1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a → ⋅ b → = a → ⋅ b → ⋅ cos a → b → ˆ .
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0 ° , а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180 ° . Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай!
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю , так как косинус прямого угла равен \(0\).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю , то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a → 2 .
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1. a → 2 ≥ 0 , к тому же a → 2 > 0 , если a → ≠ 0 → .
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения: a → ⋅ b → = b → ⋅ a → .
3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения: a → + b → ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → .
4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения: k ⋅ a → ⋅ b → = k ⋅ a → ⋅ b → .
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой , если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если a → x 1 ; y 1 ; z 1 , b → x 2 ; y 2 ; z 2 , то a → ⋅ b → = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 .
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cos α = a → ⋅ b → a → ⋅ b → , то
cos α = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 + z 1 ⋅ z 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ⋅ x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 .
Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n → данной плоскости и неким вектором b → равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90 ° .
При нахождении косинуса угла между n → и b → можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b → , и плоскостью.
Ваш браузер не поддерживается
Интернет-сервис Студворк построен на передовых, современных технологиях и не может гарантировать полную поддержку текущего браузера.
Установить новый браузер
-
Google Chrome
Скачать
Яндекс Браузер
Скачать
Opera
Скачать
Firefox
Скачать
Microsoft Edge
Нажимая на эту кнопку, вы соглашаетесь с тем, что сайт в вашем браузере может отображаться некорректно. Связаться с техподдержкой
8 (800) 500-78-57 support@studwork.ru
Работаем по будням с 8.00 до 20.00 по МСК
помогите пожалуйста. как найти синус угла между векторами а=(-4;-8;8) и b=(4;3;2)
Найдите сначала косинус угла по формуле скалярного произведения векторов, а затем легко находится синус.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Как найти синус угла между векторами
Вектор в многомерном евклидовом пространстве определяется своей начальной точкой и точкой, задающей его величину и направление. Различие между направлениями двух векторов определяется углом между ними. В различных задачах из физики и математики часто требуется найти не сам угол, а значение производной тригонометрической функции — синуса.
Определение синуса угла
Для определения синуса угла между двумя векторами можно использовать известные формулы скалярного умножения векторов. Существует, по меньшей мере, две формулы, в которых задействован косинус угла. Путем вычисления косинуса можно получить значение синуса.
Составление равенства и вычисление косинуса
Равенство формулы скалярного произведения векторов с двух сторон позволяет выразить косинус угла. По одной из формул скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла, а по другой формуле — сумме произведений координат вдоль каждой из осей. Равняя эти два выражения, можно получить, что косинус угла равен отношению суммы произведений координат к произведению длин векторов.
Запись полученного равенства
Для записи равенства необходимо обозначить координаты обоих векторов. Предположим, что векторы заданы в трехмерной декартовой системе координат, и их начальные точки перенесены в начало координат. Первый вектор задан точкой (X₁,Y₁,Z₁), а второй вектор задан точкой (X₂,Y₂,Z₂). Обозначим угол между ними как γ. Длины векторов можно вычислить, используя теорему Пифагора для треугольников, образованных проекциями векторов на каждую из координатных осей. Длины векторов будут равны √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Подставив эти выражения в формулу, получаем равенство: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²)).
Использование факта о сумме квадратов синуса и косинуса
Сумма квадратов синуса и косинуса угла всегда равна единице. Используя этот факт, можно выразить синус угла. Возведя выражение для косинуса угла, полученное на предыдущем шаге, в квадрат и отняв его от единицы, а затем извлекая квадратный корень, можно найти значение синуса. Формула для синуса угла имеет вид: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 — ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 — ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * ( X₂² + Y₂² + Z₂²))).
Теперь вы знаете, как найти синус угла между двумя векторами в многомерном евклидовом пространстве, используя формулы скалярного умножения векторов. Этот метод может быть полезен в различных задачах, требующих вычисления синуса.