Явно или неявно заданные функции
Если формула, связывающая аргумент x и функциюy, имеет вид 
, то переменнаяy называетсяявно заданной функцией переменной x. Например, 
,
. Если формула, связывающая аргументxи функциюу, записана в виде уравнения
, то определяемая из этого уравнения переменная
называетсяфункцией, заданной неявно. Пример 3 (неявно заданные функции) 1) Уравнение 
задает неявно функцию
; 2) уравнение 
задает неявно функцию
; 3) уравнение 
задает неявно две функции
; 4) уравнение 
задает неявно бесконечное множество функций
,
. Из примеров видно, что если уравнение 
удается решить относительноу, то осуществляется переход от неявно заданной функции к ее явному заданию
. При этом часто получается многозначная функция, которую всегда можно рассматривать как совокупность однозначных функций (совокупность однозначных ветвей многозначной функции). Например, 
; 
,
Однако на практике решить уравнение 
относительно переменнойуполучается далеко не всегда или это решение получается слишком громоздким. Например, уравнение
нельзя решить относительноy. Поэтому в этих случаях приходится работать с функциями, имеющими только неявное задание.
Замечание (к неявному заданию функций)
В уравнении 
переменныеx и y входят равноправно, поэтому можно считать, что это уравнение задает неявно функцию 
или функцию
. Например, 
.
Параметрически заданные функции
Связь между аргументом и функцией может быть записана через дополнительную переменную, называемую параметром, то есть в виде системы, в которой прописывается зависимость аргумента от параметра и зависимость функции от того же параметра: 
, где
– это параметр,
. В этом случае функция
называетсяфункцией, заданной параметрически.
 Рис. 41 |
При этом сама траектория движения может описываться уравнением EMBED Equation.DSMT4  или , т. е. задавать функцию или . |
Например, в механике при описании движения точки по некоторой траектории задаются абсцисса и ордината движущейся точки как функции времени t (рис. 41). От параметрически заданной функции можно перейти к явной или неявной форме её задания, если удаётся исключить параметр t. Пример 4 (параметрически заданные функции) 1. 
Таким образом,
— это естьпараметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координати, следовательно, задают две функции
,
:
 |
на верхней полуокружности  на нижней полуокружности  |
2. 
Таким образом,
— это естьпараметрические уравнения эллипса с полуосями a и b и с центром в начале координат, они задают две функции:
 x |
на верхней половине эллипса  ; на нижней половине эллипса  . |
3.— уравнение параболы;
 — |
уравнение той же параболы. |
График функции
Графиком функции
называется множество точек
координатной плоскости, координаты которых есть соответствующие друг другу значения аргумента и функции (рис. 42). 
Рис. 42 Графиком функции может быть линия или несколько линий или дискретное множество точек (рис.43). 
0 0 Рис. 43 График функциональной зависимости может строиться не только в системе декартовых прямоугольных координат XOY, но и в других координатных системах. Например, в полярной системе координат функцияy = xзаписывается в виде = и имеет графикомспираль Архимеда(рис. 44).
  Рис. 44 |
Здесь показана часть спирали при  (первый завиток спирали Архимеда). В общем случае спираль Архимеда задается уравнением = aφ. |
По умолчанию график функции строится в системе прямоугольных декартовых координатXOY.
Математика — функции. Помогите понять. Что означает: — функция задана в явном виде; — функция задана в неявном виде.
Если функция задана в явном виде y=f(x), то всегда можно записать её в неявном виде y-f(x)=0
т. е. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т. е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Остальные ответы
Проще говоря, явно — это y=. То есть явно видно, чему равно значение функции. А неявно, это, напр. , y=2-xy+log(y).
все пидары
Ян ДененбергУченик (228) 3 года назад
Ян Дененберг, да, 4 года назад наверно был
§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2 у -х+у=0).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Найти производную функции у, заданную уравнением х 3 +у 3 -3ху=0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х 3 +у 3 -3ху=0. Из полученного соотношения
3х 2 +3у 2 · у’-3(1 · у+х · у’)=0
следует, что у 2 у’-ху’=у-х 2 , т. е. у’=(у-х 2 )/(у 2 -х).
21.2. Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у’х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции
Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у’х=y’t•t’x. С учетом равенства (21.2) получаем
Полученная формула позволяет находить производную у’х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.
Пусть
Решение: Имеем x’t=3t 2 , y’t=2t. Следовательно, у’х=2t/t 2 , т. е.
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.
Действительно, 
Тогда 
Отсюда 
т. е.
Дифференцирование функции, заданной неявно
- Примеры
≡ x^2/(1+y)
cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ 1+(x-y)^(2/3)
см. также Производная от параметрической функции Пример 1. Найти производную y’ , не решая уравнения: x 3 – x 2 y – x 2 y 4 + 5 = 0 относительно y .
Решение. Так как в правой части уравнения стоит нуль, а производная постоянной равна нулю, то .
Применяя почленное дифференцирование, найдем 3x 2 – 2xy – x 2 y’ – 2xy 4 – 4x 2 y 3 y’ = 0, откуда . Пример 2. Найти y’ функции, заданной неявно уравнением y*lnx – x 2 e y + 1 = 0 (x>0).
Решение. (производную от e y берем как производную сложной функции). Разрешая уравнение относительно y’ (что не всегда возможно), найдем . Пример 3. Найти производную y’x функции y(x), заданной неявно: x 4 + x 2 y + y 3 + 5 = 0.
Решение.
Продифференцируем уравнение по х, рассматривая у как функцию от х, и решим полученное уравнение относительно y’x.
.
- Задать вопрос или оставить комментарий
- Помощь в решении
- Поиск
- Поддержать проект