Вероятность суммы двух событий. Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.
Другими словами, верна формула:
 |
| Событие A |
 |
| Событие B |
 |
| Событие A + B |
 |
Событие  |
Проведем доказательство утверждения 1 на примере геометрического определения вероятности.
Если площадь произвольной фигуры F обозначить символом S (F) , то из рисунка 1 легко установить справедливость равенства:
которое словами можно выразить так: «Площадь фигуры A + B равна сумме площадей фигур A и B минус площадь фигуры ».
Если обе части равенства (2) разделить на число S (Ω) , то мы получим равенство
с помощью которых равенство (3) преобразуется к виду (1), что и завершает доказательство утверждения 1.
Доказательство утверждения 1 для классического определения вероятности проводится аналогичным образом, и мы оставляем его читателю в качестве полезного упражнения.
Несовместные события
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два события A и B называют несовместными, если они не пересекаются.
Другими словами, события A и B несовместны, если
ЗАМЕЧАНИЕ 1. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие B является подмножеством события 
, то есть 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие A является подмножеством события 
, то есть 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если события A и B несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.
Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если события A и B несовместны, то вероятность суммы событий A + B равна сумме вероятностей событий A и B .
Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула
Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если появление одного из этих событий никак не влияет на вероятность появления второго события.
ЗАМЕЧАНИЕ 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия, и их не следует путать.
Справедливо следующее утверждение.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Другими словами, для двух независимых событий A и B верна формула
Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.
ПРИМЕР 1. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3 , а на красной игральной кости выпадет число 4 .
РЕШЕНИЕ. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все 36 возможных вариантов пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. Первая строка таблицы – это числа, выпавшие при бросании синей кости, а первый столбец таблицы – это числа, выпавшие при бросании красной кости. На пересечении строки и столбца указана пара чисел, выпавших на двух костях.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 , 1 | 1 , 2 | 1 , 3 | 1 , 4 | 1 , 5 | 1 , 6 |
| 2 | 2 , 1 | 2 , 2 | 2 , 3 | 2 , 4 | 2 , 5 | 2 , 6 |
| 3 | 3 , 1 | 3 , 2 | 3 , 3 | 3 , 4 | 3 , 5 | 3 , 6 |
| 4 | 4 , 1 | 4 , 2 | 4 , 3 | 4 , 4 | 4 , 5 | 4 , 6 |
| 5 | 5 , 1 | 5 , 2 | 5 , 3 | 5 , 4 | 5 , 5 | 5 , 6 |
| 6 | 6 , 1 | 6 , 2 | 6 , 3 | 6 , 4 | 6 , 5 | 6 , 6 |
Благоприятным является только один исход, а именно, клетка с результатом 4 , 3 , окрашенная в таблице желтым цветом. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что на синей игральной кости выпадает число 3 , а на красной игральной кости выпадает число 4 , равна .
Теперь рассмотрим случайный эксперимент, описанный в примере 1, с другой стороны. Для этого обозначим буквой A случайное событие, состоящее в том, что на синей игральной кости выпадает число 3 , а буквой B — случайное событие, состоящее в том, что на красной игральной кости выпадает число 4 . События A и B являются независимыми событиями, а их вероятности равны:
Событие состоит в том, что на синей игральной кости выпадет число 3 , а на красной игральной кости выпадет число 4 . Поскольку,
то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей формула (4) верна.
ПРИМЕР 2. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9 . Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8 . Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
РЕШЕНИЕ. Обозначим буквой A случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает первый стрелок, а буквой B обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает второй стрелок. Тогда событие A + B означает, что мишень поражена, а событие означает, что в мишень попали оба стрелка. По условию
а поскольку события A и B независимы, то в силу формулы (4)
Учебник по теории вероятностей
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как $A \subset B$.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
Если случайные события $A_1, A_2, . A_n$ образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство $P(A_1)+P(A_2)+. +P(A_n)=1.$ Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.
Примеры решений задач с событиями
Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;
— вынули черный шар из первого ящика,
;
В – белый шар из второго ящика,
;
— черный шар из второго ящика,
.
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей
, .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.
Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Пусть А – попадание первого стрелка, ;
В – попадание второго стрелка, .
Тогда — промах первого, ;
Найдем нужные вероятности.
а) АВ – двойное попадание,
б) – двойной промах, .
в) А+В – хотя бы одно попадание,
г) – одно попадание,
Пример. Решить задачу, применяя теоремы сложения и умножения. Мастер обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0,4, второй — 0,6, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены: а) ни один станок не потребует внимания мастера, б) ровно 1 станок потребует внимания мастера.
Вводим базовые независимые события $A_i$ = (Станок $i$ потребовал внимания рабочего в течение смены), $i=1, 2, 3$. По условию выписываем вероятности: $p_1=0,4$, $p_2=0,6$, $p_3=0,3$. Тогда $q_1=0,6$, $q_2=0,4$, $q_3=0,7$.
Найдем вероятность события $X$=(Ни один станок не потребует внимания в течение смены):
$$ P(X)=P\left(\overline \cdot \overline \cdot \overline\right)= q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,6\cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,168. $$
Найдем вероятность события $Z$= (Ровно один станок потребует внимания в течение смены):
$$ P(Z)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline\right) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 =\\ = 0,4\cdot 0,4 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,6 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,4 \cdot 0,3 = 0,436. $$
Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
А – формула содержится в первом справочнике;
В – формула содержится во втором справочнике;
С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
Вероятность наступления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?
Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1, A_2, . A_n$, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
$$ P(A)=1-P\left(\overline\right)\cdot P\left(\overline\right)\cdot . \cdot P\left(\overline\right)= 1-q_1 \cdot q_2 \cdot . \cdot q_n. $$
Если события $A_1, A_2, . A_n$ имеют одинаковую вероятность $p$, то формула принимает простой вид:
Примеры решений на эту тему
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям , и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:
Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула .
Приняв во внимание, что, по условию, (следовательно, ), получим
Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:
Итак, , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
Учебник по теории вероятностей
Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события $B$ при дополнительном условии, что произошло событие $А$.
Условной вероятностью $P_A(B)=P(B|A)$ (два обозначения) называют вероятность события $В$, вычисленную в предположении, что событие $А$ уже наступило.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
$$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$$
В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:
Примеры решений на условную вероятность
Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.
Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .
Этот же результат можно получить по формуле
.
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.
Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .
Искомая условная вероятность
Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?
Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В — маршрута №2.
Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.
Так как все эти события совместны, то:
отсюда искомая вероятность
Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?
Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А — появление первой карты такой масти, В — появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:
,
где (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая — 8).
События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине «Математика и информатика»
Учебное пособие по дисциплине «Математика и информатика» для студентов гуманитарных специальностей очной формы обучения. /Сост. Егорова Э.В., Панюков Д.И., Тонких А.П. – Тольятти: ТГУ, 2007.
В учебном пособии рассмотрены вопросы по математике: аксиоматический метод, теория множеств, основы теории вероятностей и математической статистики, а также вопросы по информатике: алгоримизация и программирование.
Изложено содержание теоретических вопросов по разделам математики и основам информатики в соответствии со стандартом для гуманитарных специальностей. Рассмотрены примеры и даны вопросы для контроля по каждой теме.
Составители: Егорова Э.В., Панюков Д.И., Тонких А.П.
Утверждено редакционно-издательской секцией методического совета института.
© Тольяттинский государственный университет, 2007