Как доказать что функция дифференцируема в точке

Конев В.В. Дифференцирование функций

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Дифференцирование функций

Основные теоремы

Формула Тейлора

Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда

Следовательно, при x → a.

Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.

Рис. 8. Непрерывная в точке a функция не является дифференцируемой в этой точке.

Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства

Определение дифференцируемой функции одной переменной в точке. Важность понятия дифференцируемости для функций, зависящих от многих переменных. Доказательство теорем: об эквивалентности дифференцируемости и существованием производной; о непрерывности дифференцируемой функции.

Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемая функция в точке Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки .
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от и о-малого по сравнению с :
(1) .
Здесь – действительная величина, зависящая от , но не от ; ;
– о-малое по сравнению с при . То есть
, где .

Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?

Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y ), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке мы можем составить бесконечное множество производных по различным направлением. Кроме этого, по одним направлениям производные могут существовать, а по другим – нет.

Но мы хотим ввести новый класс функций, с которыми проще работать методами бесконечно малых величин. Самыми простыми являются линейные функции. Поэтому желательно выделить такой класс функций, приращения которых можно свести к линейным операциям. Это можно сделать, если потребовать, чтобы приращение функции было линейной функцией от приращений ее аргументов плюс о-малое по сравнению с этими приращениями. Такие функции называются дифференцируемыми. Например, для функции двух переменных можно записать так:
,
где – действительные величины, не зависящие от ;
– норма вектора .

Дифференцируемая функция многих переменных в точке Пусть функция многих переменных определена в некоторой окрестности точки .
Функция f называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращений ее аргументов и о-малого по сравнению с нормой приращений аргументов:
.
Здесь – действительные величины, зависящие от , но не от ; ;
– о-малое по сравнению с при ;
.

Свойства дифференцируемой функции

Теорема о существовании производной дифференцируемой функции

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существует производная . При этом
.
Доказательство

Таким образом, в случае функции одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
Пусть функция дифференцируема в точке .
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство

Заметим, что обратное неверно. Если функция непрерывна в точке, то она может не быть дифференцируемой в этой точке. Так функция непрерывна для всех x , но не имеет производной при . См пример

Лемма об односторонних производных

Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны:
.
При этом
.
Доказательство

Доказательства теорем

Теорема о существовании производной дифференцируемой функции

Все свойства Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существует производная . При этом
.

Доказательство

1) Пусть функция дифференцируема в точке , то есть выполняется (1):
.
Разделим на и выполним переход :
;
.
Здесь, согласно свойству о-малого, . Отсюда получаем, что существует конечный предел
,
который является производной функции в точке : .

2) Пусть в точке существует производная . Это означает, что существует предел:
.
Воспользуемся свойством бесконечно малых функций. согласно которому, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы функция имела вид: , где – бесконечно малая функция при .

В нашем случае это означает, что
.
Отсюда
.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Все свойства Пусть функция дифференцируема в точке .
Тогда она непрерывна в этой точке.
Доказательство

Используем определение непрерывности функции в точке. Согласно этому определению, функция f непрерывна в , если
1) определена в некоторой окрестности ;
2) существует предел при , и он равен :
.

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда согласно определению ⇑, она определена в некоторой окрестности точки . Пункт 1) выполнен.

Докажем, что выполняется пункт 2) . Поскольку дифференцируема в точке , то выполняется (1):
.
Выполняем предельный переход :
;
;
;
.
Сделаем подстановку . Тогда при . Последнее уравнение принимает вид:
.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-11-2021 Изменено: 25-05-2022

Как доказать что функция дифференцируема в точке

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ K ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X

§ 220. Дифференцируемые функции

Производная функции у = f (х) в точке х определяется как предел

Но пределы существуют не всегда. Точно так же не всегда существуют и производные. В качестве примера рассмотрим следующую функцию:

f (х) = | x |

Покажем, что производная f ‘(0) от этой функции при х = 0 не определена. Действительно, по определению производной

Если Δx стремится к нулю, оставаясь положительным, то |Δx| = Δx и тогда

Если же Δx стремится к нулю, оставаясь отрицательным, то |Δx| = — Δx и тогда

Если бы предел в формуле (1) существовал, то он не зависел бы от того, как Δx стремится к нулю. На самом же деле это не так. Но отсюда можно сделать лишь тот вывод, что предел в (1) не существует.

Итак, для функции f (х) = | x | производная в точке х = 0 не определена. Легко показать, что во всех остальных точках производная функции f (х) = | x | существует и равна

Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х = а, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то говорят, что она дифференцируема в этом интервале. Например, функция у = | х | дифференцируема в каждом интервале, не содержащем точки х = 0; функция у = х дифференцируема всюду.

(Можно доказать, что функция, разрывная в точке х = а (см. гл. IX, §212), не является дифференцируемой в этой точке. Таким образом, дифференцируемыми могут быть только непрерывные функции. Однако не следует думать, что любая непрерывная в точке х = а функция является дифференцируемой в этой точке. Например, функция у = | х | непрерывна в точке х = 0, но, как показано выше, не дифференцируема в этой точке. Существуют и более убедительные примеры: функция может быть всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако рассмотрение таких функций выходит далено за пределы нашей программы.)

Упражнение

1747. Являются ли функции f (х) = | x | 2 и f (х) = | x | 3 дифференцируемыми в точке х = 0?

Обе функции дифференцируемы в точке х = 0

4. Производная, дифференциальное исчисление

Теорема. Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то эта функция непрерывна в точке $x_0$.

Согласно условию теоремы, существует предел

причем $\alpha (\Delta x) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$. Значит, правая часть этого равенства стремится к $f(x_0)$ при $\Delta x \rightarrow 0$, это и означает непрерывность $f(x)$ в точке $x_0$.

Замечание. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Т.о., дифференцируемость «более сильное» свойство, чем непрерывность.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$. Говорят, что функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум, если для некоторой окрестности этой точки $U$ справедливо: $f(x) \leq f(x_0)$ при всех $x \in U$. Аналогичным образом определяется локальный минимум.

Теорема Ферма. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$, причем $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Если $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум (или локальный минимум), то $f'(x_0)=0$.

Будем для определенности считать, что в точке $x_0$ имеется локальный максимум (доказательство для локального минимума по существу то же самое). Рассмотрим выражение

$A(x_0,\Delta x)=\frac$. Рассмотрим знак этого выражения. При достаточно малых положительных $\Delta x$ мы, согласно определению локального максимума, имеем: $f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)$, так что числитель этой дроби неположителен, в то время как знаменатель — положителен. Поэтому имеем для таких $\Delta x$: $A(x_0,\Delta x) \leq 0$. Переходя к пределу (который существует, поскольку существует производная $f'(x_0)$) получаем: $f'(x_0) \leq 0$. Рассматривая отрицательные значения $\Delta x$, аналогичным образом получаем: $f'(x_0) \geq 0$. В итоге заключаем: $f'(x_0)=0$.

Теорема Ферма является необходимым условием наличия в точке $x_0$ локального максимума или локального минимума функции $f(x)$ — этим условием является равенство $f'(x_0)=0$. Для вывода достаточного условия нам потребуется несколько более продвинутая техника, оно обсуждается ниже. В связи с этими условиями возникает следующее определение.

Определение. Стационарной точкой (или: экстремальной точкой) функции $f(x)$ называется такая точка $x_0$, которая удовлетворяет условию $f'(x_0)=0$.

Теорема Ролля. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям.
1. Она непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$.
2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$.
3. $f(a)=f(b)$.
Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что $f'(c)=0$.

Согласно свойствам непрерывных функциях они на замкнутом конечном интервале $\left [ a,b\right ]$ принимают максимальное и минимальное значения $M,m$, которые, естественно, является и локальными максимумом и минимумом. Возможны следующие варианты.

а) $M=m$, откуда следует, что $f(x)=const=m$. При этом $f'(x)=0$ для всех $x \in (a,b)$.

б) $M \neq m$. Возможна ли ситуация, когда оба эти значения принимаются на концах интервала? Поскольку $f(a)=f(b)$, этого быть не может. Значит, одно из этих значений принимается в точке $c$, лежащей внутри интервала $(a,b)$. Соответственно, по теореме Ферма, имеем: $f'(c)=0$.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Ролля.

Рис 4: К геометрическому смыслу теоремы Ролля

На рисунке 4 изображена функция, принимающая равные значения на концах. В соответствии с заключением теоремы, существует точка $c$, в которой касательная к графику функции параллельна оси $x$ (т.е. $f'(c)=0$).

Теорема Лагранжа. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям.
1. Она непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$.
2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$.

Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что \begin f'(c)=\frac. (11) \label \end

Введем константу $$ Q=\frac$$ и новую функцию $$F(x)=f(x)-f(a)-Q\cdot (x-a).$$ Из этих определений следует, что $F(a)=F(b)=0$, функция $F(x)$ непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$. Таким образом, она удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, согласно этой теореме, существует $c \in (a,b)$ такая, что $F'(c)=0$. Из наших определений следует: $F'(c)=f'(c)-Q=0$.

Формула (11) называется формулой конечных приращений. Ее можно переписать в виде: \[ f(b)-f(a)=f'(c)\cdot (b-a), \] где, напомним, $c \in (a,b)$.

Рис 5:К геометрическому смыслу теоремы Лагранжа

В таком виде она часто используется в том случае, когда требуется вычислить (или оценить) величину $f(b)-f(a)$.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа, см. рис. 5. Значение $f'(c)$ фиксирует угол наклона касательной к графику в точке $c$, выражение $(f(b)-f(a))/(b-a) $ задает угол наклона хорды, соединяющей концы кривой. Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что между $a$ и $b$ найдется такая точка $c$, что каcательная к графику в этой точке параллельна хорде, соединяющей концы кривой.

Теорема Коши. Пусть функции $f(x),g(x)$ удовлетворяют следующим условиям.
1. Они непрерывны на интервале $\left [ a,b\right ]$.
2. Они дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g(a) \neq g(b)$.
Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что \[ \frac=\frac. \]

Определим константу $$Q=\frac$$ и функцию $$F(x)=f(x)-Q \cdot g(x)$$

Эта функция непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$, причем $$F(a)=f(a)-g(a)\cdot \frac=\frac=$$ $$f(b)-g(a)\cdot \frac=F(b).$$

Таким образом, функция $F(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно, существует $c \in (a,b)$ такая, что $F'(c)=0$. Это равенство можно переписать в виде: \[ f'(c)-Q\cdot g'(c)=0, \] что эквивалентно заключению теоремы.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши в том случае, когда $g(x)=x$.