Как найти площадь пятиугольника с разными сторонами

Найти площадь пятиугольника разными способами

1 способ у вас нарисован: достроить до прямоугольника:
S1(прям) = 6*14 = 84 клетки.
А потом вычесть два треугольника. Площадь прямоугольного
треугольника равна половине произведения катетов.
S2(тр1) = 8*2/2 = 8 клеток, S3(тр2) = 4*4/2 = 8 клеток.
Площадь пятиугольника S = S1 — S2 — S3 = 84 — 8 — 8 = 68 клеток.

2 способ. Разбить пятиугольник на прямоугольник, треугольник и трапецию. Показан на рисунке. Площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту.
S1(прям) = 6*6 = 36, S2(тр) = 2*8/2 = 8, S3(трап) = (8+4)/2*4 = 24 клетки.
Итоговая площадь S = S1 + S2 + S3 = 36 + 8 + 24 = 68 клеток.

3 способ. По границе. Считаем все целые клетки: S1 = 62 клетки.
Считаем все клетки, через которые проходит граница.
И полученное число делим пополам.
В данном случае — только косые стороны, вертикальные и горизонтальные проходят строго по границам клеток, их не считаем.
S2 = 12/2 = 6
Итоговая площадь S = S1 + S2 = 62 + 6 = 68 клеток.

Как найти площадь пятиугольника

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.

Количество просмотров этой статьи: 248 801.

В этой статье:

Пятиугольник — это многоугольник, у которого пять углов. В подавляющем большинстве задач вы столкнетесь с правильным пятиугольником, у которого все стороны равны. Есть два основных способа найти площадь пятиугольника (в зависимости от известных вам величин).

Метод 1 из 3:

Вычисление площади по известной стороне и апофеме

Не путайте апофему с радиусом описанной окружности. Такой радиус — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника с его вершиной (а не серединой стороны). Если вам дана сторона и радиус описанной окружности, перейдите к следующей главе.
Например, дан пятиугольник со стороной 3 см и апофемой 2 см.

Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.

В нашем примере площадь треугольника = ½ х 3 х 2 = 3 квадратных сантиметра.

В нашем примере площадь пятиугольника = 5 х площадь треугольника = 5 х 3 = 15 квадратных сантиметров.

Метод 2 из 3:

Вычисление площади по известной стороне

Например, дан пятиугольник со стороной 7 см.

Разделите треугольник пополам. Для этого из вершины треугольника, которая лежит в центре пятиугольника, опустите перпендикуляр к противоположной стороне треугольника, которая равна стороне пятиугольника. Вы получите два равных прямоугольных треугольника.

Основание прямоугольного треугольника — это половина стороны пятиугольника. В нашем примере основание равно ½ х 7 = 3,5 см.
Угол вокруг центра пятиугольника равен 360˚. Разделив пятиугольник на пять равных треугольников, а потом разделив каждый треугольник пополам, вы поделите угол вокруг центра пятиугольника на 10 равных частей, то есть угол прямоугольного треугольника, противолежащий основанию, равен 360°/10 = 36˚.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне.
В нашем примере для угла в 36˚ противолежащей стороной является основание, а прилежащей — высота.
tg 36˚ = противолежащая сторона/прилежащая сторона
В нашем примере tg 36˚ = 3,5/высота
Высота х tg 36˚ = 3,5
Высота = 3,5/tg 36˚
Высота = 4,8 см (примерно)

В нашем примере площадь прямоугольного треугольника = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 квадратных сантиметров.

В нашем примере площадь пятиугольника равна 8,4 х 10 = 84 квадратных сантиметра.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось fred1996 04.12.2017, 15:15, всего редактировалось 2 раз(а).

Пусть у нас имеется выпуклый пятиугольник $ABCDE$ с таким свойством, что все 5 треугольников, образованных соседними точками, как $ABC$ и остальные по кругу, имеют единичную площадь.
1. Вычислить площадь всего пятиугольника.
2. Доказать, что существует бесконечное количество неконгруэнтных пятиугольников с указанным свойством.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 16:33

Последний раз редактировалось wrest 04.12.2017, 16:35, всего редактировалось 1 раз.

fred1996 в сообщении #1271919 писал(а):
1. Вычислить площадь всего пятиугольника.

Обозначим сторону пятиугольника как $x$ , диагональ же как $y$ .
Раз пятиугольник правильный, то [меньший] угол между стороной и диагональю равен $36^o$

$$\cos 36^o=\frac<\sqrt<5> Всем известно, что +1>$» /> Выражая диагональ через сторону, получаем <img decoding=$ и $ACE$ по формуле Герона и деля одну на другую, с учетом полученного выражения диагонали через сторону, получаем
$$\dfrac<S_<ABC>>>=\frac(\sqrt-1)$» /> Не обязательно по формуле Герона, можно по любой формуле — нам известны все параметры этих треугольников: их стороны <img decoding=$ и $y$ , угол между любыми двумя сторонами и синусы-косинусы-тангенсы всех этих углов

Поскольку $S_=1$ а $S_<ABCDE>=S_+S_+S_=2S_+S_$» /> то получаем <img decoding= Заслуженный участник

Поскольку в задаче не заданы прочие параметры, можно предположить, что ответ не зависит от них и равен найденному для правильного пятиугольника

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:17

Последний раз редактировалось fred1996 04.12.2017, 17:18, всего редактировалось 1 раз.

wrest
В пункте 2. Надо доказать, что существует бесконечно много таких неконгруэнтных пятиугольников.

gris в сообщении #1271962 писал(а):

А может ответов несколько?
Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:28

Заслуженный участник

fred1996 в сообщении #1271919 писал(а):

2. Доказать, что существует бесконечное количество неконгруэнтных пятиугольников с указанным свойством.

Вот тут можно поиграться со всеми такими пятиугольниками. Произвольно выбирая на плоскости три подряд идущие вершины, можно построить остальные две так, чтобы площади всех пяти треугольников из трех подряд идущих вершин были равны.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:36

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 04.12.2017, 17:38, всего редактировалось 1 раз.

Ещё можно взять правильный пятиугольник с таким свойством и применить аффинное преобразование, сохраняющее площади (сжатие и растяжение в одинаковое число раз вдоль одной и другой ортогональных осей).

— Пн дек 04, 2017 19:38:30 —

А вот даст ли это все возможные такие пятиугольники, мне так сразу не очевидно. К счастью, и не спрашивается найти все.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 17:40

Последний раз редактировалось wrest 04.12.2017, 18:00, всего редактировалось 1 раз.

12d3 в сообщении #1271972 писал(а):

Произвольно выбирая на плоскости три подряд идущие вершины, можно построить остальные две так, чтобы площади всех пяти треугольников из трех подряд идущих вершин были равны.

Конкретно на вашем чертеже они не равны.

arseniiv в сообщении #1271977 писал(а):

То есть если нарисовать правильный пятиугольник и потом смотреть на него под разными углами (издалека, чтоб не было перспективных искажений), соотношение между площадями будет сохраняться?
ХитрО 🙂

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 18:06

Заслуженный участник

arseniiv в сообщении #1271977 писал(а):
А вот даст ли это все возможные такие пятиугольники, мне так сразу не очевидно.

Если поиграть с интерактивным чертежом (построил свой и проверил площади явно), создаётся впечатление, что все. Действительно, три вершины определяют площадь треугольника и форму пятиугольника, одновременно они задают произвольное аффинное преобразование единичного правильного пятиугольника.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 18:14

Заслуженный участник

wrest в сообщении #1271979 писал(а):
Конкретно на вашем чертеже они не равны.

Угу, ошибочка там была. Теперь поправлено.
Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 18:27

Заслуженный участник

wrest в сообщении #1271979 писал(а):

А чего тут хитрого, это следует из определения определителя как отношения гиперобъёмов до и после линейного преобразования.

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 19:08

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось worm2 07.03.2022, 10:57, всего редактировалось 1 раз.

А у меня рабоче-крестьянское решение 1-го пункта, с рисунком.
Но учить $$\rm\bf<\Xy-pic>$» /> или эти ваши геогебры лень Поэтому продолжу жрать кактус MS Word. <img decoding=$
Буковками $S$ с индексами обозначены площади: $S_0$ — площадь маленького пятиугольника, остальные — площади треугольников.
Площадь всего большого пятиугольника обозначим $S$ .
Я отметил на рисунке точки A, B, C, D, E, F, больше не стал отмечать, надеюсь, что хватит.
Итак, $$S_<CAF>=S_5+S_6+S_7=S_7+S_8+S_9=S_=\dots=1$» />. Поскольку у треугольников общее основание CF, то из равенства площадей следует равенство высот, а значит, AD параллельно CF. То же самое для 4 других случаев, например, EB параллельно CD. Значит, треугольники ADC и AEB подобны, их площади относятся как квадраты длин соответствующих сторон: <img decoding=$
$\frac=\frac=\frac,$
откуда заключаем, что $S_3=S_5$ , это же верно для всех остальных площадей с нечётными индексами: $S_<2n-1>=x$» />. В свою очередь, и площади с чётными индексами (кроме <img decoding= ) равны друг другу: $S_<2n>=y$» />, ибо <img decoding= , имеем 3 неизвестных: $x$ , $y$ , $z$ и 3 уравнения на них:
$\left\< \begin \frac&=&\frac\\ \frac&=&\frac\\ 2x+y&=&1 \end \right.$
Из 1-го уравнения: $y=x^2z$ .
Из 2-го: $zx=x+y=x+x^2z$ , откуда $x=(z-1)/z$ .
Из 3-го: , или $z^2-z-1=0$ .
Уравнение имеет единственный положительный корень $$z=(1+\sqrt<5>)/2$» />, откуда: <img decoding=$ Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 04.12.2017, 19:49, всего редактировалось 1 раз.

fred1996 в сообщении #1271999 писал(а):
Не прошло и пяти часов.

А чего, решения предыдущих участников уже не решения? Берём, скажем, что написал wrest и дополняем моим замечанием об аффинных преобразованиях с определителем 1 — и внезапно решаются сразу обе подзадачи. Построение 12d3 наглядно показывает это семейство решений. То, что других решений и нет, вы не спрашивали.

fred1996 в сообщении #1271999 писал(а):

Ну и второй вопрос совсем легкий. Сколько степеней свободы у этой конструкции?
Сколькими параметрами можно описать семейство таких пятиугольников?
И какими могут быть эти параметры?

Это уже тоже коллективно стало известно: соответствующими аффинными преобразованиями любого подходящего пятиугольника всё исчерпывается, так что параметров 6 минус 1, чтобы закрепить определитель, минус 2, чтобы не учитывать параллельные переносы, минус по желанию 1 для нивелирования поворотов, итого 3 или 2. Ну и смысл параметрам можно по-разному давать, смотря какие параметры брать. Например, можно зафиксировать одну из вершин и рассматривать угол при ней и отношение инцидентных ей сторон, или направить одну из сторон по оси абсцисс некой декартовой системы и параметрами назначить координаты второй вершины другого инцидентного фиксированной вершине ребра. Или можно рассматривать, каким преобразованием мы получили интересующий пятиугольник из правильного, и взять какие-то более естественные характеристики этого преобразования: скажем, след и…

Re: Найти площадь пятиугольника
04.12.2017, 19:43

Заслуженный участник

Я решал так. Рассмотрим координаты вершин в базисе векторов $$\overrightarrow<AB>,\overrightarrow$» />: <img decoding=$
Из равенства площадей следует параллельность сторон пятиугольника несмежным диагоналям. Параллельность двух отрезков равносильна равенству отношений проекций этих отрезков на координатные оси. Итого получаем 4 уравнения:
$\left\<\beginy_1-1 = 0\\ x_2-1=0 \\x_2-x_1=y_1-y_2\\ (x_1-1)y_2=y_1x_2 \\ \end\right .$
Поскольку тут присутствует уравнение второй степени, будут два решения, одно из них — звезда, а второе — выпуклый пятиугольник. $x_2=y_1=1,\,\, x_1=y_2 = \frac$ .
Вот мы получили, что задав три точки, мы задаем пятиугольник. Ответ на первый вопрос таков: $$\frac<S_<ABCDE>>> = \frac+S_+S_>> = 1 + \frac+1 = 2+ \frac = \frac$» />. <table width=$ Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ] На страницу 1 , 2 След.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Как найти площадь пятиугольника? По какой формуле? Заранее благодарю:)

разбей его на простые фигуры, найди их площади и сложи результаты!

если пятиуголник правильный, то
S = (5/4)*t*t*ctg(pi/5)
t — длина стороны
pi — число пи =)

За полчаса ни одного решения не нашли.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Как найти площадь пятиугольника с разными сторонами

Найти площадь пятиугольника разными способами

Как найти площадь пятиугольника

Вычисление площади по известной стороне и апофеме

Вычисление площади по известной стороне

Научный форум dxdy

Кто сейчас на конференции

Как найти площадь пятиугольника? По какой формуле? Заранее благодарю:)

Добавить комментарий Отменить ответ