Числовые ряды. Помогите разобраться.
Я не хочу тебя огорчать, но расходятся и тот, и другой.. . Вообще ряд с общим членом 1/n^p (^- это знак возведения в степень) называется ОБОБЩЕННЫМ ГАРМОНИЧЕСКИМ рядом и сходится, если р>1, а при р<=1 расходится, это доказывается с помощью интегрального признака.. . А у тебя для первого ряда р=1, для второго р=1/2, оба числа не превышают единицу, оба ряда расходятся.
Если что, стучи в Агент, расскажу подробнее!
Гармонический ряд ( ряд с общим членом 1/n) расходится.
Не надо никакого интегрального признака (возможно ты его даже не знаешь) . Поступим так. Будем уменьшать некоторые члены этого ряда и покажем, что полученный ряд расходится, тогда и исходный будет расходится, ведь егочастичные суммы больше частичных сумм полученного!
1+ 1/2+ 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+.
Итак 1+ 1/2+ 1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+. = 1+1/2+1/2+. +
Заметь, что нижний ряд меньше гармонического, при этом каждый раз накапливаются по 1/2 и так до бесконечности, ясно, что нижний ряд расходится.
А 1/(n^p), где р < 1 будет больше, чем 1/n, а поэтому тоже расходятся.
Интересней доказать, что ряд 1/(n^p), где р> 1 cходится!
Гармонический ряд
Гармони́ческий ряд, числовой ряд 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n + … . 1+\frac+\frac+\frac+\ldots+\frac+\ldots \ . 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + … + n 1 + … . Каждый член гармонического ряда, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних, этим объясняется название гармонического ряда. При увеличении n n n члены гармонического ряда стремятся к нулю, но гармонический ряд расходится, что было доказано Н. Оремом (около 1350), итальянским математиком П. Менголи (1650), братьями И. и Я. Бернулли в конце 17 в. и Г. В. Лейбницем (1673). Л. Эйлером (1740) было получено асимптотическое выражение для суммы s n s_n s n первых n n n членов гармонического ряда, s n = l n n + C + ε n , s_n=lnn+C+ε_n, s n = l nn + C + ε n , где C = 0 , 5772156649 … C=0,5772156649… C = 0 , 5772156649 … – постоянная Эйлера, а ε n → 0 ε_n→0 ε n → 0 при n → ∞ n→∞ n → ∞ . Обобщённый гармонический ряд
1 + 1 2 α + 1 3 α + … + 1 n α … 1+\frac>+\frac>+\ldots+\frac>\ldots 1 + 2 α 1 + 3 α 1 + … + n α 1 … сходится при α > 1 α>1 α > 1 и расходится при α < 1 α
Редакция математических наук
Опубликовано 1 июня 2022 г. в 15:16 (GMT+3). Последнее обновление 1 июня 2022 г. в 15:16 (GMT+3). Связаться с редакцией
Информация
Области знаний: Приближения, разложения и асимптотики
- Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
ISSN: 2949-2076 - Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
Главный редактор: Кравец С. Л.
Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
- © АНО БРЭ, 2022 — 2023. Все права защищены.
- Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей. - Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
Гармонический ряд
Этот ряд имеет большое значение в математическом анализе. Во – первых, этот ряд расходится, но расходится крайне медленно. Поскольку ряд положительный, то чтобы доказать его расходимость, нужно показать, что последовательность его частичных сумм не ограничена. А ведь миллионная частичная сумма ряда . С другой стороны, гармонический ряд есть родоначальник обобщенно гармонических рядов, то есть рядов вида . А с этими рядами часто происходит сравнение других рядов. Кроме того сумма этого обобщенно гармонического ряда называемая дзета – функцией Римана имеет большое значение в теории чисел. Исследуем обобщенно гармонические ряды на сходимость. Для этого покажем, что
- Гармонический ряд расходится. Чтобы это показать достаточно показать, что последовательность его частичных сумм не ограничена. Рассмотрим частичную сумму . Сгруппируем члены этой суммы следующим образом: при Неограниченность частичных сумм установлена. Итак, гармонический ряд расходится.
- Из расходимости гармонического ряда следует, что все обобщенно гармонические ряды также расходятся. Это следует из оценки при .
- Теперь покажем, что при обобщенные гармонические ряды сходятся. Для этого воспользуемся оценкой . Рассматривая, как выше и группируя таким же образом члены суммы, мы получим:/Здесь нужно получить неравенство в другую сторону: . Тем самым, последовательность ограничена сверху, а вместе с этой последовательностью и последовательность ограничена сверху. Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится.
Пример 1 Показать, что ряд расходится.Сравним этот ряд с гармоническим рядом. Поскольку , а гармонический ряд расходится, то по первой теореме сравнения исходный ряд так же расходится.
Для следующих двух примеров нам понадобится вторая теорема сравнения положительных рядов
Теорема сравнения 2. Пусть для двух положительных рядов и существует предел . Тогда, если , то ряды и сходятся или расходятся одновременно. Если , то сходимость ряда следует из сходимости ряда , а если , то сходимость ряда следует из сходимости ряда .
Пример 2 При каких значениях параметра сходится ряд .
Общий член нашего ряда . По второй теореме сравнения, наш ряд сходится или расходится одновременно с рядом . Зная когда расходится обобщенный гармонический ряд, мы можем сказать: исходный ряд сходится при и расходится при .
Пример 3 Исследовать ряд на сходимость. Воспользуемся стандартными разложениями (логарифма и степенным) и найдем главный член у : Применяя вторую теорему сравнения (сравниваем с рядом ) получаем, что исходный ряд сходится, как и обобщенный гармонический ряд .
Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.
Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.
Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.
Решение.
Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).
В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.
В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.
Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.
Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?
Гармонический ряд
Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:
т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n — натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности.
Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является
- 1 Сумма первых n членов ряда
- 1.1 Формула Эйлера
- 2.1 Рассмотрим известные доказательстване сходимости гармонического ряда
- 2.2 Доказательство Орема
- 2.3 Альтернативное доказательство расходимости
- 4.1 Ряд Дирихле
- 4.2 Знакопеременный ряд
- 4.3 Случайный гармонический ряд
- 4.4 «Истончённый» гармонический ряд
Сумма первых n членов ряда [ ]
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но предполагается что сумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:
Некоторые значения частичных сумм ( например для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):
S1 = 1; S5 = 137/60 = приблизительно 2,283 Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов рядаSn будет дробным числом.
Формула Эйлера [ ]
В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1
Сходимость ряда [ ]
Предполагалось до 7 августа 2010 года, что при стремлении n к бесконечностиSn также стремится к бесконечности, оставаясь меньше соответствующего натурального числа. Предполагалось также Гармонический ряд расходится очень медленно: чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда.
Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.
Рассмотрим известные доказательстване сходимости гармонического ряда [ ]
Доказательство Орема [ ]
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемыетаким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+. +1/2 +. :
Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Альтернативное доказательство расходимости [ ]
Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:
Тогда, перегруппируя дроби так, что в первую группу объединяются только 1 и дроби с нечетными знаменателями, а во вторую группу — только с четными, и когда вынесем из второй скобки 1/2 а потом заменим вторую скобку на S и перенеся S/2 в левую часть, а также подставив обратно вместо S сумму ряда, получим что сумма дробей с четными знаменателями равна сумме дробей с нечетными знаменателями +1. Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.
Это равенство, также очевидно, может быть и верно, так как одна вторая больше одной третьей, одна четвёртая больше одной пятой, и так далее. Таким образом, необходимо также доказать, что сумма ряда: 1/2 — 1/3 + 1/4 — 1/5 + .
В данном доказательстве также не учитывается тот факт, что каждому натуральному числу взаимооднозначно соответствует только один член гармонического ряда.
Частичные суммы [ ]
n-ая постоянной Эйлера-Маскерони .
Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.
Связанные ряды [ ]
Ряд Дирихле [ ]
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса, известного как Случайный гармонический ряд [ ]
Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда, в котором числителислагаемых рядаsn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности , вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от 1/8 на менее чем 10 −42 . Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.
«Истончённый» гармонический ряд [ ]
Ряд Кемпнера (англ.)
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу
Учитывая сходимость Ряда Кемпнера можно предположить что сходимость гармонического ряда хотя пока и не доказана, но имеет место быть! (см. обсужд.)
В пользу сходимости гармонического ряда свидетельствует и такой мысленный эксперимент: запишем три столбца,
№ п/п строки Частичная Сумма гармонического геометрическая прогрессияс коэффициентом,
(натуральное) ( ряда, до члена 1/n ) например ((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)
1 1 ((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256) 2 1+1/2 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^2 3 1/3+1/2+1 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^3 . . . . 256 1+1/2+1/3 + . + 1/256 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^256 . (256 в степени 256) 1+1/2+. +1/(256^256) +((256^256)-1)^(256-1)^256)) ^((256^256)-1)^(256-1)^256))
(256 в степени 256) +1)) . .
Очевидно, что для любого натурального, стермящегося к бесконечности, всегда найдется такое натуральное+1, которое будучи разделенным на то же самое натуральное +2 даст такой коэффициент, который будет меньше единицы и обеспечит сходимость суммы членов ряда геометрической прогрессии, каждый из которыхзаведомо меньше соответствующего (с таким же номером), члена гармонического ряда.