1. Соотношение между углами и сторонами треугольника
На стороне \(AB\) отметим точку \(D\) такую, что \(AD=AC\). Это возможно, ведь по условию \(AC < AB\).
Обозначим ∠ \(ACD=\) ∠ \(1\), ∠ \(ADC=\) ∠ \(2\). Точка \(D\) лежит между \(A\) и \(B\), поэтому ∠ \(1
Треугольник \(ADC\) — равнобедренный, углы при основании равны, ∠ \(1 =\) ∠ \(2\). Значит, ∠ \(2
Угол ∠ \(2=\) ∠ \(BCD +\) ∠ \(B\) как внешний угол треугольника \(BCD\), значит ∠ \(2 >\) ∠ \(B\). Но ∠ \(2\) ∠ \(B\).
Справедлива и обратная теорема.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Следствия
Следствие 1 . Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Следствие 2 . Если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Следствие 3 . В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Доказательство
Рассмотрим треугольник \(ABC\) и докажем, что \(AB < AC + BC\).
Продолжим сторону \(AC\) и отложим отрезок \(CD = BC\).
Треугольник \(BCD\) — равнобедренный, следовательно, ∠ \(1 = \) ∠ \(2\).
В треугольнике \(ABD\) очевидно, что ∠ \(ABD >\) ∠ \(1\), а это значит, что ∠ \(ABD >\) ∠ \(2\).
Так как против большего угла лежит большая сторона, \(AB < AD\), а \(AD = AC + BC\), значит, \(AB < AC + BC\).
Следствие 4 . Для любых трёх точек \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
\(AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < AB + AC\).
Есть 3 числа. Нужно определить, могут ли они быть сторонами треугольника?
Если сумма любых двух чисел (из трех заданных) больше третьего, то они могут быть длинами сторон треугольника.
Про треугольник вообще — согласна с Игорем Князевым. А то, что он не является прямоугольным, доказывается следующим образом. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Возьми квадрат самой длинной стороны и сравни с суммой квадратов двух оставшихся. Если равенство верно — треугольник прямоугольный, нет — не прямоугольный.
Для любого треугольника длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон (неравенство треугольника)
Свойства сторон и углов треугольника
Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.
Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника.
Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.
Сумма углов треугольника равна 180°
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.
где α – больший угол треугольника.
Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.
где β – меньший угол треугольника.
Определить существование треугольника по трем сторонам
У треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Иначе две стороны просто «лягут» на третью и треугольника не получится.
Пользователь вводит длины трех сторон. Программа должна определять, может ли существовать треугольник при таких длинах. Это значит, необходимо сравнить суммы всех пар сторон с оставшейся третьей стороной. Чтобы треугольник существовал, сумма всегда должна быть больше отдельной стороны или, по крайней мере, не меньше, если учитывать так называемый вырожденный треугольник.
Поскольку всего три стороны, то можно составить три варианта сложения двух сторон: a + b , b + c , a + c . Первую сумму сравниваем с оставшейся стороной c , вторую — с a и третью — с b . Если хотя бы в одном случае сумма окажется не больше третьей стороны, то делается вывод, что треугольник не существует.
print("Стороны:") a = float(input("a = ")) b = float(input("b = ")) c = float(input("c = ")) if a + b > c and a + c > b and b + c > a: print("Треугольник существует") else: print("Треугольник не существует")
Можно решить задачу сложнее. Если требуется также определить, какая из сторон больше суммы двух других, то решение может быть таким:
print("Длины сторон треугольника:") a = float(input("a = ")) b = float(input("b = ")) c = float(input("c = ")) flag = '' if a + b > c: if a + c > b: if b + c > a: print("Треугольник есть") else: flag = 'a' else: flag = 'b' else: flag = 'c' if flag != '': print("Треугольника нет") print("'%s' > суммы других" % flag)
Особого смысла использовать переменную flag здесь нет. Она просто позволяет лишний раз не писать в программе строки, информирующие о том, что треугольник не существует.
Пример выполнения программы:
Длины сторон треугольника: a = 4 b = 5 c = 10 Треугольника нет 'c' > суммы других
Более изящным решением является использование оператора множественного ветвления языка программирования Python: if-elif-else.
print("Длины сторон треугольника:") a = float(input("a = ")) b = float(input("b = ")) c = float(input("c = ")) flag = '' if a + b c: flag = 'c' elif a + c b: flag = 'b' elif b + c a: flag = 'a' else: print("Треугольник есть") if flag != '': print("Треугольника нет") print("'%s' > суммы других" % flag)
Здесь сравнение происходит от обратного: утверждается, что сумма двух сторон меньше или равна третьей. Если это так (утверждение верно), то треугольника не существует. «Слишком длинная сторона» определяется в зависимости от того, в заголовке какой ветки логическое выражение возвращает истину.
X Скрыть Наверх
Решение задач на Python