Когда тангенс положительный а когда отрицательный

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и — α .

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?

Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 ( 1 , 0 ) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 ( x , y ) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 ( x , y ) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.

При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 ( x , y ) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

Косинус — это абсцисса точки A 1 ( x , y ) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

Согласно этому свойству, справедливы равенства

sin — 48 ° = — sin 48 ° , c t g π 9 = — c t g — π 9 , cos 18 ° = cos — 18 °

Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.

Почему тангенс отрицательный?

Задание такое:
на клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его тангенс.

В ответе тангенс записан со знаком «-«
Может ли тангенс вообще быть отрицательным?
Объясните непутевому ученику, пожалуйста :))

Лучший ответ

1. выучите определения основных тригонометрических функций.
в частности тангенс это отношение синуса к косинусу угла.
2. у вас тупой угол.
косинус тупого угла отрицательный.
вопросы есть?

АлександраПрофи (640) 2 года назад

а нормально отвечать не умеем, обязательно с наездом?)))

Александра, это высший разум

trtrtrtrtrПрофи (827) 6 месяцев назад

высший разум, ты бы базар то фильтровал, не урок жаргона преподаешь

Знаки тригонометрических функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

1. sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
2. cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
3. tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

1. sin (3π/4);
2. cos (7π/6);
3. tg (5π/3);
4. sin (3π/4) · cos (5π/6);
5. cos (2π/3) · tg (π/4);
6. sin (5π/6) · cos (7π/4);
7. tg (3π/4) · cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
4. sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
6. sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
8. ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Смотрите также:

1. Радианная мера угла
2. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
5. Изюм и виноград (смеси и сплавы)
6. Задача B4: транзит нефти

• Вход для учеников
• ЕГЭ-2024
• Часть 1
• 1. Уравнения
• 2. Вероятность
• 3. Планиметрия
• 4. Тригонометрия
• 5. Стереометрия
• 6. Производные
• 7. Формулы
• 8. Текстовые задачи
• 11. Экстремумы функций
• Часть 2
• 12. Тригонометрические уравнения
• 13. Сложная стереометрия
• 14. Сложные неравенства
• 15. Экономические задачи
• 16. Сложная планиметрия
• 17. Задачи с параметром
• 18. Теория чисел
• Архив
• X1. Движение и время
• X2. Графики
• X3. Площади
• X4. Стереометрия
• X5. Экономика
• Об экзамене
• Советы
• 2014
• 2015
• 2016
• 2017
• 2018
• 2019
• Школьникам
• Студентам
• Реклама
• Обо мне

• © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
  ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
• Карта сайта

1. Синус, косинус и тангенс угла

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В треугольнике \(AOX\):
sin α = AX AO ; cos α = OX AO .
Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sin α = AX ; cos α = OX .

Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):

A cos α ; sin α .
Следовательно, для углов 0 ° ≤ α ≤ 180 ° видно, что − 1 ≤ cos α ≤ 1 ; 0 ≤ sin α ≤ 1 .

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,

tg α = AX OX = sin α cos α .

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0 ° ; 90 ° ; 180 ° .

sin 0 ° = 0 ; cos 0 ° = 1 ; tg 0 ° = 0 ; sin 90 ° = 1 ; cos 90 ° = 0 ; tg 90 ° не существует ; sin 180 ° = 0 ; cos 180 ° = − 1 ; tg 180 ° = 0 .

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90 ° , то оба выразим через α .

Если sin α = AX AO ; cos α = OX AO , то sin 90 ° − α = OX AO ; cos 90 ° − α = AX AO .
Видим, что справедливы равенства:
cos 90 ° − α = sin α ; sin 90 ° − α = cos α .
Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α .

Справедливы следующие равенства:
sin 180 ° − α = sin α ; cos 180 ° − α = − cos α .
Эти формулы называются формулами приведения:
cos 90 ° − α = sin α ; sin 90 ° − α = cos α .
sin 180 ° − α = sin α ; cos 180 ° − α = − cos α .

Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX 2 + OX 2 = 1 . Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем