Как зависит мощность от сопротивления

Зависимость мощности от сопротивления

electrodrone

Просмотр профиля

26.4.2014, 23:15

Группа: Пользователи
Сообщений: 7
Регистрация: 31.3.2014
Пользователь №: 38860

Есть утверждение: «Чем больше сопротивление, тем меньший ток идет по потребителю и меньше его мощность (40Ваттные лампочки имеют большее сопротивление, чем 100Ваттные).»
Есть также задачка: «Каким сопротивлением обладает лампа мощностью 40 Вт, работающая под напряжением 220 В? Ответ: R=1210 Ом»
Эти утверждение и задачка основываются на формуле обратной зависимости мощности от сопротивления, выводимой из закона Ома:

P=UI=U*2/R (чем больше сопротивление, тем меньше мощность)

Но можно также из закона Ома вывести формулу прямой зависимости мощности от сопротивления:

P=UI=I*2xR (чем больше сопротивление, тем больше мощность)

Получаются две противоречащие друг другу формулы из закона Ома?!

Сообщение отредактировал electrodrone — 26.4.2014, 23:19

Как мощность зависит от сопротивления?

Просто есть несколько формул мощности:
P=I^2*R
P=U^2/R
В первом случае мощность и сопротивления зависят друг от друга прямо пропорционально, а во втором обратно пропорционально. Может я что- то недопонимаю? Как правильно?

Лучший ответ

P=UI только от этих двух величин ЗАВИСИТ мощность
I обратно пропорционально зависит от сопротивления, напряжение от него не зависит, следовательно мощность зависит обратно пропорционально от сопротивления

Остальные ответы

P=UI=U*2/R (чем больше сопротивление, тем меньше мощность)

Но можно также из закона Ома вывести формулу прямой зависимости мощности от сопротивления:

P=UI=I*2xR (чем больше сопротивление, тем больше мощность)

Получаются две противоречащие друг другу формулы из закона Ома?!

Мощность, выделяемая во внешней цепи с потребителями

Решение задач на экстремум с компьютерной поддержкой

Предлагаемые задачи рассматриваются с учениками 10-х и 11-х классов на заседании школьного физического кружка. Они требуют знаний по теме «Законы постоянного тока», умения исследовать функции на экстремум при помощи производной, а также навыков программирования на компьютере.

ЗАДАЧА 1. Найдите зависимость мощности, выделяемой во внешней цепи, от числа одинаковых потребителей (лампочек), соединённых параллельно. ЭДС источника , его внутреннее сопротивление r.

Пусть сопротивления всех лампочек одинаковы R₁ = R₂ = . = R_n, P – мощность, выделяемая во внешней цепи, P₁ – мощность, выделяемая на каждой лампочке. Очевидно, что P = nP₁; P₁ = I₁ 2 R₁, где I₁ – ток, проходящий через каждую лампочку.

Сила тока в неразветвлённой цепи:

Применяя первое правило Кирхгофа, имеем

С учётом (2) имеем для мощности

Полная мощность, выделяемая во внешней цепи:

Нетрудно заметить , что если n , то P 0. Это означает, что при неограниченном увеличении количества лампочек мы не достигнем бесконечного увеличения мощности, выделяемой во внешней цепи. Напротив, мощность будет стремиться к нулю.

Из формулы (3) следует также, что если r 0, то P n 2 /R. То есть, если источник тока идеален (r = 0), то мощность возрастает прямо пропорционально числу потребителей в цепи. Но внутреннее сопротивление источника тока не может быть равно нулю, поэтому достигнуть бесконечного увеличения мощности во внешней цепи за счёт увеличения числа потребителей невозможно. Напротив, достигнув максимума, мощность, выделяемая во внешней цепи, начнёт уменьшаться с ростом потребителей.

Для получения полной картины зависимости мощности Р от количества потребителей n, можно предложить учащимся построить график зависимости P(n) на компьютере ( = 20 В, r = 0,5 Ом, R₁ = 100 Ом). В рубрике «Дополнительные материалы» на сайте газеты http://fiz.1september.ru приводим авторскую компьютерную программу WATT для построения вышеупомянутой зависимости (среда программирования QBasic, компьютер Celeron1300).

Изменяя внутреннее сопротивление r при неизменных и R₁, делаем вывод: мощность P, выделяемая во внешней цепи, убывает с ростом r. Изменяя R₁ при неизменных и r, делаем вывод: от сопротивления одной лампочки максимум мощности P не зависит. Этот максимум сдвигается вправо при увеличении R₁ и сдвигается влево при уменьшении R₁. Число ламп в цепи, при котором наблюдается максимум мощности, равно n_max = R₁/r. То есть мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна, если внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению цепи: r = R₁/ n_max. Расчётные результаты отлично согласуются с результатами следующей, похожей, задачи.

ЗАДАЧА 2. При каком значении R мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна? ЭДС источника тока , внутреннее сопротивление r.

Получим формулу зависимости мощности P, выделяемой во внешней цепи, от внешнего сопротивления R и исследуем функцию P(r) на экстремум при помощи производной.

По закону Ома для полной цепи, ток I =/(R + r), мощность, выделяемая во внешней цепи:

Найдём критические точки из условия P’ = 0:

Имеем две критические точки R = –r и R = r . Но т.к. R > 0, то R = –r не имеет смысла. Производная P’ меняет знак с «+» на «–» в точке R = r, следовательно, R = r – точка минимума.

Итак, мощность максимальна, если R = r, т.е. внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению. Это означает, что применительно к задаче 1 максимум мощности наблюдается при R = r, но т.к. сопротивление n одинаковых ламп равно R = R₁/n, то r = R₁/n, или n = n_max = R₁/r.

Рассчитаем максимум мощности, используя формулу (3) и условие r = R₁/n:

При = 12 В, r = 0,4 Ом и R₁= 20 Ом имеем n_max = R₁/r = 50 ламп.

Согласно формуле (4), P_max = 90 Вт. Всё это очень хорошо согласуется с результатами компьютерного эксперимента. Кроме того, из этой формулы следует, что максимум мощности зависит от внутреннего сопротивления обратно пропорционально, в чём легко убедиться, используя компьютерную программу WATT, приведённую на сайте газеты http://fiz.1september.ru.

В заключение необходимо сказать, что все выше приведённые выкладки, а также результаты, полученные с помощью компьютерной программы для цепей постоянного тока, справедливы и для цепей переменного тока.

Возможен более современный подход, если использовать для моделирования таблицу МicrosoftExcel. Если R – внешнее сопротивление цепи, то Построим график для тех же данных: 1 = 20 В, r = 0,5 Ом, меняя R от 0,1 до 2,7 Ом с шагом 0,1 Ом. Для этого в ячейку B4 введём формулу =$B$1^2*A4/(A4+$B$2)^2 и скопируем её в ячейки В5–В30. Графики, построенные с помощью таблицы Excel и программы WATT, совпадают (максимум мощности 200 Вт получается, если внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока). В рубрике «Дополнительные материалы» к № 9/2008 на сайте газеты приведена программа «Мощность», аналогичная программе WATT, но на более продвинутом языке VisualBasic6.0, результат расчёта с её помощью, а также таблица МicrosoftExcel.

Сергей Николаевич Карташов – учитель физики высшей квалификационной категории, выпускник физфака МПГУ им. В.И.Ленина 1993 г. Педагогический стаж 14 лет. Ученики Сергея Владимировича занимают призовые места на районных олимпиадах по физике и математике. Педагогическое кредо: моделирование физических процессов на компьютере, индивидуальная работа с сильными детьми. Один закончил физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, ещё один учится в университете им. Н.Э.Баумана. В 2002 г. Сергей Владимирович был награждён почётной грамотой МОиН РФ. Женат, сыну 3,5 года. Хобби: шахматы, решение олимпиадных задач по физике и математике, кулинария.

2.Зависимость мощности Pe , Pi , p от сопротивления нагрузки.

Рассмотрим зависимость полной, полезной и внутренней мощности от внешнего сопротивления R в цепи источника с ЭДС Е и внутренним сопротивлением r.

Полнаямощность, развиваемая источником, может быть записана следующим образом, если в формулу (5) подставить выражение для тока (1):

(18)

Так полная мощность зависит от сопротивления нагрузки R. Она наибольшая при коротком замыкании цепи, когда сопротивление нагрузки обращается в нуль (9). С ростом сопротивления нагрузки R полная мощность уменьшается, стремясь к нулю при R   .

На внешнем сопротивлении выделяется

(19)

(20)

Внешняя мощность Р_е составляет часть полной мощности Р и ее величина зависит от отношения сопротивлений R/(R+r). При коротком замыкании внешняя мощность равна нулю. При увеличении сопротивления R она сначала увеличивается. При R  r внешняя мощность по величине стремится к полной. Но сама полезная мощность при этом становится малой, так как уменьшается полная мощность (см. формулу 18). При R  внешняя мощность стремятся к нулю как и полная.

Каково должно быть сопротивление нагрузки, чтобы получить от данного источника максимальную внешнюю (полезную) мощность (19)?

Найдем максимум этой функции из условия:

Решая это уравнение, получаем R_max= r.

Таким образом, во внешней цепи выделяется максимальная мощность, если ее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника тока. При этом условии ток в цепи равен E/2r, т.е. половине тока короткого замыкания (8). Максимальная полезная мощность при таком сопротивлении

(21)

что совпадает с тем, что было получено выше (12).

Мощность, выделяющаяся на внутреннем сопротивлении источника

(22)

При R P_iP, а при R=0 достигает наибольшей величины P_i_нб=P_нб=E 2 /r. При R=r внутренняя мощность составляет половину полной, P_i=P/2. При Rr она уменьшается почти так же, как и полная (18).

Зависимость КПД от сопротивления внешней части цепи выражается следующим образом:

 = (23)

Из полученной формулы вытекает, что КПД стремится к нулю при приближении сопротивления нагрузки к нулю, и КПД стремится к наибольшему значению, равному единице, при возрастании сопротивления нагрузки до R r . Но полезная мощность при этом уменьшается почти как 1/R (см. формулу 19).

Мощность Р_е достигает максимального значения при R_max= r, КПД при этом равен, согласно формуле (23),  = r/(r+r) = 1/2. Таким образом, условие получения максимальной полезной мощности не совпадает с условием получения наибольшего КПД.

Наиболее важным результатом проведенного рассмотрения является оптимальное согласование параметров источника с характером нагрузки. Здесь можно выделить три области: 1)R r, 2)R r, 3) R r. Первый случай имеет место там, где от источника требуется малая мощность в течение длительного времени, например, в электронных часах, микрокалькуляторах. Размеры таких источников малы, запас электрической энергии в них небольшой, она должна расходоваться экономно, поэтому они должны работать с высоким КПД.

Второй случай – короткое замыкание в нагрузке, при котором вся мощность источника выделяется в нем и проводах, соединяющих источник с нагрузкой. Это приводит к их чрезмерному нагреванию и является довольно распространенной причиной возгораний и пожаров. Поэтому короткое замыкание источников тока большой мощности (динамо-машины, аккумуляторные батареи, выпрямители) крайне опасно.

В третьемслучае от источника хотят получить максимальную мощность хотя бы накороткоевремя, например, при запуске двигателя автомобиля с помощью электростартера, величина КПД при этом не так уж важна. Стартер включается на короткое время. Длительная эксплуатация источника в таком режиме практически недопустима, так как она приводит к быстрому разряду автомобильного аккумулятора, его перегреву и прочим неприятностям.

Для обеспечения работы химических источников тока в нужном режиме их соединяют между собой определенным образом в так называемые батареи. Элементы в батарее могут соединяться последовательно, параллельно и по смешанной схеме. Та или иная схема соединения определяется сопротивлением нагрузки и величиной потребляемого тока.

Важнейшим эксплуатационным требованием к энергетическим установкам является высокий КПД их работы. Из формулы (23 ) видно, что КПД стремится к единице, если внутреннее сопротивление источника тока мало по сравнению с сопротивлением нагрузки

Параллельно можно соединять элементы, имеющие одинаковые ЭДС. Если соединено n одинаковых элементов, то от такой батареи можно получить ток

(24)

Здесь r₁ – сопротивление одного элемента, Е₁ – ЭДС одного элемента.

Такое соединение выгодно применять при низкоомной нагрузке, т.е. при R r. Так как общее внутреннее сопротивление батареи при параллельном соединении уменьшается в n раз по сравнению с сопротивлением одного элемента, то его можно сделать близким сопротивлению нагрузки. Благодаря этому увеличивается КПД источника. Возрастает в n раз и энергетическая емкость батареи элементов.

Если нагрузка высокоомная, т.е. R  r, то выгоднее соединять элементы в батарею последовательно. При этом ЭДС батареи будет в n раз больше ЭДС одного элемента и от источника можно получить необходимый ток

. (25)

Целью данной лабораторной работы является экспериментальная проверка полученных выше теоретических результатов о зависимости полной, внутренней и внешней (полезной) мощности и КПД источника как от силы потребляемого тока, так и от сопротивления нагрузки.

Описание установки. Для исследования рабочих характеристик источника тока применяется электрическая цепь, схема которой показана на рис. 4. В качестве источника тока используются два щелочных аккумулятора НКН-45, которые соединяются последователь-но в одну батарею через резистор r , моделирующий внутреннее сопро-тивление источника.

Его включение искусственно увеличивает внутреннее сопротивление аккуму-ляторов, что 1)защищает их от перегрузки при переходе в режим короткого замыкания и 2)дает возможность изменять внутреннее сопротивление источника по желанию экспериментатора. В качестве нагрузки (внешнего сопротивления цепи) п рименяются два переменных резистораR₁ и R₂. (один грубой регулировки, другой – тонкой), что обеспечивает плавное регулирование тока в широком диапазоне.

Все приборы смонтированы на лабораторной панели. Резисторы закреплены под панелью, наверх выведены их ручки управления и клеммы, около которых имеются соответствующие надписи.

Измерения. 1.Установите переключатель П в нейтральное положение, выключатель Вк разомкните. Ручки резисторов поверните против часовой стрелки до упора ( это соответствует наибольшему сопротивлению нагрузки).

Соберите электрическую цепь по схеме (рис. 4), не присоединяя пока источники тока.
После проверки собранной цепи преподавателем или лаборантом присоедините аккумуляторы Е₁ и Е₂, соблюдая полярность.
Установите ток короткого замыкания. Для этого поставьте переключатель П в положение 2 (внешнее сопротивление равно нулю) и с помощью резистора r установите стрелку миллиамперметра на предельное (правое крайнее) деление шкалы прибора – 75 или 150 мА. Благодаря резистору r в лабораторной установке есть возможность регулировать внутреннее сопротивление источника тока. На самом деле внутреннее сопротивление – величина постоянная для данного типа источников и изменить его невозможно.
Поставьте переключатель П в положение 1, включив тем самым внешнее сопротивление (нагрузку) R=R₁+R₂ в цепь источника.
Изменяя ток в цепи через 5…10 мА от наибольшего до наименьшего значения с помощью резисторов R₁и R₂, запишите показания миллиамперметра и вольтметра (напряжение на нагрузке U) в таблицу.
Поставьте переключатель П в нейтральное положение. В этом случае к источнику тока присоединен только вольтметр, который обладает довольно большим сопротивлением по сравнению с внутренним сопротивлением источника, поэтому показание вольтметра будет чуть-чуть меньше ЭДС источник. Поскольку у вас нет другой возможности определить ее точное значение, остается принять показание вольтметра за Е. (Подробнее об этом см. в лабораторной работе № 311).

№ пп

I, мА

U, B

E, B

P, Вт

P_e, Вт

P_i, Вт

R, Ом



Обработка результатов. 1. Для каждого значения тока вычислите:

полную мощность по формуле (5),
внешнюю (полезную) мощность по формуле ,
внутреннюю мощность из соотношения
сопротивление внешнего участка цепи из закона Ома R=U/I,
КПД источника тока по формуле (16).

Постройте графики зависимостей:

полной, полезной и внутренней мощности от тока I (на одном планшете),
полной, полезной и внутренней мощности от сопротивления R (также на одном планшете); разумней построить только часть графика, соответствующего его низкоомной части, и отбросить 4-5 экспериментальных точек из 15 в высокоомной области,
КПД источника от величины потребляемого тока I,
КПД от сопротивления нагрузки R.

Из графиков P_e от I и P_e от R определите максимальную полезную мощность во внешней цепи P_e_max.
Из графика P_e от R определите внутреннее сопротивление источника тока r.
Из графиков P_e от I и P_e от R найдите КПД источника тока при I_max и при R_max.