076 - Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
Главный редактор: Кравец С. Л.
Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
- © АНО БРЭ, 2022 — 2023. Все права защищены.
- Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей. - Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.