Как доказать, что прямые лежат в одной плосткости, и составить уравнение этой плоскости.
Лучше обозначить параметр во 2-м уравнении другой буквой, так как он независим от параметра t в 1-м уравнении:
Теперь приравняем координаты, получим ТРИ уравнения для ДВУХ неизвестных t,k:
2-3t=1+4k, 11+4t=2+5k, 4+2t=3-k.
Такая система, вообще говоря, не имеет решения, за исключением слyчая, когда прямые пересекаются.
В данном случае это именно так: t=-1, k=1.
Теперь известна точка пересечения: x=5, y=7, z=2.
Нормаль к плоскости находим как векторное
произведение направляющих векторов прямых:
Осталось написать уравнение плоскости:
Остальные ответы
прямые лежат в одной плосткости > прямые не паралельны, то есть просто найти точку пересечения
(решить систему для t а потом подставить и найти xyz)
уравнение плоскости это и есть эта система ( то есть 2 этих уравнения взятые в скобки)
1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).
В пространстве мы можем найти множество примеров ситуаций, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Рис. \(1\). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Теорема «Признак скрещивающихся прямых»
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство
Рассмотрим прямую \(AB\), лежащую в плоскости, и прямую \(CD\), которая пересекает плоскoсть в точке \(D\), не лежащей на прямой \(AB\).
Рис. \(2\). Скрещивающиеся прямые.
1. Допустим, что прямые \(AB\) и \(CD\) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую \(AB\) и точку \(D\), то есть, она совпадает с плоскостью \(α\).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая \(CD\) не находится в плоскости \(α\), а пересекает её.
Теорема доказана.
В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными.
Рис. \(3\). Параллельные прямые.
Рис. \(4\). Пересекающиеся прямые.
Рис. \(5\). Скрещивающиеся прямые.
Теорема
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые \(AB\) и \(CD\).
Рис. \(6\). Доказательство теоремы.
1. Через точку \(D\) можно провести прямую \(DE\), параллельную \(AB\).
2. Через пересекающиеся прямые \(CD\) и \(DE\) можно провести плоскость \(α\).
3. Так как прямая \(AB\) не лежит в этой плоскости и параллельна прямой \(DE\), то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через \(CD\), будет пересекаться с \(DE\) и \(AB\), которая ей параллельна.
Теорема доказана.
Углы между прямыми
1. Если прямые параллельны, то угол между ними — 0 ° .
2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90 ° ).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.
Обрати внимание!
Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.
Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.
и 
.
Отсюда, направляющие вектора этих прямых 
,
и точки
,
лежат на соответствующих прямых. Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы
и
2 компланарны. Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости равносильно условию компланарности этих векторов: 
или
. (32)
Условие (32) является также критерием пересечения двух прямых.
Замечание. Если заданы две прямые, то они могут быть в одном из трех следующих соотношений:
- п
араллельны,
, - пересекаются,
- прямые (1) и (2) скрещиваются (рис. 12), следовательно,
. Тогда возникает вопрос об определении расстояния между скрещивающимися прямыми, как высоты параллелепипеда, построенного на векторах
, как на сторонах:
. Пример 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно прямым : 
: 
и
: 
. Решение. На искомой плоскости образуем текущий вектор 
. Из канонического уравнения прямой 
и параметрического уравнения прямой 
получим координаты их направляющих векторов
и
. Условие компланарности этих трех векторов
дает уравнение плоскостиα: 
. Пример 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку 
и прямую
: 
. Решение. На искомой плоскости образуем текущий вектор 
. Уравнение прямой задано пересечением плоскостей, поэтому ее направляющий вектор 
определяется из равенств: 
. Так как 
, 
, то 
. На прямой 
зафиксируем произвольную точку
. Координаты
найдем из системы уравнений заданной прямой, положив в них, например,
: 
. Решая эту систему, получим 
,
. Таким образом,
. Соединив точки
и
, получим вектор
, принадлежащий плоскостиα. Для любой точки 
выполняется условие компланарности векторов
. И, так как 
не параллелен 
, то уравнение плоскости дается равенством: 
Пример 10. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямые 
: 
и
:
. Решение. Из канонического уравнения прямой 
найдем координаты некоторой точки 
, расположенной на 
: 
и, соединив ее с текущей точкой
, образуем текущий вектор
. Из уравнений прямых получим направляющие вектора 
,
, которые, как и прямые 
, 
, принадлежат плоскости 
. Так как для любой точки 
выполняется условие компланарности векторов
, а
не параллелен
2, то искомая плоскость описывается уравнением: 
Остальные семь примеров в другом файле.
8. Кривые второго порядка.
Порядком алгебраического уравнения называется высшая степень входящего в уравнение неизвестного. Порядок кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости. Общий вид кривой 2-го порядка: К кривым 2-го порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.
8.А Окружность
Пусть 
– центр окружности радиуса
, тогда уравнение окружности имеет вид: 
8.Б. Эллипс (в декартовой системе координат)
Э
ллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна и равна
(рис. 13). Пусть фокусами эллипса являются точки 
и
, при этом
есть фокальная ось эллипса.
– некоторая точка, принадлежащая эллипсу. По определению эллипса, для любой его точки
, имеем: 
Пусть ось 
совпадает с фокальной осью
. Начало координат выберем посередине между фокусами
и
, а ось
перпендикулярно фокальной оси. При таком выборе системы координат уравнение эллипса примет вид: 
. Действительно, согласно рисунку 13, 
. Следовательно,
. Аналогично 
. Отсюда, по определению, 
Преобразуем полученное уравнение эллипса. 
Отсюда получаем искомое уравнение эллипса. Так как из 
следует, что
т.е.
, то полагают
и получаютканоническую (простейшую) форму уравнения эллипса: 
. (33) Эксцентриситет эллипса: 
. 
–вершины эллипса, a директрисы имеют уравнения: 
(рис. 14). Параметрические уравнения эллипса (рис. 15):
1. Параллельность прямых, прямой и плоскости
1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α .
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.
Доказательство:
1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α .
2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Доказательство:
рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1 рис.).
Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β .
Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β (2 рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β .
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).
Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).
Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α .
Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Дано: a ∥ c и b ∥ c .
Доказать: a ∥ b .
Доказательство:
выберем точку \(M\) на прямой \(b\).
Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая \(b\) пересекает плоскость α ; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α .
Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α .
Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α . Так как a ∥ c , то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α , является неверным.
Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α .
Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).
Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.
Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α , и у них нет общих точек, то они параллельны.
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых .
Выводы:
1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если a ∥ b и b ∥ c , то a ∥ c .
одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.
Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(BC\), тоже пересекает плоскость α .
2. Параллельность прямой и плоскости
Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
1) прямая лежит (находится) в плоскости;
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);
3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.
Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Доказательство:
доказательство проведём от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости α , тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причём \(A\) не находится на \(b\), так как a ∥ b . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся.
Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a ∥ b , они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α .
Обрати внимание!
Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.
Теорема 6.
Если плоскость β проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то b ∥ a .