Как найти точку касания параболы и прямой

Научный форум dxdy

Задача о касательной к параболе, не пойму как решать

На страницу Пред. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 След.

Re: Задача о касательной к параболе, не пойму как решать
17.06.2019, 18:49

Последний раз редактировалось wrest 17.06.2019, 19:08, всего редактировалось 3 раз(а).

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):

Квадратного уравнения в котором три неизвестных? Мы не знаем координаты точки касания, и мы не знаем прицельного параметра, мы не знаем фокуса параболы ни директрисы.

$p$

У вас ничего такого не спрашивают. Спрашивают только чему равно .
Решать надо уравнение вот это:

frostysh в сообщении #1399734 писал(а):

$y^<2>
= 2p(2y — 5)$» />
<img decoding=

Где — неизвестное.

frostysh в сообщении #1399760 писал(а):
Это просто сложная задача,

Это устная задача, ващето. Зачем вы вспомнили про фокус, директрису и т.п., совсем неясно. Это вообще не предполагается в задаче вспоминать никак.

Для рисования порекомендую сайт (и есть приложения) geogebra.org (графики функций: https://www.geogebra.org/graphing )

Re: Задача о касательной к параболе, не пойму как решать
17.06.2019, 19:10

Заслуженный участник

frostysh в сообщении #1399704 писал(а):
Хотя если честно, не пойму к чему бы это.

Ну, дык: когда у Вас появится квадратное уравнение, про него можно сказать: оно имеет два, одно, или ни одного решения (что и будет соответствовать ТРЕМ тем вопросам).
А замечание про студентов — да так, просто к слову — и совсем не про Вас — уж больно то вопрос тупой, разве нет? И ступор — именно от этого: не ожидает студент такой тупости примитивности вопроса , и ищет в нем скрытую подлянку.
Ну, а все же, когда-сколько корней у квадратного уравнения?

Re: Задача о касательной к параболе, не пойму как решать
17.06.2019, 20:16

Последний раз редактировалось frostysh 17.06.2019, 20:21, всего редактировалось 2 раз(а).

EUgeneUS в сообщении #1399769 писал(а):

Возвращаясь к параболе и прямой.
Если у Вас есть квадратное уравнение, то
а) сколько у него может быть решений?
б) при каких условиях получается то или иное количество решений?

a) Ну например бесконечно много, вообще нет решений, два решения и одно.
б) Если у нас, не знаю как по русски, довільна (любая) прямая вида $y = kx + b$ и любая парабола вида и ее здвиг $b$ точно как-то связан с прицельным параметром параболы $p$ , иначе пересеклось бы. Ну и количество общих точек, решений, будет соответственным, только я вот не пойму, считать ли в даном ракурсе касание пересечением, ну ладно.

wrest Ну уравнение: $y^<2>= 2p(2y — 5)$» /> <img decoding=

DeBill То есть найти минимальное параболы при котором не будет корней в этом уравнении? В квадратному уравнении возможно отсутствие решений в области действительных чисел, но в любом случае будет один или два корня в области комплексных, это я когда-то давно-давно читал (и даже шото учил) и это называется основная теорема алгебры. Ну в нашем, действительном случае либо решений (корней) не будет, либо их будет один, либо два.

Если ваши комы посреди пробелов и четыре точки в конце это стеганография, не тратьте времени попусту, я в этом не разбираюсь.

ihq.pl Что? Я пока не вижу ни одного пути к решению.

Re: Задача о касательной к параболе, не пойму как решать
17.06.2019, 20:33

Последний раз редактировалось EUgeneUS 17.06.2019, 20:34, всего редактировалось 1 раз.

frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

a) Ну например бесконечно много, вообще нет решений, два решения и одно.
б) Если у нас, не знаю как по русски, довільна (любая) прямая вида $y = kx + b$ и любая парабола вида $y^<2>= 2px$» />, в одних и тех же координатах, соответственно будет бесконечно много точек касания этих всех парабол и прямых.
<img decoding=

С русским у Вас всё в порядке. А вот с математикой не очень.
Есть прямая, не любая, а конкретная. Есть парабола не любая, а конкретная. Сколько точек пересечения прямой и параболы может быть?
Параболу нужно рассматривать, как одну, а не как семейство.

UPD: а вообще-то вопросы был о количестве решений квадратного уравнения (про параболу и прямую вообще забыли). Тоже без ответа остались.

Re: Задача о касательной к параболе, не пойму как решать
17.06.2019, 20:46
frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

Ну уравнение: $y^<2>= 2p(2y — 5)$» /> <img decoding= и любая парабола вида $y^<2>= 2px$» />, в одних и тех же координатах, соответственно будет бесконечно много точек касания этих всех парабол и прямых.
<img decoding=

Та я вроде написал, что от нуля до двух корней, то есть три случая решений квадратного уравнения. Две точки пересечения, одна точка пересечения и ни одной точки пересечения, три случая. То есть касательная это попадает в разряд «ни одной точки пересечения»? Ага.

Это у меня просто спелчекер настроен на русский, а так я не очень. Языки это не мое.
wrest в сообщении #1399808 писал(а):
frostysh в сообщении #1399799 писал(а):

Ну уравнение: $y^<2>= 2p(2y — 5)$» /> <img decoding= должно быть больше ноля, ведь это расстояние между директрисой и фокусом! $y$ тоже должен быть больше ноля, так как у нас первая четверть декартовых координат, там где точка соприкосновения, и точка пересечения может быть в этом случае только одна, как и точка соприкосновения, как и нужная нам парабола в которой прицельный параметр $p$ есть величина постоянная. Надо найти тот момент перехода, тонкую границу , с пространства вообще не имеет общих точек , к пространству имеет одну общую точку , это и будет смысл касательной , и со всего множества парабол выбрать только одну. Итак имеем квадратное уравнение, которое получилось в следствии того что мы допустили присутствие общей точки между параболой и прямой. $y^- 4py + 10p = 0$ Запишем так называемый дискриминант этого уравнения, в следствии того что $p$ будет постоянно: $D = b^- 4ac, D = (-4p)^ - 4 \cdot 10p = 16p^ - 40p$ C определения дискриминанта для квадратного уравнения, возможны три дальнейших развития событий: $D >0$» /> — это две общих точки, в нашем случае будет только одна, и то не любая, ибо парабола не сможет перелезть в отрицательную ось абсцис где наша прямая присутствует, <img decoding= — это пространство ни одной совместной точки, и наконец $D = 0$ — это одна точка пересечения, то есть пограничным числом для $D$ будет ноль! Это граничная точка пересечения, то есть касательная! $16p^- 40p = 0$ $4p(4p - 10) = 0$ $4p - 10 = 0$ $4p = 10$ $$p = \frac<10> = \frac$» />Что и соответствует ответу в книге! Это божественно! Любой прицельный параметр больше <img decoding=$ будет также соответствовать одной точке пересечения в первой четверти Декартових координат на плоскости, но вот два с половиною, это граница. Как говорил один деятель, товарищи! Я вижу что это Маргерет Тетчер, но у меня написано Индира Ганди! Хууух! Наконец задача решилась! Спасибо огромное за помощь с этой задачей всем!

Прямая y=2x-9 является касательной к параболе y=x2+bx. Найдите абсциссу точки касания данных прямой и параболы, если b>0

Прямая y=2x-9 является касательной к параболе y=x2+bx. Найдите абсциссу точки касания данных прямой и параболы, если b>0.

Лучший ответ

Чтобы найти координаты точек пересечения двух любых линий, нужно решить систему из описывающих эти линии уравнений, т. е систему:
y=2x-9
y=x^2+bx
x^2+bx=2x-9,
x^2+(b-2)*x+9=0.
Квадратное уравнение в общем случае имеет два решения, значения х дадут абсциссы точек пересечения. У нас же прямая является касательной. Значит прямая и парабола имеют только одну общую точку. Это возможно только в том случае, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Это условие позволяет найти «b».
D=(b-2)^2-4*1*9=0,
b^2-4b-32=0,
b=8 или b=-4.
По условию b>0< значит b=8.
Подставляем это значение в квадратное уравнение:
x^2+6x+9=0,
x=(-3).

Остальные ответы

Проверил, при b=(-3), точка касания (х=3, y=-3)

Как найти точку касания параболы и прямой

Задача: Прямая параллельна касательной к графику функции . Определить абсциссу точки касания.

Решение:

Замечание 1: Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

Известно, что касательная к графику функции параллельна прямой , т.е. угловые коэффициенты касательной и этой прямой равны между собой, т.е. .

Замечание 2 (геометрический смысл производной): Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .

Вычислим производную:

Выше выяснили, что угловой коэффициент равен -4, т.е. производная равна -4.

Вывод: — абсциссы точек, в которых касательная к графику параллельна прямой .

Ответ:

Проиллюстрируем эту задачу графиком, хотя при её решении график строить необходимости нет.

Касательная – линия красного цвета, точка касания , и она, конечно же, параллельна данной прямой.

Понравилась статья?

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:
(ось ординат).

Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в общем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:

Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную:

Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :

Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде:

Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:

Ответ:

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:

И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:
, что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Касательная и нормаль к графику функции в заданной точке

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:

Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Теперь разберём два особых случая:

1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится:

То есть, касательная будет параллельна оси .

Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .

2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение: составим уравнение касательной .
В данном случае

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Поскольку касательная параллельна оси (Случай № 1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:

Горизонтальная касательная и вертикальная нормаль

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю № 1, когда :

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Краткое решение и ответ в конце урока

Случай № 2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Вертикальная касательная и горизонтальная нормаль

Решение: в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению):

Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная:

Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:

Для лучшего понимания задачи приведу чертёж:

Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функцию в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:

Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Ответ:

В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Таким образом:

Уравнение нормали составим по формуле :

Ответ:

Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данной задаче:

Таким образом:

В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали:

Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче: .
Найдём производную:

Или:

Подставим в выражение производной :

Искомое уравнение нормали:

Ответ:

Пример 9: Решение: в данном случае:

Найдём производную и вычислим её значение при :

Уравнение нормали:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Как найти точку касания параболы и прямой

Научный форум dxdy

Задача о касательной к параболе, не пойму как решать

Прямая y=2x-9 является касательной к параболе y=x2+bx. Найдите абсциссу точки касания данных прямой и параболы, если b>0

Как найти точку касания параболы и прямой

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Добавить комментарий Отменить ответ

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана неявно?

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана параметрически?