Как найти направляющий вектор прямой
Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.
Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты — буквами l, m, n:
.
Если известна одна точка прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида
. (1)
В таком виде уравнения прямой называются каноническими.
Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки и имеют вид
. (2)
Обознчим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим
.
Отсюда
, , . (3)
Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора . В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, x, y, z — как функции от t ; при изменении t величины x, y, z меняются так, что точка M(x; y; z ) движется по данной прямой.
Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t =0 точка М совпадает с точкой . Скорость v точки М постоянная и определяется формулой
.
| Текст издания: | © Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998. |
| Решение задач: | © Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉 |
Сайт управляется системой uCoz
Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой
С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.
В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.
Что такое направляющий вектор прямой
Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.
Сформулируем, что такое направляющий вектор.
Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.
У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = — 1 y = 7 — 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.
Решение
Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = — 1 + 0 · λ y = 7 — 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = ( 0 , 5 ) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , — 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.
Ответ: 0 , — 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0
Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .
А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.
У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x — 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.
Решение
В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) . Он будет для нее направляющим.
Ответ: ( 0 , 1 )
А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.
1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.
2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.
3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .
Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.
Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y — 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.
Решение
Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:
3 x + 2 y — 10 = 0 ⇔ 3 x = — 2 y + 10
Получившееся равенство преобразовываем и получаем:
3 x = — 2 y + 10 ⇔ 3 x = — 2 ( y — 5 ) ⇔ x — 2 = y — 5 3
Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3
К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.
Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.
Вектор a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:
1) канонического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z
2) параметрического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z
Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.
Рассмотрим конкретную задачу.
Прямая в пространстве задана уравнением вида x — 1 4 = y + 1 2 0 = z — 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.
Решение
В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , — 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , — 3 · t при условии, что t является действительным числом.
Ответ: 4 · t , 0 , — 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0
Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = — 4 — λ .
Решение
Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = — 4 — 1 · λ .
Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.
Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?
Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.
Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.
Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .
n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 — это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.
Решим задачу, в которой применяется этот подход.
Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z — 1 = 0 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 .
Решение
Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z — 1 = 0 и 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , — 4 .
У нас получится:
n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 — 4 = i → · 2 · ( — 4 ) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 — — k → · 2 · 2 — i → · 3 · 4 — j → · 1 · ( — 4 ) = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →
Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = — 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.
Ответ: — 20 , 10 , 0
В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.
Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой
Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.
Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.
Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.
Указать нормальный вектор для заданной прямой y — 3 = 0 .
По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0 · x + 1 · y — 3 = 0 . Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0 , 1 .
Ответ: 0 , 1 .
Если дано уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 или уравнение с угловым коэффициентом y = k · x + b , тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.
Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x 1 3 — y = 1 .
Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x 1 3 — y = 1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x 1 3 — y = 1 ⇔ 3 · x — 1 · y — 1 = 0 .
Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3 , — 1 .
Ответ: 3 , — 1 .
Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y или параметрическим x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a → = ( a x , a y ) . Возможность нахождения координат нормального вектора n → возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n → и a → .
Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 = 0
Для решения можно выбирать любой удобный способ.
Найти нормальный вектор заданной прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 .
Из прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a → = ( 7 , — 2 ) . Нормальный вектор n → = ( n x , n y ) заданной прямой является перпендикулярным a → = ( 7 , — 2 ) .
Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a → = ( 7 , — 2 ) и n → = ( n x , n y ) запишем a → , n → = 7 · n x — 2 · n y = 0 .
Значение n x – произвольное , следует найти n y . Если n x = 1 , отсюда получаем, что 7 · 1 — 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .
Значит, нормальный вектор имеет координаты 1 , 7 2 .
Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем
x — 2 7 = y + 3 — 2 ⇔ 7 · ( y + 3 ) = — 2 · ( x — 2 ) ⇔ 2 x + 7 y — 4 + 7 3 = 0
Полученный результат координат нормального вектора равен 2 , 7 .
Ответ: 2 , 7 или 1 , 7 2 .
Указать координаты нормального вектора прямой x = 1 y = 2 — 3 · λ .
Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:
x = 1 y = 2 — 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 — 3 · λ ⇔ λ = x — 1 0 λ = y — 2 — 3 ⇔ x — 1 0 = y — 2 — 3 ⇔ ⇔ — 3 · ( x — 1 ) = 0 · ( y — 2 ) ⇔ — 3 · x + 0 · y + 3 = 0
Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны — 3 , 0 .
Ответ: — 3 , 0 .
Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат О х у z .
Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда нормальный вектор плоскости относится к A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда получаем запись векторов в виде n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .
Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z или параметрического, имеющего вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , отсюда a x , a y и a z считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a → = ( a x , a y , a z ) . Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a → = ( a x , a y , a z ) .
УравнениЯ прямой в пространстве
Здравствуйте-здравствуйте! Впервые или снова, но очень рад вас видеть! Продолжаем знакомиться с пространственной геометрией – миром, в котором мы живём. На первом уроке мы вдоль и поперёк рассмотрели уравнение плоскости, а сейчас очередь дошла до моей очередной жертвы – прямой в пространстве. Если ваш уровень подготовки не очень высок, пожалуйста, начните с предыдущей статьи, там же есть путеводитель для чайников – тех, кто проходил мимо векторов пару раз и очень давно.
В данном разделе мы разберём вопросы, связанные с уравнениЯМИ прямой в пространстве, посмотрим, как может располагаться прямая относительно координатных плоскостей, координатных осей и научимся решать типовые задачи. Я добросовестно постараюсь рассказать всё самое главное, что связано с пространственными прямыми.
Начнём с уравненИЙ прямой в пространстве. Для лёгкого понимания темы целесообразно хорошо проштудировать уравнение «плоской» прямой, поскольку будет очень много похожих вещей. Но будут и отличия, на одно из которых вы уже наверняка обратили внимание. Я выделял большими буквами окончание слова «уравнение», подчеркивая, что оно находится ВО МНОЖЕСТВЕННОМ ЧИСЛЕ. И это не случайно, своеобразие пространственной прямой состоит в том, что она задаётся не одним уравнением, а некоторым множеством уравнений. Высшая математика не озадачивает нас улыбкой Джоконды, поэтому надвинем на лоб строгую параллельность морщин и приступим к делу. Если вас интересует что-то конкретное, используйте быстрые ссылки:
- канонические уравнения прямой (по точке и направляющему вектору);
- уравнения прямой по двум точкам;
- параметрические уравнения прямой;
- прямая, заданная пересечением двух плоскостей.
- Типовые задачи с пространственной прямой
Как составить уравнения прямой в пространстве?
Аналогично «плоской» прямой, существует несколько способов, которыми мы можем задать прямую в пространстве. Начнём с канонов – точки и направляющего вектора прямой:
Канонические уравнения прямой
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю. Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже.
Как и в статье Уравнение плоскости, для простоты будем считать, что во всех задачах урока действия проводятся в ортонормированном базисе пространства.
Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение: Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Ответ:
И ежу понятно… хотя, нет, ежу не понятно вообще ничего.
Что следует отметить в этом очень простом примере? Во-первых, полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу: . Сократить, точнее, можно, но это непривычно режет глаз и создаёт неудобства в ходе решения задач.
А во-вторых, в аналитической геометрии неизбежны две вещи – это проверка и зачёт:
На всякий случай смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора . Нет, не подумайте, у нас не урок в детском садике «Тормозок». Данный совет очень важен, поскольку позволяет полностью исключить ошибку по невнимательности. Никто не застрахован, а вдруг неправильно переписали? Наградят премией Дарвина по геометрии.
Далее подставляем координаты точки в найденные уравнения:
Получены верные равенства, значит, координаты точки удовлетворяют нашим уравнениям, и сама точка действительно принадлежит данной прямой.
Проверка очень легко (и быстро!) выполняется устно.
В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку , принадлежащую данной прямой. Как это сделать?
Берём полученные уравнения и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу (помним, что ноль уже был), например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:
Проверим, удовлетворяет ли найденная точка уравнениям :
Получены верные равенства, значит, точка действительно лежит на данной прямой.
Выполним чертёж в прямоугольной системе координат. Заодно вспомним, как правильно откладывать точки в пространстве:
Строим точку :
– от начала координат в отрицательном направлении оси откладываем отрезок первой координаты (зелёный пунктир);
– вторая координата нулевая, поэтому «не дёргаемся» с оси ни влево, ни вправо;
– в соответствие с третьей координатой отмеряем три единицы вверх (фиолетовый пунктир).
Строим точку : отмеряем две единицы «на себя» (желтый пунктир), одну единицу вправо (синий пунктир) и две единицы вниз (коричневый пунктир). Коричневый пунктир и сама точка наложились на координатную ось, обратите внимание, что они находятся в нижнем полупространстве и ПЕРЕД осью .
Сама прямая проходит над осью и, если меня не подводит глазомер, над осью . Не подводит, убедился аналитически. Если бы прямая проходила ЗА осью , то следовало бы стереть ластиком частичку линии сверху и снизу точки скрещивания.
У прямой бесконечно много направляющих векторов, например:
(красная стрелка)
Получился в точности исходный вектор , но это чистая случайность, такую уж я выбрал точку . Все направляющие векторы прямой коллинеарны, и их соответствующие координаты пропорциональны (более подробно – см. Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Так, векторы тоже будут направляющими векторами данной прямой.
Дополнительную информацию о построении трёхмерных чертежей на клетчатой бумаге можно найти в начале методички Графики и свойства функций. В тетради разноцветные пунктирные дорожки к точкам (см. чертёж) обычно тонко прочерчивают простым карандашом тем же пунктиром.
Разберёмся с частными случаями, когда одна или две координаты направляющего вектора нулевые. Попутно продолжаем тренировку пространственного зрения, которая началась в начале урока Уравнение плоскости. И вновь я расскажу вам сказку о голом короле – нарисую пустую систему координат и буду убеждать вас, что там есть пространственные прямые =)
Проще перечислить все шесть случаев:
1) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на три отдельных уравнения: .
Пример 2: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Что это за прямая? Направляющий вектор прямой коллинеарен орту , значит, данная прямая будет параллельна оси . Канонические уравнения следует понимать так:
а) – «игрек» и «зет» постоянны, равны конкретным числам;
б) переменная «икс» может принимать любые значения: (на практике данное уравнение, как правило, не записывают).
В частности, уравнения задают саму ось . Действительно, «икс» принимает любое значение, а «игрек» и «зет» всегда равны нулю.
Рассматриваемые уравнения можно интерпретировать и другим образом: посмотрим, например, на аналитическую запись оси абсцисс: . Ведь это уравнения двух плоскостей! Уравнение задаёт координатную плоскость , а уравнение – координатную плоскость . Правильно думаете – данные координатные плоскости пересекаются по оси . Способ, когда прямая в пространстве задаётся пересечением двух плоскостей, мы рассмотрим в самом конце урока.
Два похожих случая:
2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Такие прямые будут параллельны координатной оси . В частности, уравнения задают координатную саму ось ординат.
3) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Данные прямые параллельны координатной оси , а уравнения задают саму ось аппликат.
Загоним в стойло вторую тройку:
4) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на пропорцию и уравнение плоскости .
Пример 3: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Разберём суть полученной записи. Уравнение задаёт плоскость в пространстве, причём данная плоскость будет параллельна «родной» координатной плоскости . Из пропорции легко выразить уравнение «плоской» прямой, единственное, эта прямая будет находиться не на плоскости , а на высоте .
Если высота нулевая: , то уравнения принимают вид , и вот это уже в точности наша «плоская» прямая, лежащая в плоскости .
Таким образом, рассмотренный случай задаёт прямую, параллельную координатной плоскости . Действительно, задумайтесь, ведь направляющий вектор параллелен данной плоскости, ведь «зетовая» координата равна нулю.
5) Прямая, заданная точкой и направляющим вектором , параллельна координатной плоскости , и её канонические уравнения выражаются формулами: .
В частности, уравнения определяют прямую, лежащую в плоскости .
6) Прямая, заданная точкой и направляющим вектором , параллельна координатной плоскости , и её канонические уравнения выражаются формулами: .
В частности, уравнения определяют прямую, лежащую в плоскости .
Настала пора хорошо закусить:
Записать канонические уравнения прямой, если известна точка и направляющий вектор данной прямой.
а)
б)
в) Записать уравнения прямой, проходящей через точку параллельно оси .
Это примеры для самостоятельного решения, ответы в конце урока.
Постарайтесь не пренебрегать примерами данного урока! Задачи вроде бы элементарны, но если на них забить, то в дальнейшем появятся серьёзные затруднения. Причём, в простых вещах.
Как составить уравнения пространственной прямой по двум точкам?
Если известны две точки пространства , то уравнения прямой, проходящей через данные точки, выражаются формулами:
Унылый частный случай предыдущего параграфа. И в самом деле, вектор является направляющим вектором прямой.
По возможности, рекомендую не пользоваться данными формулами. Хорошо-то оно, всё хорошо, но только до тех пор, пока знаменатели без нулей. Не буду объяснять все тонкости, но рекомендую придерживаться следующего алгоритма решения:
Составить уравнения прямой, проходящей через точки .
Решение: Найдём направляющий вектор прямой:
Уравнения прямой составим по точке (можно было выбрать точку ) и направляющему вектору :
Ответ:
В принципе, можно было сократить знаменатели пропорции на 2 и записать ответ в виде , но в данном случае надобности в этом нет никакой.
Подставим координаты точки в полученные уравнения:
Получены верные равенства.
Подставим координаты точки :
Получены верные равенства.
Вывод: канонические уравнения прямой составлены правильно.
Составить уравнения прямой, проходящей через точки
Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.
Параметрические уравнения прямой в пространстве
Обязательно прочитайте данный параграф! Параметрические уравнения, конечно, не альфа и омега пространственной геометрии, но рабочий муравей многих задач. Причём, этот вид уравнений часто применяется неожиданно, и я бы сказал, изящно.
Если известна точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то параметрические уравнения этой прямой задаются системой:
О самом понятии параметрических уравнений я рассказывал на уроках Уравнение прямой на плоскости и Производная параметрически заданной функции.
Всё проще пареной репы, поэтому придётся приперчить задачу:
Составить параметрические уравнения следующих прямых:
Решение: Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.
а) Из уравнений снимаем точку и направляющий вектор: . Точку можно выбрать и другую (как это сделать – рассказано выше), но лучше взять самую очевидную. Кстати, во избежание ошибок, всегда подставляйте её координаты в уравнения.
Составим параметрические уравнения данной прямой:
Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку , координаты которой, скажем, соответствуют значению параметра :
б) Рассмотрим канонические уравнения . Выбор точки здесь несложен, но коварен: (будьте внимательны, не перепутайте координаты. ). Как вытащить направляющий вектор? Можно порассуждать, чему параллельна данная прямая, а можно использовать простой формальный приём: в пропорции находятся «игрек» и «зет», поэтому запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: .
Составим параметрические уравнения прямой:
в) Перепишем уравнения в виде , то есть «зет» может быть любым. А если любым, то пусть, например, . Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях находятся «икс» и «игрек», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули: . На оставшееся место ставим единицу: . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.
Запишем параметрические уравнения прямой:
Составить параметрические уравнения следующих прямых:
Решения и ответы в конце урока. Полученные вами ответы могут несколько отличаться от моих ответов, дело в том, что параметрические уравнения можно записать не единственным способом. Важно, чтобы ваши и мои направляющие векторы были коллинеарны, и ваша точка «подходила» к моим уравнениям (ну, или наоборот, моя точка к вашим уравнениям).
Как ещё можно задать прямую в пространстве? Хочется что-нибудь придумать с вектором нормали. Однако номер не пройдёт, у пространственной прямой нормальные векторы могут смотреть совершенно в разные стороны.
Ещё об одном способе уже упоминалось на уроке Уравнение плоскости и в начале этой статьи:
Прямая, заданная пересечением двух плоскостей
Если плоскости пересекаются,
то система линейных уравнений задаёт прямую в пространстве.
То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:
Записать канонические уравнения прямой
Решение: Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….
1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? В системе уравнений нужно обнулить какую-нибудь координату. Пусть , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим решение системы:
Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует проводить мысленно или на черновике.
Выполним проверку: подставим координаты точки в исходную систему уравнений: . Получены верные равенства, значит, действительно .
2) Как найти направляющий вектор прямой? Его нахождение наглядно демонстрирует следующий схематический чертёж:
Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей. А если , то вектор «пэ» найдём как векторное произведение векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей снимаем их векторы нормали:
И находим направляющий вектор прямой:
Как проверить результат, рассматривалось в статье Векторное произведение векторов.
3) Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Ответ:
На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.
Записать канонические уравнения прямой
Это пример для самостоятельного решения. Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот).
Полное решение и ответ в конце урока.
Во второй части урока мы рассмотрим взаимное расположение прямых в пространстве, а также разберём задачи, которые связаны с пространственными прямыми и точками. Терзают меня смутные ожидания, что материала будет прилично, поэтому лучше всё-таки сделать отдельную веб страницу.
Решения и ответы:
Пример 4: Ответы:
Пример 6: Решение: Найдём направляющий вектор прямой:
Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ: («игрек» – любое)
Пример 8: Решения и ответы:
в) Найдём направляющий вектор прямой: . Параметрические уравнения прямой составим по точке (можно выбрать точку «бэ») и направляющему вектору :
Пример 10: Решение: Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой. Пусть , тогда: . Точка . Найдём направляющий вектор прямой, используем формулу:
Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено