Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Примеры решений
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений, где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.
Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:
– Подведение функции под знак дифференциала;
– Собственно замена переменной.
По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.
Начнем с более простого случая.
Подведение функции под знак дифференциала
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:
То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?
Подводим функцию под знак дифференциала:
Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:
Фактически и – это запись одного и того же.
Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?
Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.
Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:
Теперь можно пользоваться табличной формулой :
Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .
Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .
Подводим функцию под знак дифференциала:
Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:
В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:
Строго говоря, решение должно выглядеть так:
Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Найти неопределенный интеграл.
В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
Также всем рекомендую использовать математический знак вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.
А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче.
Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.
Найти неопределенный интеграл.
Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.
Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:
Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении.
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Найти неопределенный интеграл.
Замена:
Осталось выяснить, во что превратится
Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Найти неопределенный интеграл.
Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.
Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут находиться и не в произведении)
В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.
В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.
Примечание: т. к. при любом «икс», то под логарифмом вместо модуля можно поставить круглые скобки.
Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:
Следует отметить, что для дробей вроде, такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены). Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.
Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения из той же оперы:
Найти неопределенный интеграл.
Найти неопределенный интеграл.
Решения в конце урока.
Найти неопределенный интеграл.
Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.
Общее правило:
За обозначаем саму функцию (а не её производную).
В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .
В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.
Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:
Вот здесь подвести функцию под знак дифференциала уже не так-то просто.
Найти неопределенный интеграл.
Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.
Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Примеры решений.
Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
Пример 4: Решение:
Пример 7: Решение:
Пример 9: Решение:
Пример 11: Решение:
Проведем замену:
Пример 12: Решение:
Проведем замену:
Пример 14: Решение:
Проведем замену:
Я выполнил проверку, а Вы? 😉
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Интегрирование методом замены переменной
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.
Метод замены переменной
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x ( t ) , или t = t ( x ) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Основная формула замены переменной
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f ( x ) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x ( t ) . Тогда мы должны выразить функцию f ( x ) и дифференциал dx через переменную t .
Чтобы выразить подынтегральную функцию f ( x ) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x ( t ) .
Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t ( x ) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′ ( x ) – это производная t по x , то
.
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x – это функция от t .
(2) ,
где t – это функция от x .
Важное замечание
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое-либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.
Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;
.
Примеры интегрирования заменой переменной
1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x )′ = cos x . Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .
2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .
3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда
. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .
Линейные подстановки
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.
Примеры интегрирования линейными подстановками
A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.
B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции.
.
ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Найти интеграл $\int \frac+x \ln x>> d x$
Решение. Упростим подынтегральную функцию, а потом сделаем замену переменной: $\ln x=t$
$$=\int d x+\int \frac<\ln x> d x\left\|\begin \ln x=t \\ \frac=d t \end\right\|=x+\int t d t=x+\frac>+C=$$
Ответ. $\int \frac+x \ln x>> d x=x+\frac <\ln ^x>+C$
Следствия из метода интегрирования заменой переменной
Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:
Аналогично можно показать, что
$\int \cos (k x+b) d x=\frac \sin (k x+b)+C$
$\int \sin (k x+b) d x=-\frac \cos (k x+b)+C$
Подобные соотношения можно было вывести и с использованием метода внесения под дифференциал.
Метод замены переменной в неопределённом интеграле
Во многих случаях подынтегральное выражение не позволяет сразу же найти интеграл по таблице. Тогда введение новой переменной интегрирования помогает свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.
Вводится новая переменная, назовём её t . Например,
- в интеграле можем ввести новую переменную ;
- в интеграле можем ввести новую переменную ;
- в интеграле можем ввести новую переменную .
Далее dx определеяем как дифференциал по переменной t . После этого интеграл можно найти по таблице интегралов. Заменив обратно t на функцию от x , находим данный интеграл окончательно.
Прежде чем перейти к подробным решениям примеров, следует привести теорему, в которой обобщаются перечисленные выше действия.
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.
Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.
Применяем замену переменной вместе
Надо полагать, вы уже держите перед собой домашние задания и готовы применять к ним приёмы по аналогии с теми, которые мы ниже рассмотрим. При этом не обойтись без преобразований выражений. Для этого потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Решение. Производим замену x − 1 = t ; тогда x = t + 1 . Отсюда dx = dt . По формуле (1)
Возвращаясь к переменной x , окончательно получаем
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.
Пример 2. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Решение. Положим . Отсюда
.
По формуле (1) и, пользуясь табличными интегралом 13, находим
Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись и , это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики.
Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Решение. Положим , откуда и .
Тогда , в свою очередь .
Заменяем переменную и получаем:
где степени при t складываются. Продолжаем преобразования и, пользуясь уже упомянутым табличным интегралом 7, получаем:
Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ:
Применить замену переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Снова применяем замену переменной вместе
Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Решение. Положим , откуда , , .
Заменяем переменную и получаем:
Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Решение. Положим , откуда , .
Заменяем переменную и получаем:
Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.
Кому лишь смутно понятно или совсем не понятно, как преобразуются выражения в примере 5, пожалуйста, повторите из курса элементарной (школьной) математики действия с корнями, степенями и дробями!
И если вы ещё не открыли в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями, то сделайте это сейчас!
Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Решение. Положим , тогда
.
Заменяем переменную и получаем:
Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов.
Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:
Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.