Как найти область значений линейного оператора

§8.4. Область значений и ядро линейного оператора

Трактуя линейный оператор, действующий в линейном пространстве, как некоторое обобщение понятия функции, естественно рассмотреть вопрос об области определения и области значений линейных операторов.

Под областью значений линейного оператора будем понимать множество образоввсех элементов , то есть элементов вида. В этом случае очевидно, что для любого линейного оператора его область определения совпадает с.

Ответ на вопрос “Что представляет собой область значений линейного оператора?” дает

Пусть — линейный оператор, действующий в линейном пространстве . Тогда

1. Множество элементов есть подпространство в.

2. Если, кроме того, с базисом , то размерность этого подпространства равна .

Пусть есть множество элементов вида и пусть . Тогда существуютитакие, чтои. По свойству линейности оператора имеем: . Аналогичнои потому есть подпространство .

Пусть теперь с базисом . Поскольку каждый элементесть линейная комбинация базисных элементов, то, соответственно, в силу

линейности каждый элемент из области значений есть та же линейная комбинация элементов , то есть есть линейная оболочка множества.

Выделим из множества максимальное подмножество линейно независимых элементов, и пусть число их оказалось равнымk. Тогда, применяя теорему 7.4.1., приходим к заключению, что размерность  * есть k, а из теоремы 7.5.2. следует, что и .

Рангом линейного оператора в называется размерность его области значений.

Ранг линейного оператора линейного оператора обозначается как.

и не зависит от выбора базиса.

Размерность области значений линейного оператора , действующего на некотором подпространстве линейного пространства, не превосходит.

Поскольку подпространство является линейным пространством, то к нему применима теорема 8.4.1.

Ранг произведения линейных операторов ине превосходит ранга каждого из этих операторов.

Рассмотрим область значений линейного оператора . По следствию 8.4.2. это подпространство имеет размерность не большую, чем размерность области значений оператора .

С другой стороны, область значений оператора содержится в области значений оператора и, следовательно, размерность области значений не превосходит размерности области значений .

Если квадратная матрица невырожденная, то для любой квадратной матрицы того же размера

.

Будем рассматривать матрицы и как координатные представления линейных операторов и в некотором базисе.

Если , то существует и в силу теоремы 8.4.2. имеем, с одной стороны, , но с другой

.

Замечания: 1. Если матрица не квадратная, но существует одно из произведений или , то при также верны равенства или, соответственно, . В этом можно убедиться, заменив матрицу матрицей , являющейся дополнением нулевыми столбцами или нулевыми строками до квадратной так, чтобы существовали или , ибо очевидно, что .

2. Ранг произведения матриц может быть меньше рангов каждого из сомножителей. Например:

.

Другой важной характеристикой линейного оператора является совокупность элементов линейного пространства , называемаяядром линейного оператора и обозначаемая .

Ядро линейного оператора состоит из элементов таких, что .

Если и, то есть подпространство и .

Непосредственной проверкой можно убедиться, что для выполняются условия определения 7.4.1.

Пусть в базисе оператор имеет матрицу . По следствию 8.4.1. для любого базиса. Тогда в координатной форме условие принадлежности некоторого элемента с ядру оператора имеет вид .

С другой стороны, поскольку каждое решение однородной системы линейных уравнений является элементом ядра оператора , то размерность ядра есть максимальное число линейно независимых решений этой системы уравнений, которое, согласно теореме 6.7.1., равно .

Как было отмечено в §8.1., в тех случаях, когда область значений оператора не принадлежит области определения, следует говорить об отображении.

В §7.5. было использовано понятие взаимно однозначного отображения, называемого иногда биекцией. Для отображений также выделяются специальные случаи так называемых инъективных и сюръективных отображений. Рассмотрим эти случаи подробнее.

Отображение множества в множество  называется инъективным (или инъекцией), если из условия вытекает.

В случае инъекции множество всех значений оператора может не совпадать с.

Отображение множества на множество  называется сюръективным (или сюръекцией), если каждый элемент из  имеет прообраз в .

В случае сюръекции прообраз любого элемента из  всегда существует в , но, вообще говоря, он не единственен.

В таблице 8.4.1. приведены сравнительные примеры отображений различных типов.

Тип отображения

Таблица 8.4.1.

Рассмотрим теперь линейный оператор , отображающий элементы в элементы , то есть отображение, для которого , а . Допустим, что есть

базис в , а — базис в . Тогда можно сделать следующее обобщение определения 8.3.1.

Матрица размера, столбцы которой есть координатные разложения элементовпо базису, называетсяматрицей линейного отображения в базисахи.

Отметим, что в конечномерном случае сюръективность отображения означает выполнение условия , а инъективность — условия . Отсюда следует, что ранг матрицы линейного оператора, являющегося сюръективным отображением, равен числу ее строк, а ранг матрицы инъективного отображения равен числу ее столбцов. Наконец, отображение, являющееся одновременно и инъективным и сюръективным, будет взаимно однозначным — или биекцией (см. определение 5.2.4.).

Из определения 8.4.5. следует, что матрица линейного отображения зависит как от выбора базиса , так и от выбора базиса. Правило изменения этой матрицы при замене базисов дает

Матрица линейного отображения в базисах и связана с матрицей этого отображения в базисах и соотношением

где — матрица перехода от базиса к базису , а — матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство: Аналогично доказательству теоремы 8.3.2.

В общем случае, исследование свойств оператора, у которого область значений не содержится в области его определения, может оказаться достаточно сложной задачей. Если же область значений имеет конечную размерность, не превышающую размерность области определения, то, пользуясь теоремой 7.5.1. (об изоморфизме), можно попытаться свести исследование отображения к исследованию преобразования, установив изоморфизм между областью значений отображения и некоторым подпространством области его определения.

1. Оператор , ставящий в соответствие каждой точке трехмерного геометрического пространства ее ортогональную проекцию на некоторую фиксированную прямую, проходящую через начало координат, очевидно, есть отображение, которое, однако, можно рассматривать и как преобразование трехмерного пространства в одномерное подпространство.

Отметим, что, хотя в данном случае и отображение и преобразование реализуют геометрически одну и ту же функцию, вид задающих их матриц может быть различным.

Например, пусть в ортонормированной системе координат прямая, на которую выполняется ортогональное проектирование, задана направляющим вектором. Несложно убедиться, что при этом радиус-вектор ортогональной проекции точкибудет иметь вид, то есть матрица данного преобразования имеет вид. Но, с другой стороны, принявнормированный направляющий вектор данной прямой за базисный в, получим, согласно определению 8.4.5., матрицу отображения в виде.

2. Пусть линейный оператор ставит в соответствие каждой матрице второго порядка двумерный столбец вида.

Исследование свойств данного отображения можно свести к исследованию свойств преобразования, ставящего в соответствие квадратным матрицам квадратные матрицы вида

, образующие двумерное подпространство в четырехмерном пространстве квадратных матриц .

Линейное отображение : в некотором базисе задано матрицей . Найти его ядро и множество значений. Выяснить, является ли данное отображение инъективным или сюръективным.

1. Пусть координатное представление прообраза преобразования есть , а координатное представление образа —. Тогда ядро — множество элементовx таких, что , задается в координатном представлении системой линейных уравнений или , общее решение которой есть . Отсюда заключаем, что ядро линейного отображения есть линейная оболочка элемента , и поскольку оно не состоит только из нулевого элемента, то данное отображение неинъективное.

Заметим, что к этому же заключению можно прийти, приняв во внимание, что — числа столбцов матрицы отображения.

2. Область значений линейного отображения состоит из элементов таких, что . В координатной форме принадлежность элемента к множеству значений означает совместность системы линейных уравнений

,

следовательно, нам необходимо выяснить, при каких значениях данная система линейных уравнений совместна. Это можно сделать, например, при помощи теоремы 6.6.1. (Кронекера-Капелли), сравнив ранги основной и расширенной матриц данной системы.

найдем, что для совместности необходимо и достаточно, чтобы , что, в свою очередь, означает, что множество значений отображения состоит из элементов вида

,

являющихся решениями уравнения .

Заметим, наконец, что поскольку не каждый элемент имеет прообраз в, то данное отображение не является и сюръективным.

6.2. Область значений и ядро линейного оператора

Пусть : L_n  L_m линейный оператор.

Определение 33. Областью значений оператора  называется множество  (L_n) образов всех элементов из L_n .

Теорема 32. Область значений линейного оператора : L_n  L_m есть линейное подпространство в L_m .

Доказательство. По определению линейного оператора  (L_n)  L_m. Пусть в и с – любые два вектора из  (L_n). Тогда существуют такие векторы а₁ и а₂ из L_n , что (а₁) = в,  (а₂) = с. Тогда, по определению 31 1 , (а₁ + а₂) = (а₁) + (а₂) = в + с. Так как а₁ + а₂  L_n , то (а₁ + а₂)   (L_n), т.е. в + с   (L_n). Отсюда следует, что  (L_n) – линейное подпространство в L_m .

Определение 34. Ядром линейного оператора : L_n  L_m называется множество всех векторов из L_n , отображающихся в нулевой вектор пространства L_m .

Теорема 33. Ядро линейного оператора : L_n  L_m является линейным подпространством в пространстве L_n . (Обозначение ядра Ker() )

Доказательство. По определению ядра Ker()  L_n . Если а₁ и а₂  Ker(), то  (а₁) = 0,  (а₂) = 0. Но тогда (а₁ + а₂) = (а₁) + (а₂) = 0 + 0 = 0  а₁ + а₂  Ker(). Итак, Ker() – линейное подпространство в пространстве L_n .

Примеры. 1. Даны два линейных пространства L₃ и L₅ . Пусть е = (е₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃ , f₄ , f₅ ) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅ . Пусть линейный оператор : L₃  L₅ задан по правилу (х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃ ) = х₁а₁ + х₂а₂ + х₃а₃. Найти (L₃) и Ker().

Решение. Так как х₁, х₂, х₃ – любые элементы поля коэффициентов Р, то х₁а₁ + х₂а₂ + х₃а₃ – любой вектор из линейной оболочки  а₁, а₂, а₃ . Итак, (L₃) =  а₁, а₂, а₃ .

(х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃ ) = 0  х₁а₁ + х₂а₂ + х₃а₃ = 0  х₁(1, 4, –1, 3, 0) + х₂(3, 0, 1, –3, 7)+ + х₃(1, 1, 2, 2, 0) = (х₁ + 3х₂ + х₃ , 4х₁ + х₃ , –х₁ + х₂ + 2х₃ , 3х₁ –3х₂ + 2х₃ , 7х₂ ) = 0 

Для нахождения х₁, х₂. х₃ получили систему пяти уравнений с тремя неизвестными. Решая её, получим х₁ = х₂ = х₃ = 0. Следовательно, ядро данного линейного оператора состоит только из нулевого вектора.

2. Даны два линейных пространства L₃ и L₅ . Пусть е = (е₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃ , f₄ , f₅ ) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть линейный оператор  : L₅  L₃ задан правилом ( х₁f₁ + х₂f₂ + х₃ f₃ + х₄f₄ + х₅f₅) = х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃. Найти (L₃) и Ker().

Решение. Очевидно, (L₅) =  е₁, е₂, е₃  = L₃. Найдём ядро.

( х₁f₁ + х₂f₂ + х₃ f₃ + х₄f₄ + х₅f₅) = 0  х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃  х₁ = х₂ = х₃ = 0. Итак, ядро состоит из векторов вида а = (0, 0, 0, х₄, х₅ ), где х₄, х₅ – любые элементы поля Р.

6.3. Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа

Пусть L_n и L_m – линейные пространства над полем Р и : L_n  L_m линейный оператор. Зафиксируем в L_n и L_m базисы е = (е₁, е₂, … , е_n ) и f = (f₁, f₂, … , f_m ) соответственно. Если (е) = ((е₁), (е₂), … , (е_n)), то все векторы (е_к)  L_m . Выразим их через базис f.

Матрица А =

называется матрицей оператора  в паре базисов е и f .

Формулы (31) можно записать в матричном виде: (е) = fА (32)

Пусть а – произвольный вектор из L_n и (а) – его образ в L_m . Пусть х – столбец координат этого вектора в базисе е и х 1 – столбец координат вектора (а) в базисе f . Тогда а = е х , (а) = (е) х, (а) = fх 1 . Следовательно, (е) х = fх 1 . Используя (32), получим (fА)х = fх 1 , или f(Ах) = fх 1 . Отсюда х 1 = Ах (33).

Следствие. Если в линейных пространствах L_n и L_m зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из L_n в L_m соответствует единственная матрица размерности mn с элементами из поля Р.

Теорема 34. Если в линейных пространствах L_n и L_m зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности mn с элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из L_n в L_m .

Доказательство. Пусть дана матрица А = с элементами из поля Р и пусть L_n и L_m – линейные пространства над полем Р. Зафиксируем в L_n и L_m базисы е = (е₁, е₂, … , е_n ) и f = (f₁, f₂, … , f_m ) соответственно. В пространстве L_m зададим векторы а₁ = (₁₁, ₂₁, … , _m1), а₂ = (₁₂, ₂₂, … , _m2), … , а_n (_1n, _2n ,… , _mn ). Если искомый линейный оператор существует, то должно быть (е_к) = а_к для любого к = 1, 2, … , n . По теореме 31 такой оператор существует и только один.

Следствие. Между множеством линейных операторов, действующих из L_n в L_m , и множеством матриц размерности mn с элементами из поля Р устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Если в L_n и L_m зафиксированы базисы е = (е₁, е₂, … , е_n ) и f = (f₁, f₂, … , f_m ), то при сложении линейных операторов складываются соответствующие им матрицы. Если линейный оператор умножить на элемент поля Р, то на этот элемент умножится и соответствующая матрица.

Следствие. Линейное пространство линейных операторов, действующих из L_n в L_m , изоморфно линейному пространству матриц размерности mn с элементами из поля Р.

Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из L_n в L_m , равна mn .

Как найти область значений линейного оператора

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y . Говорят, что оператор действует из X в Y .

Действие оператора обозначают y = A ( x ), y — образ x , x — прообраз y .

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X , y = A ( x ), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X , X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A , действующий из X в Y , называется линейным оператором , если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A ( u + v ) = A ( u ) + A ( v ) , A (α· u ) = α· A ( u ).

Ядро и образ линейного оператора

Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно.

[math]\dim Ker\mathcal + \dim Im\mathcal = n = \dim X[/math]

Дополним [math]\_^[/math] до базиса [math]X[/math] , получим базис [math]\_^[/math] , где [math]n = \dim X[/math]

Рассмотрим [math]x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ . \ + \xi^n e_n[/math]

Докажем от противного.

Пусть [math]z = \alpha_e_ +\ . \ + \alpha_e_n[/math]