Решение на Упражнение 69 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Дорофеев Г.В.
1) Сколько всего имеется двузначных чисел? Чтобы выяснить это, будем рассуждать так:
наибольшее двузначное число − это 99;
среди чисел от 1 до 99 имеется девять однозначных;
количество двузначных чисел находим вычитанием 99 − 9 = 90.
2) Сколько всего трёхзначных чисел? Рассуждайте по следующему плану:
определите наибольшее трёхзначное число;
выясните, сколько всего однозначных и двузначных чисел;
найдите вычитанием количество трёхзначных чисел.
3) Догадайтесь, сколько всего четырёхзначных чисел. Проверьте себя, проведя подсчёты.
Сколько существует чисел?
Сколько существует:
a) двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13;
б) двузначных чисел, сумма цифр которых равна 8;
в) трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 14?
Лучший ответ
А) 49, 58, 67, 85,94, 76
( 6 чисел)
б) 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80
(8 чисел)
в) 149 158 167 176 185 194
239 248 257 266 275 284 293
329 338 347 356 365 374 383 392
419 428 437 446 455 464 473 482 491
509 518 527 536 545 554 563 572 581 590
608 617 626 635 644 653 662 671 680
707 716 725 734 743 752 761 770
806 815 824 833 842 851 860
905 914 923 932 941 950 (70 чисел)
Остальные ответы
Людмила Батищева Ученик (146) 2 года назад
70 не правильно
Павел А. Корхов Высший разум (100127) Людмила Батищева, аргументируйте.
А) 49, 58, 67, 85,94, 76
( 6 чисел)
б) 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80
(8 чисел)
в) 149 158 167 176 185 194
239 248 257 266 275 284 293
329 338 347 356 365 374 383 392
419 428 437 446 455 464 473 482 491
509 518 527 536 545 554 563 572 581 590
608 617 626 635 644 653 662 671 680
707 716 725 734 743 752 761 770
806 815 824 833 842 851 860
905 914 923 932 941 950 (70 чисел)
олимпиада — Сколько существует двузначных чисел
$$Сколько \ существует \ двузначных \ чисел \ m, \ для \ каждого \ из \ которых \ существует \ ровно \ 36 \ трёхзначных \ $$ $$ чисел \ n , \ таких, \ что \ n^2 \ и \ (n + m)^2 \ дают \ одинаковый \ остаток \ при \ делении \ на \ 100.$$
задан 18 Май ’14 0:51
1 ответ
Требуется, чтобы $%(n+m)^2-n^2=m(2n+m)$% делилось на $%100$%. Пусть $%d=<\mathop<\rm НОД>>(m,100)$%. Тогда $%2n+m$% делится на $%100/d$%.
Если $%100/d$% чётно, то $%m$% также чётно, и $%n+\frac2$% делится на $%50/d$%. Среди $%50/d$% последовательных чисел имеется ровно одно число $%n$% с требуемым свойством при любом фиксированном $%m$%. Поскольку трёхзначных чисел всего $%900$%, и они идут последовательно, их можно разделить на $%18d$% групп по $%50/d$% чисел в каждой из них. Тогда $%18d=36$%, то есть $%d=2$%. Это число подходит, так как $%100/d$% чётно.
Теперь пусть $%100/d=2k+1$% нечётно. Если $%2n+m$% делится на $%2k+1$%, то и $%2kn+km$% делится, а тогда делится и $%n-km$%. Как и выше, в каждой группе из $%2k+1$% последовательного числа имеется ровно одно, которое нам подходит (с тем же остатком от деления на $%2k+1$%, что и $%km$%), и всего таких чисел имеется $%900:(2k+1)=9d$%. При этом $%9d=36$%, то есть $%d=4$%. Это значение подходит, так как $%100/d$% нечётно.
Вопрос принимает такой вид: сколько имеется двузначных чисел $%m$%, для которых $%<\mathop<\rm НОД>>(m,100)$% равен $%2$% или $%4$%? Это в точности все чётные числа, не делящиеся на $%5$%. Двузначных чисел имеется $%90$%; из них $%45$% чётных. Те из них, которые кратны пяти, будут кратны 10, и таких чисел 9. Их количество надо вычесть, и в ответе будет $%45-9=36$%.
отвечен 18 Май ’14 1:41
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Хорошее решение но есть пару вопросов. 1) Почему не рассмотрели случай когда m взаимно просто с числом 100. 2) Как доказать что среди 50/d чисел найдется только одно n удовлетворяющее условию?
(18 Май ’14 4:05) night-raven
Случай взаимной простоты рассмотрен, потому что он означает $%d=1$%. При этом $%100/d$% чётно, а мы выяснили, что среди них подходит только $%d=2$%.
Поскольку число $%m$% фиксировано, то числа вида $%n+\frac2$% тоже последовательные, и при делении на $%s$% все такие числа в количестве $%s$% штук дают разные остатки. Значит, ровно одно из них делится на $%s$% (здесь $%s=50/d$%, но то же верно для любого числа).
Сколько всего существует двузначных чисел а трехзначных
Задание 19. а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа и дают одинаковый остаток при делении на 200.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что и дают одинаковый остаток при делении на 200.
а) Рассмотрим два числа и , которые имеют одинаковый остаток при делении на 200, то есть можно записать
где — целые числа (целые результаты деления чисел на 200). Тогда можно заметить, что разность этих чисел
будет делиться на 200 нацело. Для чисел и можно заключить, что разность
должна делиться на 200. Кроме того, значение должно быть кратно 25, так как НОД(32, 200)=8 и 200:8=25. Таким образом, условию пункта а) удовлетворяют все числа , при . Например, при получаем и видим, что
имеют одинаковый остаток.
б) Трехзначные числа будут получаться при , то есть их всего 36 штук.
в) Сначала вычислим разность этих двух чисел, получим:
и, учитывая, что должно быть четным, имеем:
это значение должно быть кратно 200.
Из предыдущего пункта мы выяснили, что число удовлетворяет условию текущего задания. Это связано с тем, что НОД(2*m=32, 200)=8 и тогда множитель должен быть кратен 200:8=25, и число
Найдем такие четные двухзначные , при которых НОД(2*m, 200)=8, получим:
±12, ±16, ±24, ±32, ±48, ±56, ±64, ±72, ±88, ±96,
то есть всего 20 значений.