2. Свойства функции y = k/x и её график
Нами была рассмотрена функция y = k x при \(k= 1\). Сейчас увидим поведение функции при другом положительном значении \(k\), например при \(k = 4\). Таким образом, функция будет иметь вид y = 4 x .
Заполним таблицу:
Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (в точке \(0\) функция не определена, поэтому получили две ветви).
График функции y = k x называют гиперболой .
Сейчас рассмотрим случай при \(k < 0\), например, при \(k = - 4\). Тогда функция задана формулой y = − 4 x , построим её график.
График функции \(y = -f(x)\) симметричен графику функции \(y = f(x)\) относительно оси \(x\). Таким образом, график функции y = − 4 x симметричен графику y = 4 x относительно оси \(x\). Получится гипербола, ветви которой находятся во II и IV координатных углах.
Графиком функции y = k x ( k ≠ 0 ) является гипербола, ветви которой находятся в I и III координатных углах при \(k > 0\), и во II и IV координатных углах при \(k < 0\).
Точка \((0; 0)\) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.
Две величины \(x\) и \(y\) обратно пропорциональны, если выполняется условие\(xy = k\) (где \(k\) — число, не равное \(0\)), следовательно, y = k x .
Функция y = k x имеет название — обратная пропорциональность , где число \(k\) является коэффициентом обратной пропорциональности.
Производная функции
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
- (x α )’ = α x α -1
- = 1 /2x 1/2 =
- (a x )’ = a x ·lna
- (e x )’ = e x
- (sinx)’ = cosx
- (cosx)’ = -sinx
- (sh x )’ = ch x
- (ch x )’ = sh x
- Примечание:
– гиперболический синус
– гиперболический косинус
– гиперболический тангенс
– гиперболический котангенс
Как найти производную, исходяя из ее определения?
Правила нахождения производных
Пример 1 . Найти производную функции y=cos 4 x .
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x) , получим
(cos 4 x)′cos x = 4cos 4-1 x = 4cos 3 x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной х ; поэтому надо полученный результат умножить на производную от cos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′x = (cos 4 x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos 3 x·(-sin x) = -4·cos 3 x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы. Пример 2 . Найти производную функции
.
.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x)) v(x) , или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования. Пример 3 . Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию
Учитывая, что , будем иметь
Но , откуда
. Пример 4 . Найти производную функции y=x e x
Решение.
;
.
Прикладное использование производной
- Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0 . Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
- Значение производной в точке x0 позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
- Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
- В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x) .
- При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
- В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.
Линейная функция « y = kx + b » и её график
Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Важно!
Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.
Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .
Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.
Примеры функций типа « y = kx + b ».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y =
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .
| Функция | Коэффициент « k » | Коэффициент « b » |
|---|---|---|
| y = 5x + 3 | k = 5 | b = 3 |
| y = −x + 1 | k = −1 | b = 1 |
| y = |
Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».
Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.
Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .
Как построить график линейной функции
« y = kx + b »
Запомните!
Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .
Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.
Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».
Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет « y = −2x + 1 » |
|---|---|
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » (абсцисса) | Координата по оси « Оy » (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».
Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »
Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:
- значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
- значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » |
Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».
Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».
Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .
Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Запомните!
Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
- из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
- полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « x » | Полученное с графика значение « y » |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси « Oy » .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « y » | Полученное с графика значение « x » |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции « y = 2x −
», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Линейная функция и ее график
В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.
Линейной функцией называется функция вида
В уравнении функции число 
, которое мы умножаем на 
называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
;
в уравнении функции 
.
Графиком линейной функции является прямая линия.
1 . Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции 
и 
, тогда ординаты эти точек будут равны 
и 
.
2 . В уравнении функции коэффициент 
отвечает за наклон графика функции:
- если
, то график наклонен вправо - если
, то график наклонен влево
Коэффициент 
отвечает за сдвиг графика вдоль оси 
:
- если
, то график функции получается из графика функции 
сдвигом на единиц вверх вдоль оси - если
, то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси
На рисунке ниже изображены графики функций 
; 
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; 
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; 
; 
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k0 , то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0 , то график функции имеет вид:
Если k>0 и b то график функции имеет вид:
Если k то график функции имеет вид:
Если k=0 , то функция превращается в функцию 
и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Если b=0 , то график функции проходит через начало координат:
Это график прямой пропорциональности.
3 . Отдельно отмечу график уравнения 
. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям функции соответствует одно и то же значение аргумента, что не соответствует определению функции.
4 . Условие параллельности двух прямых:
График функции 
5. Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции или 
6 . Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда 
. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (
;0):
Рассмотрим решение задач.
1 . Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
Таким образом, нам надо построить график функции
Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.
Итак, уравнение прямой .
3 . Постройте график уравнения
Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя.
Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:
Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :
4 . Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой 
, если он перпендикулярен прямой . То есть уравнение функции имеет вид 
б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:
.
Следовательно, наша функция имеет вид: .
, 
.
То есть нам надо построить график функции и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1: