Какие три способа определения вероятностей событий вы знаете

Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу

Учебное пособие по дисциплине «Математика и информатика» для студентов гуманитарных и педагогических специальностей очной формы обучения.

/сост. Егорова Э.В.– Тольятти: ТГУ, 2008.

В учебном пособии рассмотрены вопросы по математике: аксиоматический метод, теория множеств, основы теории вероятностей и математической статистики, а также вопросы по информатике: алгоримизация и программирование.

Изложено содержание теоретических вопросов по разделам математики и основам информатики в соответствии со стандартом. Рассмотрены примеры и даны вопросы для контроля по каждой теме.

Рекомендовано для студентов всех форм обучения гуманитарных направлений.

Научный редактор: к.т.н. Д.И. Панюков

Утверждено редакционно-издательской секцией методического совета института.

© Тольяттинский государственный университет, 2008

Теория вероятностей: формулы для решения типичных задач, объяснение теории

Теория вероятностей о видах событий и вероятности их появления

На этом уроке освоим формулы для решения типичных задач по теории вероятностей. Узнаем виды событий и научимся вычислять вероятности их появления. Немаловажно, как появилась теория вероятностей: математика занялась проблемами азартных игр, в частости, вероятностью выпадения выигрыша. Поэтому до сих пор в задачах, в том числе тех, которые мы будем рассматривать, часто описываются различные игровые ситуации.

Если говорить о теории вероятностей простыми словами, то это математическая наука о вычислении вероятностей случайных событий. Нередко приходится слышать, что вероятность такого-то события равна нулю, единице, 50 процентам или другому числовому значению. Но насколько достоверны те или иные утверждения, а точнее, в каких случаях они достоверны, а в каких — нет? Например, «блондинка из анекдота» утверждает, что вероятность случайно встретить на улице динозавра равна 1/2 или 50 процентам. Насколько это достоверно?

Нельзя утверждать, что «блондинка из анекдота» совершенно не права. Ее заключение основано на том, что динозавра на улице «можно встретить, а можно не встретить». Такое заключение может быть истолковано по классическому определению вероятности: из двух возможностей одна благоприятствует наступлению события, следовательно, вероятность наступления события равна 1/2. Но такие заключения, как говорят умудренные опытом люди, не представляют окончательной познавательной ценности.

Ценность с точки зрения теории вероятностей представляют лишь такие заключения, которые связывают наступление или ненаступление события с большим числом случайных и часто мало связанных друг с другом факторов или условий.

Данная статья — вводная во множество уроков по теории вероятностей, а также математической статистике. На них можно научиться находить скрытые закономерности в данных о различных событиях и явлениях.

Теперь наиболее точное определение теории вероятностей. Теория вероятностей — математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов. Например, в случае анекдота про блондинку и динозавра требуется установить, сохранились ли где-либо на Земле динозавры, и если да, то где их больше и где на карте «динозавренности Земли» находится совершенно определенная улица. Если рассматривать более серьезные заключения, например, о том, что футбольный матч между командами A и B закончится со счетом 3:1, то это субъективное заключение, если оно не учитывает историю матчей между этими командами, матчей этих команд с другими командами, текущего состава игроков команд и истории достижений этих игроков.

Обобщенно: о вероятности события A можно говорить с предположением, что выполнен некоторый комплекс условий S. Если этот комплекс условий изменился, то и вероятность наступнения собятия S должна измениться. Например, утверждение о том, что при бросании игральной кости каждая сторона выпадет с одной и той же вероятностью, равной 1/6, предполагает следующий комплекс условий: кость имеет одинаковую плотность, имеет точную форму куба и подбрасывается совершенно случайным образом.

Именно на примерах азартных игр, в том числе игре в кости, учеными были впервые обнаружены статистические закономерности, описывающие частоту наступления события. Это было сформулировано так: наличие у события A при условиях S определенной вероятности, равной p, проявляется в том, что в почти каждой достаточно длинной серии испытаний частота события приблизительно равна p. На этой основе и возникла теория вероятностей в середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. Ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения, испытания или опыта. Наблюдением, испытанием или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Что нужно знать, чтобы решать задачи на определение вероятности появления события

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

• достоверные события;
• невозможные события;
• случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются для решения задач в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

• несовместными;
• совместными.

События A, B, C … называют несовместными, если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными. Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий.

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны, то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

• будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
• будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
• будут решены обе задачи;
• не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий.

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными, если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Задачи на классическую и статистическую вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А:

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p, не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А. Перейдём к задачам.

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B — выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Пример 4. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения числа 7?

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A — вытянут белый шар. Событие B — вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:

Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?

Свойства вероятностей

Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.

Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N и

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и

Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.

Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:

Определение статистической вероятности. В определении статистической вероятности используется понятие относительно частоты события А. Относительной частотой события А называют отношение числа наблюдений, в которых наблюдается А, к числу всех наблюдений. Относительную частоту обычно обозначают буквой W. Если в n наблюдениях событие А наблюдается m раз, то относительная частота события А:

Например, баскетболист у штрафной линии готовится совершить бросок. Из собранной тренером статистической информации известно, что у этого баскетболиста из 100 штрафных бросков успешны 70. Вероятность того, что баскетболист реализует штрафной бросок:

Длительные наблюдения показали, что с увеличением числа наблюдений относительная частота события А становится всё более стабильной. Число, около которого при серии наблюдений колеблется относительная частота, называется статистической вероятностью события А. Формула статистической вероятности события А:

Вычислить точную статистическую вероятность невозможно, так как невозможно выбрать бесконечно большое число наблюдений.

Преимущество статистического определения вероятности в том, что оно не требует априорных знаний об исследуемом объекте. Классическую вероятность можно вычислить до наблюдения или испытания, а статистическую – после наблюдения или испытания.

Аксиоматическое и геометрическое определение теории вероятности

Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий P (Ø) = 0. Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий S . На этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1. Каждому случайному событию A из поля событий S поставлено в соответствие неотрицательное число называемое вероятностью, такое, что

∪

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице:

Аксиома 3. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Примечания:

• Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть Ø – пустое множество событий, иначе говоря, Ø означает отсутствие событий. Тогда ∪, и Ω не имеет общих элементов с Ø. Отсюда следует

∪

• Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, так что в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет сделано позднее.

Геометрическое определение теории вероятности

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области:

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

ПРИМЕР 1 . Предположим, что на отрезок длиной L действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим ξ. Какова вероятность того, что она отклонится не дальше, чем на расстояние l, от середины указанного отрезка?

К задаче имеется рисунок:

Решение. Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка ξ может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длиной L. Кроме того, условия опыта таковы, что ξ с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке этого отрезка, расположенного на оси абсцисс. Событие А – точка ξ находится от середины отрезка на расстоянии не больше , наступает в результате попадания в любую точку , отстающую от середины не далее, чем на величину . «Доля» таких точек на всем отрезке может быть определена как отношение , где – длина всего рассматриваемого отрезка. – длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события А. Таким образом, искомая вероятность равна:

ПРИМЕР 16. Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [–1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

Решение. Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [–1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [–1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате. Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой . Получается следующий рисунок:

Таким образом, интересующая нас вероятность равна отношению площади фигуры (заштрихована) к площади квадрата:

Ответ: вероятность равна 0,25 или 25%

ПРИМЕР 17. Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

Решение . Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2] пары чисел x и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М(х, y) из множества всех точек квадрата со стороной равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие исходному неравенству, которое для простоты представим эквивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

Ответ: вероятность равна 1/3 или 33,33%

Вопросы по теории вероятности

Какие вы знаете способы для определения вероятностей?
Какие предположения мы используем, когда рассчитываем
вероятность того, что брошенная монета упадет орлом вверх?
Верны ли эти предположения для:
а) падающего бутерброда; б) листьев, падающих с дерева?
Что требуется для определения вероятностей экспериментальным путем?
Можно ли экспериментальным путем вычислить примерную вероятность
следующих событий:
а) вас спросят на уроке; б) на уроке в классе присутствуют все ученики;
в) вы не сделаете в изложении ни одной ошибки;
г) любимая мамина ваза разобьется в результате падения со стола на пол.

Лучший ответ

Все в руках Божьих.

Остальные ответы

о! я на второй вопрос знаю ответ!
при бросании монеты надо учитывать вероятности того, что монета упадёт «орлом вверх», «орлом вниз», «станет на ребро» и «повиснет в воздухе».

Похожие вопросы