КОРРЕКТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»
КОРЕНЬ N-Й СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА / СТЕПЕНЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ / ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И СТЕПЕННО-ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / ROOT OF THE N-TH DEGREE FOR A REAL NUMBER / THE DEGREE OF A REAL NUMBER WITH A REAL EXPONENT / EXPONENTIAL AND POWER-EXPONENTIAL EQUATIONS
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Яремко Наталия Николаевна, Глебова Мария Владимировна
В статье рассматривается вопрос о корректности определения понятий корня n-й степени из действительного числа и степени действительного числа с произвольным действительным показателем. Мы проанализируем определения этих понятий в ряде различных школьных учебников и вузовских пособий, обсудим возникающие отличия и противоречия; приведем решения показательных и степенно-показательных уравнений в зависимости от тех подходов, которые были выбраны авторами. Решение проблемы корректного определения указанных понятий лежит за пределами школьного курса математики и уходит в теорию аналитических функций, но, тем не менее, мы предложим пути, которые, на наш взгляд, возможно реализовать при обучении математике в общем образовании.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Яремко Наталия Николаевна, Глебова Мария Владимировна
Размышления об определениях четной и нечетной функции в школьном курсе математики
Использование системы заданий по теме «Показательные уравнения» для обобщения и систематизации знаний школьников
Квадратичная функция как мотивирующий инструмент решения экстремальных задач
Несколько замечаний об изложении метода математической индукции в школьных учебниках по математике
Приемы решения некоторых комбинированных уравнений
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
CORRECTNESS OF DETERMINING THE DEGREE OF A REAL NUMBER WITH A RATIONAL EXPONENT
The article considers correctness of definition for the root of the n-th degree from a real number and the degree of a real number with an arbitrary real exponent. The article analyzes the definitions of these concepts in different school textbooks and university textbooks, and discusses the differences and contradictions that arise. The article solves exponential and power-exponential equations depending on those approaches that were chosen by the authors. The solution to the problem of correctly defining these concepts lies outside the school mathematics course and goes into the theory of analytic functions. The authors of the article suggest ways that, in their opinion, can be implemented when teaching mathematics.
Текст научной работы на тему «КОРРЕКТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ»
КОРРЕКТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Н. Н. Яремко, М. В. Глебова
Аннотация. В статье рассматривается вопрос о корректности определения понятий корня п-й степени из действительного числа и степени действительного числа с произвольным действительным показателем. Мы проанализируем определения этих понятий в ряде различных школьных учебников и вузовских пособий, обсудим возникающие отличия и противоречия; приведем решения показательных и степенно-показательных уравнений в зависимости от тех подходов, которые были выбраны авторами. Решение проблемы корректного определения указанных понятий лежит за пределами школьного курса математики и уходит в теорию аналитических функций, но, тем не менее, мы предложим пути, которые, на наш взгляд, возможно реализовать при обучении математике в общем образовании.
Ключевые слова: корень п-й степени из действительного числа, степень действительного числа с действительным показателем, показательные и степенно-показательные уравнения.
CORRECTNESS OF DETERMINING THE DEGREE OF A REAL NUMBER WITH A RATIONAL EXPONENT
N. N. Yaremko, M. V. Glebova
Abstract. The article considers correctness of definition for the root of the n-th degree from a real number and the degree of a real number with an arbitrary real exponent. The article analyzes the definitions of these concepts in different school textbooks and university textbooks, and discusses the differences and contradictions that arise. The article solves exponential and power-exponential equations depending on those approaches that were chosen by the authors. The solution to the problem of correctly defining these concepts lies outside the school mathematics course and goes into the theory of analytic functions. The authors of the article suggest ways that, in their opinion, can be implemented when teaching mathematics.
© Яремко Н. Н., Глебова М. В., 2020
Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License The content is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
Keywords: root of the n-th degree for a real number, the degree of a real number with a real exponent, exponential and power-exponential equations.
Математические понятия корня п-й степени из действительного числа и степени действительного числа с произвольным показателем достаточно тесно связаны между собой. При решении показательных и степенно-показательных уравнений необходимо оперировать ими обоими, грамотно переходить от одного к другому, опираясь на определения из различных источников: школьных учебников, пособий и руководств по решению задач. Равносильность определений и вопрос о посторонних решениях особенно важен при тестовой системе контроля, когда проверке подлежит лишь ответ задачи, а сам процесс решения или пояснения при этом не рассматриваются. Возникающие разночтения при определении указанных понятий и решение показательных, степенно-показательных уравнений мы хотели бы обсудить в статье.
Статья имеет четыре раздела. В разделах 1-3 обсуждаются определения степени действительного числа с целым показателем, корня п-й степени из действительного числа, степени действительного числа с произвольным действительным показателем; в разделе 4 рассмотрены решения степенно-показательных уравнений. В конце статьи — заключение.
Определения, которые мы обсудим, являются генетическими. Они формулируются указанием ближайшего рода и видового отличия; видовое отличие дает способ получения определяемого понятия. Например: корень п-й степени из действительного числа а, а > 0 — это число (число — родовое понятие), п-я степень которого равна а (п-я степень которого равна а — это видовое отличие, в котором описан способ получения корня, то есть определяемого понятия). Такова же структура двух других определений.
Для генетических определений существуют формально-логические требования корректности [1]:
1) определение должно быть соразмерным;
2) определение не должно содержать порочного круга;
3) целесообразно определять объект через ближайший род;
4) определение должно быть четким и ясным, раскрывающим определенный набор свойств понятия.
В теории и методике обучения математике эти требования также называются правилами правильного определения понятий. При выполнении формально-логических требований корректности объем определяемого понятия определен однозначно. С точки зрения формальной логики понятия, введенные с помощью различных определений, называются эквивалентными или синонимичными, если их объемы совпадают [2]. Таким образом, определение корректно, если выполнены формальнологические требования корректности, и, кроме того, если определения различны, они должны быть эквивалентными, то есть объемы определяемых понятий в обязательном порядке должны совпадать [3].
Проанализируем определения понятий степени действительного числа с произвольным показателем, корня n-й степени из действительного числа с точки зрения требования корректности.
1. Степень действительного числа с целым показателем
Степень я» в различных учебниках определена стандартно. Дополнительным соглашением вводится нулевая и первая степени, то есть отдельно определено ап для n = 1 и n = 0; также дополнительным соглашением определяются натуральные степени числа 0.
Определение. «Под я™, где и = 2,3,4,5. понимают произведение n одинаковых множителей, каждым из которых является
число а. Выражение я» называют степенью, число а — основанием степени, число п — показателем степени» [4, с. 82]. «Степенью числа а с показателем 1 называют само это число: я1 = я» [4, с. 83]. «Если я Ф 0, то а° = 1» [4, с. 96].
Подобное определение в учебнике [5]: «Степенью числа а с натуральным показателем л, большим 1, называют выражение я», равное произведению л множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называют выражение о1, равное а» [5, с. 39]. «Степенью числа а, где а ф 0, с нулевым показателем называется выражение я0, равное 1. Выражение 0° не имеет смысла» [5, с. 45]. Аналогичные определения сформулированы и в учебниках [6, с. 15; 7, с. 14; 8, с. 7].
Возведение действительного числа а (л Ф 0) в целую степень л, когда п — целое отрицательное число, в учебнике [9, с. 215]
определяется формулой: я» = —а «выражению 0″ при целом отрицательном л и при п = 0 не приписывают никакого значения; говорят, что это выражение не имеет смысла» [9, с. 215]. В учебниках [10 с. 105; 11, с. 52; 12, с. 45] формула записана в другом виде: «для любого числа а ф 0 и целого отрицательного числа л определим: я-» =
Мы считаем, что принятый в учебниках подход для определения степени я» при л = 1 и л = 0, а также степени числа я = 0 с методической точки зрения вполне оправдан. Таким образом, нет разночтений в определении степени действительного числа с целым показателем, в различных учебниках понятие определено корректно.
2. Корень п-й степени из числа а, то есть V«
Это понятие вначале вводится для положительного числа а, а > 0, и натурального л; затем для отрицательного а, а < 0 при нечетном л. Далее определяются арифметический корень из неотрицательного и
отрицательного чисел. Анализ школьных учебников выявляет ряд разночтений. Во-первых, оказывается, что случай п = 1 трактуется по-разному. Далее это приводит к разночтениям, во-вторых, как вводить степень п^» для л = 1?
Однозначная и последовательная позиция выдержана только в некоторых учебниках, например, в учебниках [4; 13] авторского коллектива профессора А. Г. Мордко-
вича: при л = 1 не определен. При введении понятия п^ очень внятно и последовательно эта точка зрения утверждается: сделано ограничение, что и Ф 1; затем при решении показательных и степенно-показательных уравнений авторы указывают в качестве посторонних те корни, при которых показатель степени корня обращается в 1 (см. примеры ниже). Обратимся подробнее к учебникам. В учебнике [13, с. 36-37] отдельно определяется корень п-й степени из неотрицательного числа, с уточнением: п = 2, 3, 4, 5, . и корень нечетной степени из отрицательного числа для п = 3, 5, 7, .
Определение. «Корнем п-й степени из неотрицательного числа а (п = 2, 3, 4, 5, . ) называют такое неотрицательное число, при возведении в степень л которого получается число а. Это число обозначают \’я» [13, с. 36].
Определение. «Корнем нечетной степени п из отрицательного числа а (п = 3, 5, . ) называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень?/ получается число а. Это число обозначают у’ я» [13, с. 38].
Аналогично в учебниках [14, с. 100; 15, с. 232] при определении корня степени п из числа Ь четко оговорено, что «п — натуральное, большее или равное 2», и такое же ограничение на п дается при определении арифметического корня степени п из неотрицательного числа [14, с. 106; 15, с. 232]. В этих учебниках однозначно определено, что п не может быть равным 1.
В учебниках других авторов предложен иной подход. Так, в [16, с. 121; 17, с. 207]
корнем п-й степени из числа а (п — произвольное либо любое натуральное число) «называется такое число, п-я степень которого равна а», и «арифметическим корнем п-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п-я степень которого равна а» [16, с. 122; 17, с. 207]. Также в учебнике [18, с. 201] определение арифметического корня п-й степени из неотрицательного числа рассматривается для п, где п — натуральное число. Получается, что п может быть равным 1, поскольку 1 — натуральное?
В учебниках [19, с. 18; 20, с. 148] в самом определении арифметического корня натуральной степени сказано, что и > 2. Значит, п не может быть равным 1 при рассмотрении корня из положительного числа. Далее в этих же учебниках определяется корень нечетной степени из отрицательного числа «»+У;1«для любого нечетного натурального 2А-+1» [19, с. 19; 20, с. 149]. Однозначной позиции не просматривается, может ли п быть равным 1 или нет. Аналогично в учебнике [21]: в предисловии к главе 2 говорится, что «затем от квадратных корней перейдем к корням натуральной степени п (п ф 1)» [21, с. 46], хотя тексте при определении корня п-й степени это условие не оговорено [21, с. 52].
В учебнике Л. Г. Петерсон, с одной стороны, корень /7-й степени Vя на с. 4 определяется для «и = 2, 4, 6, 8, . — четное натуральное. » [12, с. 4] и дается определение арифметического корня, а далее, когда п = 3, 5, 7, 9, . дается определение корня п-й степени из действительного числа. С другой же стороны, на с. 51 имеется фраза: «ясно, что а- = \’ат = ат,т
[12, с. 51], то есть п = 1 допускается.
Таким образом, можно констатировать, что среди авторов школьных учебников нет единой точки зрения по этому вопросу. На наш взгляд, есть два варианта прийти к общему мнению. Разделить точку зрения профессора А. И. Маркушевича [22, с. 127] и профессора А. Г. Мордковича, исключающих?/ = 1 при определении корня т/а. Но
можно предложить и не противоречащий теории аналитических функций другой вариант-определить при п = ¡дополнительным отдельным соглашением: \’а = а. Целесообразность такого дополнительного соглашения основана на том, что извлечение корня первой степени обратно к операции возведения в первую степень, что во всех учебниках принято дополнительным соглашением.
3. Степень числа с рациональным (дробным) показателем
В учебниках старших классов (в 10-м
Определение. «Если — — обыкновенная 4 I
дробь (р>0, д>0, ц Ф 1) и а > 0, то под а’
понимают , т. е. а^ — чаР »[13, с. 55]. р
Определение. «Если — — обыкновенная дробь ( 0, то под а 1 понимают -£» [13, с. 55]. аЧ
Много внимания уделено введению понятия степени положительного числа а с
дробным показателем а» в учебниках авторов М. Я. Пратусевич [15], А. Н. Колмогорова [17], Г. К. Муравина [21]. Сначала в этих учебниках формулируют определение степени с рациональным показателем для любого целого числа т и любого натурального числа и > 2 и а > 0 как \’ат . Отдельным предложением в определении говорится, что степень числа 0 определена только для положительного показателя: О» = 0, где г — положительное рациональное число [15, с. 242]. Подобный подход — в учебниках А. Н. Колмогорова [17, с. 218], Г. К. Муравина [21, с. 67]. Далее в учебнике М. Я. Пратусевич сформулирована «теорема о корректности определения. » и доказывается, что я» = а**, где к 6 N [15,
с. 243]. У А. Н. Колмогорова это доказывается в замечании 2 [17, с. 219]. В этом же параграфе в учебнике А. Н. Колмогорова в замечании 3 [17, с. 219], а у М. Я. Пратусевич [15, с. 244] отмечается, что рациональная степень отрицательного числа не определена, нельзя отрицательные числа возводить в рациональную степень.
В некоторых учебниках не дается определение, а на основании свойств степени и арифметического корня обосновывается
равенство = Уат для любого целого
числа т и любого натурального числа и > 2 и а > 0» [19, с. 24; 20, с. 156].
А что с п = 1? На этот вопрос либо нет ответа, либо он подразумевается, что при п = 1 получается а в целой степени. Четко оговорен случай п = 1 не у всех авторов. Так, в учебнике автора М. Я. Пратусевич сначала сразу после определения отмечено, что «при п = 1 выражение (ш есть степень с целым показателем, определенная в курсе основной школы» [15, с. 243], а позже говорится о том, что «в отдельном рассмотрении нуждается случай п = 1 (поскольку не определен корень первой степени). Для этого случая утверждение корректности
выглядит так: Пусть а > 0, т
тогда ат = а~» [15, с. 243].
Вопрос относительно п = 1 отдельно не рассматривается в учебниках [12] и [18]: в учебнике В. В. Козлова [18], как и для корня п-й степени при определении степени с рациональным показателем, указано, что «п -натуральное число» [18, с. 202], без каких-либо уточнений; в учебнике Л. Г. Петерсон [12, с. 51] в определении степени с рациональным показателем имеется запись «и е ЛЬ> и даже уточняется, что
пТ = \’ат = (1™,тег» [12, с. 51].
Имеются неточности: в учебнике Ю. М. Колягина: п Е]¥,а ниже «формула справедлива для любого целого числа т и любого натурального п > 2» [20, с. 156]. Обратим внимание, что если раньше у А. Н. Колмогорова при определении корня п-й степени п могло принимать значение 1 [17, с. 207], то в определении степени с дробным показателем сказано, что п > 1 [17, с. 218].
Для того чтобы определить показательную функцию, далее в учебниках рассматривается степень положительного числа с иррациональным показателем, при этом одни авторы используют понятие предела последовательности, а другие иллюстрируют вводимое понятие на примерах, дают лишь описание. В итоге в той или иной форме делается вывод, что степень определена для любого а > 0 и любого действительного показателя х. Если а = 0, то О*’ определено только при х > 0 и считают, что 0Ж = 0 при х > 0» [20, с. 159]. В учебнике М. Я. Пратусевич четко сказано, что «если
определена при г > 0» [15, с. 244]. Наиболее подробно об этом сказано в учебнике А. Г. Мордковича [13] при введении показательной функции: «Второе важное замечание. Обычно не рассматривают показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а, удовлетворяющим неравенству а < 0, показательная функция у = п-1" при
а = 1 «вырождается» в постоянную функцию у = 1 — это неинтересно. Если а = 0, то
Подводя итог нашему краткому обзору, мы склоняемся к тому, что можно поддержать точку зрения, высказанную в учебнике авторского коллектива А. И. Маркушеви-
ча [22, с. 140]: степень я^, а > 0, определяется для целого m, натурального п и несократимой дроби —; случай п = 1 ввести ДОга
4. Показательные и степенно-показательные уравнения
Различия, которые мы выявили в учебниках при определении степени аа числа а с произвольным показателем а, существенно влияют на множество решений степенных и степенно-показательных уравнений. Приведем примеры.
Рассмотрим варианты решения уравнения из учебника Ш. А. Алимова и др., упражнение № 226 (4) [19, с. 79]:
Если ориентироваться на учебники [13-15; 19; 20], то уравнение (1) не имеет решений, так как х-натуральное должно быть больше либо равным 2 по определению корня п-й степени из числа а. В то же время в соответствии с учебниками [16-18] х = 1 является корнем уравнения (1). В учебниках [12; 21] нет однозначной аргументации относительно того, будет ли решением х = 1.
Аналогичная ситуация возникнет, если школьник решает уравнение
бЧч — 13’Уб + 6’У4 = 0 [23]. (2) Обе части уравнения делим на 6, вводим замену, г = 1-, решаем рациональное уравнение относительно /. Получаем:
— Следовательно,.* = 1,х = -1.
А дальше — в зависимости от учебника. Если ориентироваться на учебники [13-15; 19; 20; 23], то уравнение (2) не имеет решений. Ели опираться на [16-18], то 1 является корнем уравнения (2). В соответствии с [12; 21] нельзя дать однозначный ответ.
В учебниках [19; 20] имеется учебный материал на отработку этого материала. Так, например: «Задача 9. Решить уравнение Мз\[5 = 225» [19, с. 79; 20, с. 227]. Находят х = 0,5 и замечают, что x должно быть больше 1 и натуральным, поэтому уравнение не имеет корней. Подобное встречаем в [13]: «Пример 5. Решить уравнение
Уб4 — V2ai»+3 + 12 = О». В решении этого уравнения сразу замечают: «поскольку х — показатель корня, х может принимать только натуральные значения, начиная с числа 2» [13, с. 105].
Далее происходит расширение понятия степени действительного числа при решении степенно-показательных уравнений [20, с. 227, с. 229]:
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
х — 3 = -1, Зх2 — Юл + 3 = 2п, п Е Z)
х -за Фа, Зх2 — Юл + 3 = 0.
Далее в упражнениях с заданием решить уравнение имеется № 699 [20, с. 229]:
3) (* + 3)* ~4 = (* + 3)^ (ответ: -4,
Поскольку теории нет, а решен лишь пример, то просматривается ориентир на то, что степень а* определена для любого а > 0 и любого действительного показателя х; если же а = 0, то О»1 определено только при х > 0; если а < 0, то выражение ах имеет смысл лишь при целых значениях х.
той, то это выражение определено лишь при f(pc) > 0. Если д(х) является натуральным, то /(^0 может принимать любые значения. Если д(х) — целое неположительное число, то /(X) не может принимать значение 0. Это соглашение, несмотря на его кажущуюся громоздкость, весьма логично, так как уравнение — это предикат вида Д.х) = 0 и прежде, чем решать его, мы должны понимать, среди каких чисел будем искать решение. Ясно, что если левая часть представляет собой выражение вида а(х~)ь(ЛГ!, то «вылавливать» те значения х, при которых а(х~) отрицательно, но целое, в общем случае тяжело и громоздко. Проще считать, что данное выражение определено лишь при я(х) > 0» [15, с. 247-248].
В пособии [24, с. 10-11] предлагается по определению считать, что при с > 0, с Ф 1 ,а(х) > 0 = сьи
и в уравнениях вида (3) записывать в ОДЗ а <х) >0, тогда
Этот же вопрос рассмотрен в учебнике 2010 г. [15], в нем говорится, что «возникает вопрос об области определения функции вида Мы будем считать, что если
И с этих позиций уравнение Xх = имеет корнем 1, а числа -1 и
-2 не являются корнями этого уравнения.
Очень часто авторы учебников и учебных пособий решения степенно-показательных уравнений и неравенств либо избегают, либо дают не вполне внятные рекомендации, либо даже противоречат себе, а среди авторитетных авторов нет единой точки зрения. Как в этом случае быть ученику? Если уравнение или неравенство такого типа требуется решить не на классной контрольной работе, а, например, на олимпиаде или итоговом испытании, когда представлен весь спектр учебников? Что считать правильным ответом? По нашему мнению, ученик должен обосновать свое решение в рамках той точки зрения, которая принята в его учебнике. Или привести все существующие подходы и соответствующие решения, показав свою эрудицию.
К счастью, такие задачи в последнее время не встречаются на олимпиадах или на итоговых экзаменах. По вполне понятным причинам составители КИМов их избегают.
Понятие «корректность» в качестве критерия позволяет оценить определение понятий, такая оценка играет важную роль как в познании, построении понятийного аппарата, так и в процессе обучения при введении новых понятий, их определении, применении и обобщении.
Как мы видим, при определении понятий корня п-й степени из действительного числа и степени действительного числа с произвольным показателем имеются разночтения, противоречия, которые говорят в целом об отсутствии корректности в этих вопросах. В дальнейшем различные подхо-
ды при введении названных понятий проявляются при решении показательных и степенно-показательных уравнений. Чтобы избежать спорных ситуаций, можно не включать такие задачи в ЕГЭ и олимпиады. Конечно, более целесообразно было бы принять единую точку зрения. Пока же этого не сделано, считать, что числовые равенства
неверны, так как выражения
не существуют и степени я^ при а < О
определены лишь для несократимой дро-
Будем рады узнать точку зрения читателей по данной проблеме и обсудить предложенные вопросы.
1. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чувашек. ун-та, 2009. 732 с.
2. Демидов И. В. Логика: учеб. пособие для юридических вузов / под ред. Б. И. Каверина. М.: Юриспруденция, 2000. 208 с.
3. Селютин В. Д., Яремко Н. Н. Обучение бакалавров математике на основе понятия «корректность»: моногр. Орел: ОГУ им. И. С. Тургенева, 2019. 184 с.
4. Мордкович А. Г. Алгебра 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. 17-е изд., доп. М.: Мнемозина, 2013. 175 с.
5. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. 8-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2008. 335 с.
6. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 кл.: учебник для организаций, осуществляющих образоват. деятельность. М.: Баласс, 2015. 224 с.
7. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. организаций / Г. В. Дорофеев, С. В. Суворова, Е. А. Бунимович [и др.]. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 287 с.
8. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. 4-е изд. М.: Просвещение, 2017. 287 с.
9. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2013. 287 с.
10. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразоват. организаций / Г. В. Дорофеев, С. В. Суворова, Е. А. Бунимович [и др.]. 5-е изд. М.: Просвещение, 2018. 320 с.
11. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра 8 кл.: учебник для организаций, осуществляющих образоват. деятельность. М.: Баласс, 2015. 240 с.
12. Алгебра: 9 класс: в 2 ч. Ч. 2 / Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханов, А. Ю. Петрович [и др.]. М.: Ювента, 2017. 200 с.
13. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. организаций (базовый и углубленный уровни). 2-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2014. 311 с.
14. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников [и др.]. 8-е изд. М.: Просвещение, 2009. 430 с.
15. Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Головин А. Н. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: профильный уровень. М.: Просвещение, 2009. 415 с.
16. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. 14-е изд. М.: Просвещение, 2007. 271 с.
17. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын [и др.]. 19-е изд. М.: Просвещение, 2010. 384 с.
18. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 10 класса общеобразоват. организаций. Базовый и углубленный уровни / В. В. Козлов, А. А. Никитин, В. С. Белоносов [и др.]; под ред. В. В. Козлова, А. А. Никитина. 3-е изд. М.: Русское слово — учебник, 2017. 464 с.
19. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева [и др.]. 3-е изд. М.: Просвещение, 2016. 463 с.
20. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни / Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова [и др.]. 5-е изд. М.: Просвещение, 2018. 384 с.
21. Муравин Г. К., Муравина О. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс.: учебник. М.: Дрофа, 2013. 318 с.
22. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М. — Л.: ГИТТЛ, 1950. 704 с.
23. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: ABF, 1995. 352 с.
24. Колесникова С. И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. 6-е изд. М.: Айрис-пресс, 2008. 304 с.
1. Metodika prepodavaniya matematiki v sredney shkole. Obshchaya metodika: ucheb. po-sobie. Cheboksary: Izd-vo Chuvashsk. un-ta, 2009. 732 p.
2. Demidov I. V. Logika: ucheb. posobie dlya yuridicheskikh vuzov. Moscow: Yurispruden-tsiya, 2000. 208 p.
3. Selyutin V. D., Yaremko N. N. Obuchenie bakalavrov matematike na osnove ponyatiya «korrektnost»: monogr. Orel: OGU im. I. S. Turgeneva, 2019. 184 p.
4. Mordkovich A. G. Algebra 7 klass. Part. 1. Uchebnik dlya uchashchikhsya obshcheobra-zovatelnykh uchrezhdeniy. Moscow: Mnemozina, 2013. 175 p.
5. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Feoktistov I. E. Algebra. 7 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. uchrezhdeniy. Moscow: Mnemozina, 2008. 335 p.
6. Rubin A. G., Chulkov P. V Algebra. 7 kl.: uchebnik dlya organizatsiy, osushchestvlyayus-hchikh obrazovat. deyatelnost. Moscow: Balass, 2015. 224 p.
7. Dorofeev G. V., Suvorova S. V., Bunimovich E. A. et al. Algebra. 7 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. organizatsiy. Moscow: Prosveshchenie, 2014. 287 p.
8. Nikolskiy S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra. 7 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. uchrezhdeniy. Moscow: Prosveshchenie, 2017. 287 p.
9. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Algebra 8 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. organizatsiy s pril. na elektron. nositele. Moscow: Prosveshchenie, 2013. 287 p.
10. Dorofeev G. V., Suvorova S. V., Bunimovich E. A. et al. Algebra. 8 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. organizatsiy. Moscow: Prosveshchenie, 2018. 320 p.
11. Rubin A. G., Chulkov P. V. Algebra 8 kl.: uchebnik dlya organizatsiy, osushchestvlyayus-hchikh obrazovat. deyatelnost. Moscow: Balass, 2015. 240 p.
12. Peterson L. G., Agakhanov N. Kh., Petrovich A. Yu. et al. Algebra: 9 klass. Part 2. Moscow: Yuventa, 2017. 200 p.
13. Mordkovich A. G., Semenov P. V. Matematika: algebra i nachala matematicheskogo analiza, geometriya. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 11 klass. Part 1: uchebnik dlya obshcheobrazovat. organizatsiy (bazovyy i uglublennyy urovni). Moscow: Mnemozina, 2014. 311 p.
14. Nikolskiy S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. et al. Matematika: algebra i nachala matematicheskogo analiza, geometriya. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. uchrezhdeniy: bazovyy i profil. urovni. Moscow: Prosveshchenie, 2009. 430 p.
15. Pratusevich M. Ya., Stolbov K. M., Golovin A. N. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10 klass: profilnyy uroven. Moscow: Prosveshchenie, 2009. 415 p.
16. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Algebra: uchebnik dlya 9 kl. obshcheobrazovat. uchrezhdeniy. Moscow: Prosveshchenie, 2007. 271 p.
17. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10-11 klassy: uchebnik dlya obshcheobrazovat. uchrezhdeniy. Moscow: Prosveshchenie, 2010. 384 p.
18. Kozlov V V, Nikitin A. A., Belonosov V. S. et al. Matematika: algebra i nachala matematicheskogo analiza, geometriya: uchebnik dlya 10 klassa obshcheobrazovat. orga-nizatsiy. Bazovyy i uglublennyy urovni. Moscow: Russkoe slovo — uchebnik, 2017. 464 p.
19. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Tkacheva M. V. et al. Matematika: algebra i nachala matematicheskogo analiza, geometriya. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10-11 klassy: uchebnik dlya obshcheobrazovat. organizatsiy: bazovyy i uglublennyy urovni. Moscow: Prosveshchenie, 2016. 463 p.
20. Kolyagin Yu. M., Tkacheva M. V, Fedorova N. E. et al. Matematika: algebra i nachala matematicheskogo analiza, geometriya. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. organizatsiy: bazovyy i uglublennyy urovni. Moscow: Prosveshchenie, 2018. 384 p.
21. Muravin G. K., Muravina O. V. Matematika: algebra i nachala matematicheskogo analiza, geometriya. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. Uglublennyy uroven. 10 klass.: uchebnik. Moscow: Drofa, 2013. 318 p.
22. Markushevich A. I. Teoriya analiticheskikh funktsiy. Moscow — Leningrad: GITTL, 1950. 704 p.
23. Litvinenko V. N., Mordkovich A. G. Praktikum po elementarnoy matematike: Algebra. Trigonometriya: ucheb. posobie dlya studentovfiz.-mat. spets. ped. in-tov. Moscow: ABF, 1995. 352 p.
24. Kolesnikova S. I. Matematika. Intensivnyy kurs podgotovki к Edinomu gosudarstvenno-mu ekzamenu. Moscow: Ayris-press, 2008. 304 p.
Яремко Наталия Николаевна, доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры «Математическое образование» Педагогического института им. В. Г. Белинского Пензенского государственного университета
Yaremko Natalia N., ScD in Education, Associate Professor, Professor, Mathematical Education Department, V. G. Belinsky Pedagogical Institute, Penza State University e-mail: yaremki@yandex.ru
Глебова Мария Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математическое образование» Педагогического института им. В. Г. Белинского Пензенского государственного университета e-mail: mvmorgun@mail.ru
Glebova Maria V., PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Mathematical Education Department, V. G. Belinsky Pedagogical Institute, Penza State University e-mail: mvmorgun@mail.ru
Статья поступила в редакцию 01.12.2019 The article was received on 01.12.2019
алгебра — Дробная степень числа
http://www.cleverstudents.ru/powers/powers.html Второй подход к определению дробной степени числа. Почему они не рассматривают четность/нечетность m?
«Заметим, что первое определение степени с дробным показателем удобнее в применении, чем второе. Поэтому мы в дальнейшем будем использовать именно его.» — оно ведь не точное, они полностью отбрасывают варианты когда a < 0. Почему они считают что это точней?
В школьных учебниках рассматривают только при неотрицательных значениях, а почему при других значениях не рассматривают — не пишут. Почему?
Можно было бы ввести поправку в правило, что определенно и для отрицательных a, но только с условием что возможно либо вынести минус за корень или убрать его, тогда получится выражение с положительным а имеющим смысл в первом правиле. Но они об ней не пишут.
Например тут (основные правила корней) http://www.cleverstudents.ru/roots/properties_of_roots.html, рассматривают правила только для неотрицательных чисел. Как в этом случае правильно написать одз — непонятно. В этих правилах можно сделать точно такую же поправку, но они об ней не пишут. Или имеют введу как само собой разумеющееся?
задан 10 Авг ’16 10:52
Если показатель степени не целый, то основание степени не должно быть отрицательным. Это соглашение, и оно принимается из соображений удобства. Например, $%\sqrt[3]$% считается равным $%-2$%, но $%(-8)^$% считается не имеющим смысла.
Причин здесь несколько. Во-первых, нужно, чтобы значение $%a^$% не менялось при замене показателя на равную ему дробь вида $%(mk)/(nk)$%. Во вторых, должны выполняться свойства степеней типа $%a^=a^xa^y$% и $%a^=(a^x)^y$%. Если разрешить степени с отрицательным основанием, то удобств никаких не добавится, а путаницы станет намного больше.
(10 Авг ’16 14:00) falcao
(10 Авг ’16 16:38) pinetorrit
@pinetorrit: Вы, как я понял, спрашиваете о том, почему в материалах по ссылке свойства корней рассматриваются только для случая a>=0. Ответ такой: для этого случая все рассуждения получаются проще, так как утверждения $%x^n=a$% и $%x=\sqrt[n]a$%, оказываются равносильными, и свойства легко проверяются при помощи возведения в степень. При нечётном n то же самое было бы верно и для отрицательных a, но эти свойства легко выводятся из предыдущих.
Здесь более общая ситуация никакого нового знания не даёт, а только затрудняет проверки. Пришлось бы много раз делать лишние оговорки, и т.д.
(10 Авг ’16 16:54) falcao
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
10 Авг ’16 10:52
показан
1064 раза
обновлен
10 Авг ’16 16:55
Может ли основание показательно-степенной функции быть равным 0? везде в литературе пишется, что оно строго больше нуля?
Может ли основание показательно-степенной функции быть равным 0? везде в литературе пишется, что оно строго больше 0 (*). Но посмотрите, пожалуйста, следующие уравнения и неравенства: 1) , х=-2 – корень или не корень этого уравнения? Вроде при подстановке удовлетворяет, выражение при х=-2 определено (отрицательное число в натуральной степени), но, если допустить, что это корень, то получаем противоречие (*)! 2) (х+1)х+4 (х+1)2х+7 – надо ли рассматривать случай, когда основание равно 0, т.е. х=-1? ведь оно удовлетворяет данному неравенству и левая и правая часть неравенства не теряют смысла (нуль в положительной степени)? но если включить -1 в решение, то опять противоречие с областью определения показательно-степенной функции! Как объяснить ученикам? Где правда?
Лучший ответ
А чему равно i^i ?
Остальные ответы
Если докажешь что всетаки может получиш премию 1 миллион доларов))))
Мария, вы уже второй раз задаете этот вопрос и всякий раз я не нахожу примеров, которые надо рассмотреть. Поэтому высказываю свои соображения.
Степенная функция Y=Xⁿ, Х>0, n-любое.
Дело в том, что определение функции должно быть коротким и без исключений и самое главное элементарная функция должна быть непрерывной в области определения. Иначе определение будет громоздким и не «рабочим» Подумайте каким будет определение, если ввести отрицательные числа и ноль.
1.Х-отрицательное, а n-трансцендентное или рациональное с четным знаменателем.
2.Х=0, а n-отрицательное
Если брать показательную функцию:
3.То Х отрицательным или нулем вообще быть не может, иначе .
И еще вопрос на засыпку: Почему элементарную функцию назвали элементарной? Попробуйте выставить этот вопрос.
Похожие вопросы
Степень числа: определения, обозначение, примеры
В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.
Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа
Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).
Например, если показатель степени равен 1 , а основание – a , то первая степень числа a записывается как a 1 . Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a 1 = a .
В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8 · 8 · 8 · 8 можно сократить до 8 4 . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых ( 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 ) ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.
Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « a в степени n ». Или можно сказать « n -ная степень a » либо « a n -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 8 12 , мы можем прочесть « 8 в 12 -й степени», « 8 в степени 12 » или « 12 -я степень 8 -ми».
Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7 ( 7 2 ) , то мы можем сказать « 7 в квадрате» или «квадрат числа 7 ». Аналогично третья степень читается так: 5 3 – это «куб числа 5 » или « 5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.
Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:
Равенство a m : a n = a m − n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m < n , a ≠ 0 .
Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0
Но при этом a n : a n = 1 — частное равных чисел a n и a . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.
Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: a m · a n = a m + n .
Если n у нас равен 0 , то a m · a 0 = a m (такое равенство также доказывает нам, что a 0 = 1 ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0 m · 0 0 = 0 m , Оно будет верным при любом натуральном значении n , и неважно при этом, чему именно равно значение степени 0 0 , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 0 0 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.
При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.
Разберем пример с конкретными числами: Так, 5 0 — единица, ( 33 , 3 ) 0 = 1 , — 4 5 9 0 = 1 , а значение 0 0 не определено.
После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: a m · a n = a m + n .
Введем условие: m = − n , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1 . Выходит, что a n и a − n у нас являются взаимно обратными числами.
В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1 a n .
Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).
Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1 a n . Таким образом, a — n = 1 a n при условии a ≠ 0 и n – любое натуральное число.
Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:
3 — 2 = 1 3 2 , ( — 4 . 2 ) — 5 = 1 ( — 4 . 2 ) 5 , 11 37 — 1 = 1 11 37 1
В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:
Степень числа a с натуральным показателем z – это: a z = a z , e с л и z — ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о 1 , z = 0 и a ≠ 0 , ( п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 0 , з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0 0 н е о п р е д е л я е т с я ) 1 a z , е с л и z — ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a ≠ 0 ( е с л и z — ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 z , е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я )
Что такое степени с рациональным показателем
Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.
Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m / n , где n – натуральное число, а m – целое.
У нас есть некоторая степень с дробным показателем a m n . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство a m n n = a m n · n = a m должно быть верным.
Учитывая определение корня n -ной степени и что a m n n = a m , мы можем принять условие a m n = a m n , если a m n имеет смысл при данных значениях m , n и a .
Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии a m n = a m n .
Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m / n – это корень n -ой степени из числа a в степени m . Это справедливо в том случае, если при данных значениях m , n и a выражение a m n сохраняет смысл.
Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.
1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a , которое при положительных значениях m будет больше или равно 0 , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m ≤ 0 мы получаем 0 m , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:
Степень с дробным показателем m / n для некоторого положительного числа a есть корень n -ной степени из a, возведенного в степень m . В виде формулы это можно изобразить так:
Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.
Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как
0 m n = 0 m n = 0 при условии целого положительного m и натурального n .
Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.
Выражение a m n иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m . Так, верны записи ( — 5 ) 2 3 , ( — 1 , 2 ) 5 7 , — 1 2 — 8 4 , в которых основание отрицательно.
2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень a m n с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись a m · k n · k , то мы можем свести ее к a m n и упростить расчеты.
Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
Объединим все данные выше определения в одной записи:
Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.
Для любой обыкновенной сократимой дроби m · k n · k степень можно заменить на a m n .
Степень числа a с несократимым дробным показателем m / n – можно выразить в виде a m n в следующих случаях: — для любых действительных a , целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n . Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , ( — 5 , 1 ) 2 7 = ( — 5 , 1 ) — 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .
— для любых отличных от нуля действительных a , целых отрицательных значений m и нечетных значений n , например, 2 — 5 3 = 2 — 5 3 , ( — 5 , 1 ) — 2 7 = ( — 5 , 1 ) — 2 7
— для любых неотрицательных a , целых положительных значений m и четных n , например, 2 1 4 = 2 1 4 , ( 5 , 1 ) 3 2 = ( 5 , 1 ) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .
— для любых положительных a , целых отрицательных m и четных n , например, 2 — 1 4 = 2 — 1 4 , ( 5 , 1 ) — 3 2 = ( 5 , 1 ) — 3 , .
В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: — 2 11 6 , — 2 1 2 3 2 , 0 — 2 5 .
Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6 / 10 = 3 / 5 . Тогда должно быть верным ( — 1 ) 6 10 = — 1 3 5 , но — 1 6 10 = ( — 1 ) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а ( — 1 ) 3 5 = ( — 1 ) 3 5 = — 1 5 = — 1 5 5 = — 1 .
Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.
Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 . В случае отрицательных a запись a m n не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.
В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 5 1 , 7 , 3 2 5 — 2 3 7 .
При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 — 2 3 7 = 3 2 5 — 17 7 = 3 2 5 — 17 7
Что такое степени с иррациональным и действительным показателем
Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.
Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, возьмем значение a = 1 , 67175331 . . . , тогда
a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .
и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).
Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.
Возьмем для примера a = 3 , тогда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.д.
Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a . В итоге : степень с иррациональным показателем вида 3 1 , 67175331 . . можно свести к числу 6 , 27 .
Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение – это предел последовательности a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , где a 0 , a 1 , a 2 , . . . являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 , 0 21 3 3 = 0 . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 — 5 , 0 — 2 π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 — 5 будут равны 1 .