Найти ранг и какой нибудь базис системы векторов

11) Ранг и базис системы векторов

Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор — из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .

2 случай. Вектор — не из базиса. Тогда r>k.

Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как — базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, с, не все равные нулю, такие, что

Очевидно, что (если с=0, то базис системы является линейно зависимым).

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

Вычитая эти равенства, получим

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

Пример. Дана система векторов: (2, 0), (5, 5), (4, 3).

Ранг и базис n‑мерного линейного

Теорема 1. Ранг n-мерного пространства равен его размерности: r=n.

Доказательство. На основании теоремы Штейница ранг не превышает n. С другой стороны, в пространстве имеется система из n линейно независимых единичных векторов, следовательно, ранг не меньше n. Значит, базис содержит n векторов.

Следствие 1. Любой базис n-мерного пространства состоит из n линейно независимых n-мерных векторов.

Следствие 2. Любая система в n-мерном пространстве, содержащая больше чем n векторов, линейно зависима.

Следствие 3. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения для данного вектора и данного базиса определяются единственным образом. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.

Пример. (1, 0, 0, …, 0),

Данная система образует базис в n-мерном пространстве, который называется единичным.

Возьмем вектор ā(а₁, а₂, . а_n).

12) Решение системы с помощью формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственноерешение, которое можно найти по формулам Крамера:

, где — главный определитель, — j-й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

§ 6. Базис и ранг системы векторов

Выше мы показали, что любой n -мерный вектор b = ( b 1 , b , n ) можно разложить по диагональной системе единичных векторов e 1 , e , n . Возникает во- прос: существуют ли другие, отличные от единичных векторов, векторы такие, что любой n -мерный вектор можно представить как линейную их комбинацию? Если да, то как их описать? Определение . Пусть задана система векторов (1). Максимально независимой подсистемой совокупности (1) (векторов a 1 , a , k ) называется любой частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: 1) векторы этого частичного набора линейно независимы; 2) любой вектор исходной совокупности (1) линейно выражается через векторы этого частичного набора. Нетрудно видеть, что, вообще говоря, произвольно заданная совокупность векторов может иметь несколько различных максимальных линейно независимых подсистем. Однако, имеет место следующее утверждение: Теорема . Все максимально независимые подсистемы заданной совокупности векторов имеют одно и то же число векторов. Это утверждение делает возможным следующее определение. Определение . Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом . Число векторов базиса называется рангом исходной системы векторов. Другими словами , ранг системы векторов – это максимальное число линейно независимых векторов системы. Ясно, что если ранг системы векторов a 1 , a , k меньше числа k , то эта с и- стема может иметь несколько базисов. Замечание. Один из возможных способов вычисления ранга системы векторов непосредственно следует из определения (путем очевидного перебора различных комбинаций). О других способах вычисления ранга системы векторов будет сказано в Главе 2 (Матрицы).

Лекция №1 Векторы и операции над ними проф. Дымков М.П. 11 Лемма . Система векторов, состоящая более чем из n-штук n-мерных векторов, линейно зависима . Доказательство . Пусть a 1 , a , m , m > n . Добавим к ней еще n штук единичных векторов e 1 , e , n . В расширенной системе a 1 , a , m , e 1 , e , n векторы e 1 , e , n образуют базис, так как они, во-первых, линейно независимы (пишут иногда сокращенно как ЛНЗ ), и, во-вторых, любой вектор a i является их ли- нейной комбинацией (см. ранее)]. Значит, ранг расширенной системы равен n . Но и тогда и ранг исходной системы векторов равен n . А так как m > n , то исходная система векторов является линейно зависимой. ▄ До сих пор мы говорили о конечной совокупности векторов a 1 , a , k оди- наковой размерности. Как быть, если рассмотреть систему векторов, содержащую бесконечное число векторов a 1 , a 2 , a k , ? Доказанная лемма позволяет распространить понятие базиса и ранга и на бесконечную совокупность. Согласно этой лемме базис любой такой совокупности n -мерных векторов состоит из конечного числа векторов, не превосходящих числа n , где n – размерность пространства векторов, из которых образована данное множество векторов. Значит, мы можем говорить о базисе и ранге системы всех n -мерных векторов, т.е. всего n -мерного пространства R n (см. ранее). Одним из базисов этого пространства является система единичных векторов e 1 , e 2 , e n , введенных выше. С учетом сказанного выше можно сделать следующий вывод : в любом n — мерном векторном пространстве R n существует много базисов; любой базис n — мерного векторного пространства R n содержит ровно n -векторов. Замечание. Существуют бесконечномерные линейные пространства. Например, пространство всех непрерывных на отрезке [ a , b ]функций имеет бесконечный базис вида 1, x , x 2 . x n . Пусть система векторов a 1 , a 2 , a k является базисом некоторой совокупности векторов, а вектор b является их линейной комбинацией b = λ 1 a 1 + + λ k a k , Имеет место следующая теорема Теорема . Разложение любого вектора конечномерного вектора в заданном базисе, если оно существует, единственно . Следствие. Пусть теперь векторы a 1 , a , n − базис пространства R n . Тогда любой вектор из пространства R n обязательно представим в виде разложения по базису b = α 1 a 1 + + α n a n .

Лекция №1	Векторы и операции над ними			проф. Дымков М.П.	12
Числа α 1 , α , n	называются координатами вектора	в базисе a 1 , a , n , и
				b

как следует из вышеприведенной теоремы это набор чисел единственный для заданного базиса. Ясно, что один и тот же вектор b в другом базисе (их же много!) будет иметь другие координаты. Важность теоремы (следствие к ней) заключается в том, что на ее основе изучение множества векторов n -мерного пространства R n , содержащего бесконечно много элементов, можно фактически свести к изучению конечного множества векторов базиса этого пространства.

§ 7. Ортонормированный базис

Наиболее удобно изучать разложение n -мерных векторов по специальным базисам. Рассмотрим базис пространства R n , состоящий из ортогональных векторов (так называемый ортогональный базис ) , т.е система векторов вида : l 1 , l 2 , l n , для которых скалярное произведение ( l i , l j ) = , если i ≠ j (4). Замечание. Ортогональные базисы хорошо известны на плоскости и пространстве Чем удобны такие базисы? Прежде всего тем, что ко- ординаты разложения произвольного вектора весьма просто определить. Пусть требуется найти координаты разложения произвольного вектора b в

базисе (4), т.е. надо найти числа α i , i = 1. n в равенстве
b = α 1 l 1 + α 2 l 2 + + α n l n .	(5)

Умножим скалярно обе части равенства (5) (это же векторы!) на вектор l i , используя при этом свойства скалярного произведения векторов: ( b , l i ) = α 1 ( l 1 , l i ) + + α i ( l i , l i ) + + α n ( l n , l i ) .

Так как ( l i ,			l j ) =	для			i ≠ j , то получаем
( b , l i ) = 0 + + α i ( l i , l i ) + + 0 .
Отсюда α	=	( b , l i )	=	( b		l i ) ,	i = 1, 2, …, n .
		i		( l i , l i )
l	2
			i

Определение . Ортогональные базисы вида (4), у которых || l i || = 1 , называ- ют ортонормированными базисами . Координаты разложения в таком базисе имеют простой вид ─ это числа, которые вычисляются по формулам α i = ( b , l i ) i , = 1. n .

Лекция № 2

Матрицы и матричное исчисление

проф. Дымков М.П. 13

§ 1. Матрицы. Основные понятия

В этой главе введены новые объекты (сравните с введенными ранее понятиями: числа, векторы и др.) и основные операции над ними. Также показано как эти новые объекты можно использовать при решении конкретных задач. Как оказалось, матричное исчисление является весьма выразительным и компактным математическим аппаратом при моделировании многих процессов в различных областях. Определение . Прямоугольная таблица действительных чисел

a 11	a 12	a 1 n
A = a 21	a 22	a 2 n	,
a m 2
	a m 1	a mn

содержащая m строк и n столбцов, называется (числовой) матрицей размера m x n. (Заметим, что все строки (и все столбцы) имеют одинаковую длину ─ m и n !). Числа a 11 , a 12 , , a mn называются элементами матрицы. Каждый элемент a ij снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в которой расположен этот элемент. Матрицы в дальнейшем будем обозначать заглавными буквами А , В , С , или A 1 , A 2 , . Часто вместо подробной записи всей таблицы используют сокра-

щенную					запись вида A = ( a ij ) , i = 1, 2, , m ,	j = 1, , n	или
A =	a ij	, i = 1,2. m , j = 1,2. n . Когда существенным является указать лишь

размеры матрицы, то матрицы иногда записывают как A m × n Матрица, у которой m = n , называется квадратной . Элементы квадратных матриц, стоящие на диагонали, идущей с верхнего левого угла, образуют так называемую главную диагональ . Элементы квадратных матриц, стоящие на диагонали, идущей с верхнего правого угла, обра- зуют побочную диагональ . Квадратная матрица называется диагональной , если у неё ненулевыми элементами являются лишь элементы главной диагонали . Квадратная матрица называется симметрической , если ее элементы, симметричные относительно главной диагонали , равны.

87. Базис и ранг системы векторов. Теорема о базисах

Пусть V векторное пространство над полем Р, S — система векторов из V.

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема B1, B2, . BR системы S, что любой вектор системы S линейная комбинация векторов B1, B2, . BR.

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S. Обозначается ранг системы векторов S символом R = rangS.

Если S = 0>, то система не имеет базиса и предполагается, что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов A1 = (1,2), A2 = (2,3), A3 = (3,5), A4 = (1,3). Вектора A1 , A2 образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и A3 = A1 + A2 , A4 = 3A1 — A2 . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть S — конечная система векторов из V , S ≠0>. Тогда справедливы утверждения.

1° Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2° Система S обладает базисом.

2° Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов, т. е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4° Если R = rangS, то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5° Если R = rangS, То любые k > r векторов системы S линейно зависимы.

6° Любой вектор A € S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т. е., если B1, B2, . BR базис системы S, то

A = A1B1 + A2B2 +. + ARBR ; A1, A2, . AN € P, (1)

И такое представление единственно.

В силу 5° базис это Максимально линейно независимая подсистема системы S, а ранг системы S число векторов в такой подсистеме.

Представление вектора A в виде (1) называется Разложением вектора по векторам базиса, а числа a1, a2, . ar называются Координатами вектора A В данном базисе.

Доказательство. 1° Пусть B1, B2, . BK — линейно независимая подсистема системы S. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора нашей подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через вектора B1, B2, . BK , то обозначим его через BK+1 . Тогда системы B1, B2, . BK , BK+1 — линейно независима. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора этой подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через B1, B2, . BK , BK+1, то повторим рассуждения. Продолжая этот процесс, мы либо придем к базису системы S , либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Так как в системе S конечное число векторов, то вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно и на некотором шаге получим базис системы S.

2° Пусть S конечная система векторов и S ≠0>. Тогда в системе S есть вектор B1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S . По первой части его можно дополнить до базиса системы S . Таким образом система S обладает базисом.

3° Допустим, что система S имеет два базиса:

B1, B2, . BR , (2)

C1, C2, . CS , (3)

По определению базиса система векторов (2) линейно независима и (2) Í S . Далее по определению базиса каждый вектор системы (2) линейная комбинация векторов системы (3). Тогда по основной теореме о двух системах векторов R £ S. Аналогично доказавается, что S £ R. Из этих двух неравенств следует R = S.

4° Пусть R = rangS, A1, A2, . AR — линейно независимая подсистема S. Покажем, что она является базисом систем S. Если она не является базисом, то по первой части ее можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, . AR, AR+1. AR+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

5° Если K векторов A1, A2, . AK (K > R) системы S — линейно независимы, то по первой части эту систему векторов можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, . AK, AK+1. AK+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

6° Пусть B1, B2, . BR базис системы S. По определению базиса любой вектор A € S есть линейная комбинация векторов базиса:

A = a1B1 + a2B2 +. + arBR.

Доказывая единственность такого представления допустим противное, что есть еще одно представление:

A = b1B1 + b2B2 +. + brBR.

Вычитая равенства почленно находим

0 = (a1 — b1)B1 + (a2 — b2)B2 +. + (ar — br)BR.

Так как базис B1, B2, . BR линейно независимая система, то все коэффициенты ai — bi =0; I = 1, 2, . R. Следовательно, ai = bi ; I = 1, 2, . R и единственность доказана.

• Главная
• Заказать работу
• Стоимость решения
• Варианты оплаты
• Ответы на вопросы (FAQ)
• Отзывы о нас
• Примеры решения задач
• Методички по математике
• Помощь по всем предметам
• Заработок для студентов

Найти ранг и какой нибудь базис системы векторов

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор — из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .

2 случай. Вектор — не из базиса. Тогда r > k .

Рассмотрим систему векторов . Данная система явля ется линейно зависимой, так как — базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁ , с₂, …, с _k , с, не все равные нулю, такие, что

Очевидно, что (если с= 0 , то базис системы является линейно зависимым).

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

Вычитая эти равенства, получим

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

Пример. Дана система векторов: (2, 0), (5, 5), (4, 3).