Теория: 04 Максимум и минимум (тригонометрические функции)
Поскольку значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=\frac>\) и тригонометрическую окружность.
Так как \(\displaystyle \sin \frac<\pi>=\frac<\sqrt>\) то зеленый угол равен \(\displaystyle \frac<\pi>\) а красный по симметричности будет равен \(\displaystyle \pi-\frac<\pi>\text\frac<2\pi>\)
Получаем два набора решений:
 |
 |
| \(\displaystyle x_1=\frac<\pi>+2\pi n\,\, n \in \mathbb\) | \(\displaystyle x_2=\frac<2\pi>+2\pi m\,\, m \in \mathbb\) |
3) Из множества корней выберем те, которые принадлежат отрезку \(\displaystyle \left[0;\frac<\pi >\right]\)
\(\displaystyle x=\frac<\pi>\) корень уравнения \(\displaystyle -12\sin x+6\sqrt=0\) лежащий на отрезке \(\displaystyle \text <\Large [>0;\frac<\pi > \text<\Large ]>\)
Построим тригонометрическую окружность. На ней отметим точку, соответствующую решениям \(\displaystyle x_1=\frac<\pi>+2\pi n\,\, n \in \mathbb\) и точку, соответствующую решениям\(\displaystyle x_2=\frac<2\pi>+2\pi m\,\, m \in \mathbb\)
Отметим на единичной окружности отрезок \(\displaystyle \left[ 0;\frac<\pi > \right]\) получаем:
Значит, на отрезке \(\displaystyle \left[ 0;\frac<\pi > \right]\) лежит один корень \(\displaystyle x=\frac<\pi>\)
4) Отметим на числовой прямой корни производной \(\displaystyle x_1=\frac<\pi>+2\pi n\,\, n \in \mathbb\) и \(\displaystyle x_2=\frac<2\pi>+2\pi m\,\, m \in \mathbb.\)
Так как требуется найти наибольшее значение функции на отрезке \(\displaystyle \left[ 0;\frac<\pi > \right]\) то получаем:
Найдем знаки производной на интервалах \(\displaystyle \left(-\frac<4\pi>;\,\frac<\pi>\right)\) и \(\displaystyle \left(\frac<\pi>;\, \frac<2\pi>\right).\)
- на интервале \(\displaystyle \color<\left(-\frac<4\pi>;\,\frac<\pi>\right)>\) функция \(\displaystyle f^<\prime>(x)>0\)
- на интервале \(\displaystyle \color<\left(\frac<\pi>;\, \frac<2\pi>\right)>\) функция \(\displaystyle f^<\prime>(x)
Определим знак функции \(\displaystyle f^<\prime>(x)=-12\sin x+6\sqrt\) на каждом из интервалов:
Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции. Получаем:
\(\displaystyle f^<\prime>\left(\color<\frac<\pi>>\right)=-12\sin \frac<\pi>+6\sqrt=-12+6\sqrt=6(\sqrt-2)\color0\)
- на интервале \(\displaystyle \color<\left(-\frac<4\pi>;\,\frac<\pi>\right)>\) функция \(\displaystyle f^<\prime>(x)>0\)
- на интервале \(\displaystyle \color<\left(\frac<\pi>;\, \frac<2\pi>\right)>\) функция \(\displaystyle f^<\prime>(x)\)
Отмечая знаки производной на картинке, получаем:
Значит, на интервале \(\displaystyle <\left(0;\,\frac<\pi>\right)>\) производная положительна, на интервале \(\displaystyle <\left(\frac<\pi>;\, \frac<\pi>\right)>\) производная отрицательна:
5) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=12\cos x+6\sqrt x-2\sqrt\pi +6\) пользуясь правилом.
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b)\)
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b)\)
Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x)\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x)\)
6) Схематично изобразим график \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle \left[ 0;\frac<\pi > \right]\)
Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[ 0;\frac<\pi > \right]\) функция возрастает до точки \(\displaystyle x=\frac<\pi>\) а затем убывает.
Значит, наибольшее значение на отрезке \(\displaystyle \left[0;\,\frac<\pi>\right]\) достигается в точке \(\displaystyle x=\frac<\pi>\) Вычислим его:
Ответ: \(\displaystyle 12\)
Найдите наименьшее значение функции y=5cosx–6x+4 на отрезке [–3П/2;0]
Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрической функции на заданном отрезке. Рассмотрим несколько примеров. Но сначала советую повторить теорию, всё необходимое есть в статье « Исследование функций, это нужно знать! ».
На блоге уже рассмотрены подобные задачи с логарифмической функцией , функции с числом е , а также функции в составе которых имеется квадратичная функция (решаются без нахождения производной). Можете ознакомиться со статьёй , в которой мы рассматривали нахождение точек максимума (минимума) тригонометрических функций.
Алгоритм процесса решения прост, кратко напомню:
1. Находим производную.
2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение (находим вероятные точки экстремумов).
3. Далее вычисляем значения данной функции на границах отрезка, также в найденных точках п.2.
4. Определяем наибольшее (наименьшее), в зависимости от поставленного вопроса.
Здесь стоит отметить, что если уравнение п.2 не имеет решения, то это означает, что функция на всём отрезке возрастает (рис.1) или убывает (рис.2):
Что это означает?
Это значит то, что точек минимума (максимума) нет и нам необходимо определить знак производной.
— Если производная имеет отрицательное значение, то функция убывает.
— Если производная имеет положительное значение, то функция возрастает.
Далее мы уже без труда сможем выявить в какой (пограничной) точке отрезка значение функции наибольшее, а в какой наименьшее.
— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка;
— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;
— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;
— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка.
В представленных ниже задачах нахождение производной подробно не расписано, производные элементарных функций вы должны знать на отлично.
Что ещё следует помнить?
1. Когда речь идёт о синусе и косинусе имеются ограничения:
– 1 ≤ sin x ≤ 1 и – 1 ≤ cos x ≤ 1
2. В ответе должно получится целое число, либо конечная десятичная дробь. Если получили числовое выражение с неизвлекаемым корнем, то оно ответом являться не будет.
25594. Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4
на отрезке [–3П/2; 0].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Известно, что – 1 ≤ sin x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.
Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная будет отрицательна при всех значениях переменной. Почему?
Если учесть, что – 1≤sinx≤ 1, то получаем
– 1≤sinx≤1 => 5 ≥ –5sinx≥ –5 => –1 ≥ –5sinx–6 ≥ –11
то есть значение выражения (производной) «–5cosx – 6» лежит в пределах от – 11 до – 1 включительно.
Следовательно на указанном интервале функция убывает, и наименьшее значение будет в крайней правой точке, то есть при х = 0. Таким образом,
26697. Найдите наименьшее значение функции y = 7sin x – 8x + 9
на отрезке [–3П/2; 0].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Известно, что – 1 ≤ cos x ≤ 1, то есть уравнение не имеет решения.
Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная отрицательна при всех значениях переменной, значение производной лежит в пределах от – 15 до – 1 включительно.
Значит на указанном интервале функция убывает.
Следовательно наименьшее значение функции на заданном отрезке будет в правой крайней точке, то есть при х = 0.
77498. Найдите наибольшее значение функции
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Точка x = П/6, принадлежит заданному интервалу.
Вычислим значение функции в точках: 0, П/6, П/2.
Если учесть, что число Пи равно 3,14 а корень из трёх ≈ 1,73 то значения вычислить будет не трудно:
Значит наибольшим значением функции на отрезке будет 12. Данные приближённые значения можно и не вычислять. Достаточно помнить то, что ответом в задачах части В является целое число, а там где присутствует неизвлекаемый в целых числах корень, целое число мы никак не получим.
*Примечание. Корень уравнения мы записали сразу с учётом данного в условии отрезка, поэтому период косинуса в результате не записан.
26699. Найдите наибольшее значение функции
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Значит уравнение не имеет решения, так как – 1 ≤ cos x ≤ 1.
Учитывая данное ограничение, производная на данном отрезке имеет отрицательное значение:
Следовательно она убывает.
Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке будет в левой крайней точке, то есть при х = – 5П/6.
26692. Найдите наибольшее значение функции
26693. Найдите наименьшее значение функции
26695. Найдите наибольшее значение функции
26696. Найдите наименьшее значение функции
77499. Найдите наименьшее значение функции
*Примечание. Безусловно, можно после вычисления нулей функции, определить точки максимума (минимума) и далее исходя из этого вычислять наибольшее (наименьшее) значение. Но можно обойтись без этого, так как при подстановке нулей и границ отрезка мы однозначно, и наверняка, искомое значение найдём. В любом случае, используйте тот путь (способ), к которому вы привыкли.
В будущем рассмотрим ещё несколько заданий с тригонометрическими функциями, не пропустите!
На этом всё! Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
тригонометрия — Найти наибольшее и наименьшее значение тригонометрической функции
Ясно, что функция непрерывна, ограничена и периодична. Поэтому наибольшее и наименьшее значение достигаются в каких-то точках. При этом частная производная по $%y$% обращается в ноль: $%-6\sin x\sin y+2\sin x\cos y=0$%. При $%\sin x=0$% функция равна $%3\cos x$%, то есть наибольшее и наименьшее значение равно $%\pm3$%.
Если $%\sin x\ne0$%, то $%\cos y=3\sin y$%, откуда $%\sin y=\pm\frac1>$% и $%\cos y=\pm\frac3>$% с согласованным выбором знаков. После подстановки получается $%f(x,y)=\pm2\sqrt\sin x+3\cos x$%. Такая функция принимает значения от -7 до 7, где 7 получается как корень из суммы квадратов коэффициентов. Эти значения достигаются, и они будут искомыми.
отвечен 15 Июн ’14 3:12
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Тут на самом деле есть ещё более простое решение, не использующее производной. Я вчера это заметил, но написать уже не успел. Сначала представляем функцию как $%A\sin x+B\cos x$%, где $%A$% зависит от $%y$%, и рассматриваем сумму квадратов. Получается, что $%A=6\cos y+2\sin y$% меняется в пределах $%\pm\sqrt$%, то есть $%A^2$% доходит до $%40$%, и $%\sqrt$% — до семи.
(15 Июн ’14 17:04) falcao
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
15 Июн ’14 2:59
показан
7131 раз
обновлен
15 Июн ’14 17:04
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции
в ограниченной замкнутой области?
Близится к завершению изучение функций нескольких переменных, и сегодня мы рассмотрим ещё одну распространённую задачу, развёрнутую формулировку которой вы видите в заголовке статьи. Как многие догадываются, это пространственный аналог задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, и для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:
Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой). На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д., но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.
Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными); реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».
Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:
Эту же область можно задать и линейными неравенствами: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой.
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие.
А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность, и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса, непрерывная в ограниченной замкнутой области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках, принадлежащих области D, либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области
Решение: прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:
Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:
I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных:
Найденная стационарная точка принадлежит области: (отмечаем её на чертеже), а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:
– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.
Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума. Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах).
Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.
II) Исследуем границу области.
Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:
1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:
Как вариант, можно оформить и так:
Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится:
– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже) функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:
Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках (отмечаем на чертеже):
Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :
2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:
Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.
Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:
– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :
Исследуем второй конец отрезка :
Используя функцию , выполним контрольную проверку:
3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:
Концы отрезка уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.
Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :
– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:
Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :
Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
, порядок.
И заключительный шаг: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:
из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:
На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .
В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка.
Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной :))
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .
Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.
Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:
– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.
– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них, которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!
– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще). Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!
– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что
Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .
Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде:
Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на самом первом уроке по теме ФНП, и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас 😉
Решение, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:
Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….
I) Найдём стационарные точки:
Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.
А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)
II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:
Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:
Вычислим значения функции на концах отрезка:
2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :
Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:
Решаем квадратное уравнение, помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:
Вычислим значения функции в найденных точках:
Проверку по функции проведите самостоятельно.
Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ:
Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!
Для самостоятельного решения:
Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области
Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».
Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа, но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!
Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: изобразим область на чертеже:
I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:
II) Исследуем границу области
1) Подставим в функцию:
Вычислим значение функции в точке :
Вычислим значение функции на другом конце отрезка:
2) Подставим в функцию :
Контроль:
Вычислим значение функции в точке :
Вычислим значение функции на конце отрезка:
3) Подставим в функцию :
Контроль:
Вычислим значение функции в точке :
Пример 3: Решение: изобразим область на чертеже:
I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:
II) Исследуем границу области
1) Если , то
– точка уже исследована.
Вычислим значение функции на другом конце отрезка:
2) Если , то
Вычислим значение функции в точке :
Вычислим значения функции на концах отрезка:
3) Если , то
– точка уже исследована.
Другой конец отрезка также исследован.
4) Если , то
Концы отрезка уже исследованы.
Пример 5: Решение: изобразим область на чертеже:
I) Найдём стационарные точки:
, следовательно, , – любое.
Таким образом, все точки оси – стационарные. Но область ограничена, и поэтому рассматриваем лишь точки из промежутка .
II) Исследуем границу области. Подставим в функцию (таким образом, учитываются сразу обе полуокружности ):
Найдём критические точки:
Если , то
Если , то
Вычислим значения функции в точках :
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено