Как доказать что неравенство верно при любых значениях

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Как доказать что неравенство верно при любых значениях

УПС, страница пропала с радаров.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Вам может понравиться Все решебники

Зубарева, Мордкович

Алексеев, Николина, Липкина

Быстрова, Кибирева

Погорелов 10-11 класс

Лукашик 7-9 класс

Лукашик, Иванова

Рабочая тетрадь

Мерзляк, Полонская, Якир

доказать, что при любых значениях «a» верно неравенство: 1)a^2>(a+1)(a-1) ;2)(a+2)(a+4)>(a+1)(a+5)

1)a^2>(a+1)(a-1)
Док-во
Составим разность между левой и правой частью, она должна быть >0
a^2-(a+1)(a-1)=a^2- a^2+1=1>0-верно при любых «а», ч. т. д.
2)(a+2)(a+4)>(a+1)(a+5)
Док-во
Составим разность между левой и правой частью, она должна быть >0
(a+2)(a+4)-(a+1)(a+5) = a^2+6a+8-a^2-6a-5=3>0-верно при любых «а» ч. т. д.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Доказательство неравенств

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

3)a≥b, если a-b>0 или a=b (то есть a-b≥0).

I. Доказательство неравенств с помощью определения.

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

Поскольку разность равна отрицательному числу,

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что при любом действительном значении переменной x верно неравенство:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Поскольку (a₁b₂-a₁b₁)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a₁b₂-a₁b₁)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

Неравенство Коши:

$\frac{{a_1 + a_2 + . + a_n }}{n} \ge \sqrt[n]{{a_1 a_2 . a_n }}$

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

Неравенство Коши-Буняковского

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

Неравенство Бернулли

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

При n1
При 0

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

Модуль суммы не превосходит суммы модулей

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

$(x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} .$

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

$\frac{{x + a}}{2} \ge \sqrt {xa} ,\frac{{x + b}}{2} \ge \sqrt {xb} ,\frac{{x + c}}{2} \ge \sqrt {xc} ;$

$x + a \ge 2\sqrt {xa} ,x + b \ge 2\sqrt {xb} ,x + c \ge 2\sqrt {xc} .$

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

$\[ 2\sqrt {xa} ></p> <p> 0,2\sqrt {xb} > 0,2\sqrt {xc} > 0. \]» width=»243″ height=»21″ /></p> <p><img loading=$

$(x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} .$

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

$3^{20} + 4^{20} < 4^{20} + 4^{20} ,$

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

$\frac{{2 \cdot 4^{20} }}{{4^{20} }} < \frac{{5^{20} }}{{4^{20} }}, \Rightarrow 2 < \left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} .$

$\left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} = \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} .$

Применим неравенство Бернулли:

$\left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} \ge 1 + 20 \cdot \frac{1}{4},$

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Как доказать что неравенство верно при любых значениях