Центр окружности по двум точкам и углу
Дуга окружности задана координатами двух точек и углом между прямой, соединяющей эти точки, и касательной к окружности.
Задача найти координаты цента и углы раскрыва относительно этого центра. Идеи?
alexru ★★★★
04.08.12 23:45:05 MSK
Бамажка + ручка + пять-десять минут времени
И да, тему — в talks, разработка к ней никакого отношения не имеет
Eddy_Em ☆☆☆☆☆
( 04.08.12 23:47:37 MSK )
Последнее исправление: Eddy_Em 04.08.12 23:48:03 MSK (всего исправлений: 1)
Ответ на: комментарий от Eddy_Em 04.08.12 23:47:37 MSK
Может мне думать лень совсем, а решить нужно.
alexru ★★★★
( 04.08.12 23:51:07 MSK ) автор топика
Ответ на: комментарий от alexru 04.08.12 23:51:07 MSK
Eddy_Em ☆☆☆☆☆
( 04.08.12 23:57:13 MSK )
Ищем центр отрезка, проводим из него перпендикуляр. Длина перпендикуляра — половина длины отрезка делить на синус заданного угла. С Вас 100$, можете перечислить их в РосПил. И да, поставленная задача имеет всегда два решения (так можно две окружности провести).
AIv ★★★★★
( 05.08.12 00:09:01 MSK )
Бесплатная подсказка: по координатам концов дуги мы получаем вектор отрезка, стягивающего эту дугу. Опускаем перпендикуляр из центра этого вектора (вспоминаем формулы скалярных и векторных произведений) и находим точку пересечения его с перпендикуляром к касательной, проходящим через один из концов дуги.
Eddy_Em ☆☆☆☆☆
( 05.08.12 00:13:07 MSK )
Ответ на: комментарий от AIv 05.08.12 00:09:01 MSK
Я уже сам решил, во первых. А во вторых, задача найти координаты цента и углы начала и конца дуги относительно этого центра. Так что задача решена не поностью.
alexru ★★★★
( 05.08.12 00:15:00 MSK ) автор топика
Ответ на: комментарий от alexru 05.08.12 00:15:00 MSK
Я уже сам решил, во первых. А во вторых, задача найти координаты цента и углы начала и конца дуги относительно этого центра. Так что задача решена не поностью.
Дуга окружности задана координатами двух точек и углом между прямой
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Построить окружность по двум точкам и касательной
| На страницу 1 , 2 , 3 След. |
Построить окружность по двум точкам и касательной
02.03.2010, 10:21
Последний раз редактировалось AKM 24.05.2011, 11:13, всего редактировалось 1 раз.
Подскажите, пожалуйста, как можно решить задачу:
Дана прямая и две точки 
и 
по одну сторону от прямой. Провести через точки и окружность, касающуюся прямой.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 10:31
| Заслуженный участник |
Ну, к примеру, для построения можно воспользоваться теоремой о касательной и секущей, за исключением тривиального случая, когда параллельна прямой.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 10:40
| Заслуженный участник |
Представьте, что всё уже сделано. Нарисуйте окружность, касательную к ней и две точки на окружности. Посмотрите, как располагается центр окружности по отношению к прямой и точкам. Подвигайте мысленно точки. И решение придёт к Вам. Посмотрите, при какой конфигурации решение невозможно. Какие есть особые случаи.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 10:47
Проще всего наверно вспомнить, что центр окружности одинаково удален от двух касательных к ней.
А по сему живенько перпендикулярчик сооружаем к AB, проходящий через любую из этих двух точек, и вспоминаем свойство биссектрисы угла.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:08
| Заслуженный участник |
bot в сообщении #293804 писал(а):
Ну, к примеру, для построения можно воспользоваться теоремой о касательной и секущей, за исключением тривиального случая, когда параллельна прямой.
Да, наверное, только надо не забыть о том, что там будет два решения (за исключением того тривиального случая).
gris в сообщении #293806 писал(а):
Посмотрите, при какой конфигурации решение невозможно.
Ни при какой.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:37
Нет решений будет одно.
Потому что если бы их было два, то тогда биссектрисы внутренних односторонних углов у прямых (два перпендикуляра к AB) при секущей (исходная прямая) пересекались бы в двух точках. Но это не так.
В предыдущем посте я упомянул про любой перпендикуляр просто потому, что центр окружности может быть найден двумя способами
1) Как точка пересечения бисссектрис этих внутренних односторонних углов
2) Как точка пересечения любой из этих биссектрис с серединным перпендикуляром к AB.
Но решений все равно одно.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:44
| Заслуженный участник |
Sasha2 в сообщении #293826 писал(а):
Нет решений будет одно.
Центр окружности лежит на пересечении серединного перпендикуляра к этим двум точкам и параболы, для которой прямая является директрисой, а ближайшая к ней из этих двух точек — фокусом. Прямая и парабола пересекаются в двух точках.
Re: Задача на построение
02.03.2010, 11:50
Да немножко смешал хорду AB с диаметром.
Re: Задача на построение
03.03.2010, 11:24
Если я правильно поняла, то решение задачи будет таким: проводим через точки и прямую. К отрезку проведём серединный перпендикуляр 
. 
точка пересечения серединного перпендикуляра c исходной прямой. Проводим прямую 
симметричную относительно серединного перпендикуляра. Строим окружность диаметром равным . Получается, что 
, как касательные окружности проведенные из одной точки .
Re: Задача на построение
03.03.2010, 11:44
Наверно все-таки нужно использовать свойство секущих и касательной, когда отрезок касательной есть среднее геометрическое всей секущей и ее внешней части.
Можно действовать следуюшим образом.
1) Продолжим AB до пересечения с исходной прямой. Пусть точка пересечения M.
2) На AB, как на диаметре строим окружность.
3) Из точки M проводим к этой окружности касательную MT. Эта MT и есть среднее геометрическое того, о чем шла речь выше.
4) Осталось только по обе стороны от точки M отложить два отрезка, равные MT. Эти две точки и будут третьими точками тех двух окружностей, которые можно провести через точки A, B и так, чтобы данная прямая была касательной к ним.
Понятно, что это построение невозможно выполнить, когда AB параллельно исходной прмой. Но в этом случае анализ тривилен. AB тогда хорда параллельная искомой касательной, а третья точка данной окружности есть просто пересечение серединного перпендикуляра к AB с этой касательной.
Вот честно говоря попроще не удалось решить.
Re: Задача на построение
03.03.2010, 14:05
Sasha2 поясните, пожалуйста:
Цитата:
. по обе стороны от точки M отложить два отрезка, равные MT
В какую сторону от точки М- вправо, влево . или на какой прямой отложить два отрезка равные МТ?
Цитата:
. тех двух окружностей, которые можно провести через точки A, B
Но в условии задачи сказано про одну окружность, которая бы проходила через заданные точки и исходную прямую , являющейся касательной окружности.
Re: Задача на построение
03.03.2010, 14:27
Точка M лижит на прямой, которая является Вашей касательной.
Вот по обе стороны от точки M НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ и откладываете два отрезка равные MT.
Ну и что что сказано про одну.
Многие задачи так и формулируются.
Но решений у этой задачи две, когда AB непараллельна данной касательной и одно, когда параллельна.
1. Основные понятия
2) мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек AB = x A − x B 2 + y A − y B 2 , а если так, то квадрат расстояния AB 2 = x A − x B 2 + y A − y B 2 .
Допустим, что центр окружности находится в точке C x C ; y C , а радиус окружности равен \(R\).
Любая точка P x ; y на этой окружности находится на расстоянии \(R\) от центра \(C\), значит, справедливо равенство
x − x C 2 + y − y C 2 = R 2 .
Это и есть уравнение окружности с центром \(C\) и радиусом \(R\). Координаты всех точек, которые находятся на окружности, удовлетворяют уравнению.
Если центр окружности находится в начале координат 0 ; 0 , то уравнение имеет вид
x 2 + y 2 = R 2 .
Уравнение прямой
Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
Координаты концов отрезка A x A ; y A и B x B ; y B . Любая точка P x ; y находится на равных расстояниях от конечных точек PA = PB , конечно, равны и квадраты расстояний PA 2 = PB 2 , значит, справедливо равенство
x − x A 2 + y − y A 2 = x − x B 2 + y − y B 2 , которое и есть уравнение прямой.
После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемых
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x A + x A 2 + y 2 − 2 ⋅ y ⋅ y A + y A 2 =
= x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x B + x B 2 + y 2 − 2 ⋅ y ⋅ y B + y B 2 ;
2 ⋅ x ⋅ x B − 2 ⋅ x ⋅ x A + 2 ⋅ y ⋅ y B − 2 ⋅ y ⋅ y A + x A 2 − x B 2 + y A 2 − y B 2 = 0 ;
Как найти координаты центра по двум точкам
Как можно найти координаты центра окружности которая бы проходила через эти две точки?
Дополнен 5 лет назад
Голосование за лучший ответ
по двум точкам можно найти только одну из двух координат. и то, как функцию другой
ЦарьУченик (177) 5 лет назад
посмотрите пожалуйста по рисунку, вопрос не в том)
viv2537 Оракул (87810) не найти без 3ей точки или радиуса.
нужен радиус
ЦарьУченик (177) 5 лет назад
радиус нужно подобрать, не важно какой
Молли Маллоун Мыслитель (7988) если не важно, то можно принять эти точки как лежащие на противоположных концах диаметра окружности и центр будет в середине соединяющего их отрезка х=(х1+х2)/2 у=(у1+у2)/2
Деточка, вся беда в том, что через две точки на плоскости можно провести только ОДНУ прямую. А вот окружностей можно провести БЕСЧИСЛЕННОЕ МНОЖЕСТВО.
Похожие вопросы