Каков физический смысл фазы колебаний

Каков физический смысл фазы колебания?

Момент времени, в который колебание начинается, в какой проходит максимум или минимум, в какой заканчивается.

Остальные ответы
время начала этого колебания

Фаза колебания-физическая величина, которая входит в уравнение, описывающее колебание и определяет кинематические и динамические параметры в данный момент времени.
JELAYU USPEXOV .
Vladimir Shchookin.

Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Лекция №8 колебания

Колебаниями называются процессы, характеризуемые определённой повторяемостью со временем. Можно без преувеличения сказать, что мы живём в мире колебаний и волн. Действительно, живой организм существует благодаря периодическому биению сердца, наши лёгкие колеблются при дыхании. Человек слышит и разговаривает вследствие колебаний его барабанных перепонок и голосовых связок. Световые волны (колебания электрических и магнитных полей) позволяют нам видеть. Другими важными примерами являются переменный ток, электромагнитные колебания в колебательном контуре, радиоволны и т.д. Как видно из приведённых примеров, природа колебаний различна. Однако они сводятся к двум типам — механическим и электромагнитным колебаниям. Оказалось, что, несмотря на различие физической природы колебаний, они описываются одинаковыми математическими уравнениями.

Гармонические колебания

Любая система, способная колебаться или в которой могут происходить колебания, называется колебательной. Колебания, происходящие в колебательной системе, выведенной из состояния равновесия и представленной самой себе, называют свободными колебаниями. Свободные колебания являются затухающими, так как энергия, сообщённая колебательной системе, постоянно убывает. Рассмотрим сначала колебания, полностью пренебрегая причинами, приводящими к убыванию энергии.

1. Гармонические колебания. Гармоническими называют колебания, при которых какая-либо физическая величина, описывающая процесс, изменяется со временем по закону косинуса или синуса:

(t) = A·cos(₀t + ). (1)

Выясним физический смысл постоянных A,  и , входящих в это уравнение.

Константа A называется амплитудой колебания. Амплитуда — это наибольшее значение, которое может принимать колеблющаяся величина. Согласно определению, она всегда положительна. Выражение t + , стоящее под знаком косинуса, называют фазой колебания. Она позволяет рассчитать значение колеблющейся величины s в любой момент времени. Постоянная величина  представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы зависит от выбора начала отсчёта времени. Величина  получила название циклической частоты, физический смысл которой связан с понятиями периода и частоты колебаний. Периодом незатухающих колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого процессы повторяются, или коротко — время одного полного колебания. Число колебаний, совершаемых в единицу времени, называют частотой колебаний. Частота  связана с периодом T колебаний соотношением

(2)

Частота колебаний измеряется в герцах (Гц). Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением:

(3)

Из этого соотношения следует физический смысл циклической частоты. Она показывает, сколько колебаний совершается за 2 секунд.

2. Пружинный маятник. Пружинный маятник представляет собой тело массой, подвешенное на пружине. Массой пружины и силами трения пренебрегаем.

Рассмотрим превращения энергии, происходящие при колебании такого маятника. Уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид:

где X_m и ₀ — амплитуда колебания и циклическая частота колебания (см. (1)). Это выражение получается из (1) заменой  на x и A на X_m, учитывая, что Здесь k — коэффициент жёсткости пружины, т — масса тела. Полная механическая энергия W пружинного маятника представляет собой сумму кинетической энергии W_k тела и потенциальной энергии W_p деформированной пружины, т.е.

Потенциальная энергия деформированной пружины находится по формуле W_p = kx 2 /2, где x — величина удлинения пружины, равная отклонению тела от положения равновесия. С учётом (4) получаем:

(6)

так как Кинетическая энергия тела равна W_k = (1/2)m  . Согласно определению скорость тела при движении вдоль координатной оси x равна Тогда скорость тела, совершающего гармонические колебания по закону (4), находим по формуле: Поэтому

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5), находим

(8)

поскольку sin 2 (₀t + ) + cos 2 (₀t + ) = 1. Таким образом, как следует из (8), полная механическая энергия при свободных гармонических колебаниях не зависит от времени, т.е. остается величиной постоянной. Из соотношений же (6) и (7) вытекает, что потенциальная и кинетическая энергии изменяются со временем пропорционально cos 2 (₀t + ) и sin 2 (₀t + ) соответственно. Поэтому, когда одна из них увеличивается, другая уменьшается. Следовательно, в процессе механических колебаний происходит периодический переход потенциальной энергии в кинетическую энергию и обратно. Важно отметить, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний (см. (8)).

3. Колебательный контур. Колебательным контуром называют электрическую цепь, состоящую из индуктивности и ёмкости. Электрическим сопротивлением контура пренебрегаем.

Рассмотрим теперь электромагнитные колебания в колебательном контуре. Уравнение колебаний заряда q на конденсаторе записывается в виде:

где q_m  амплитуда колебания заряда, ₀  циклическая частота колебаний (см. (1)). Циклическая частота находится по формуле где L  индуктивность катушки, С — ёмкость конденсатора.

Энергия W колебательного контура складывается из энергии W_E электрического поля конденсатора и энергии W_B магнитного поля индуктивности, т.е.

Но W_E = q 2 /(2C), где q  величина заряда на конденсаторе, C  ёмкость конденсатора. Учитывая (9), получаем, что

(11)

Энергия магнитного поля находится по формуле W_B = Li 2 /2. Здесь i  сила тока, проходящего через проводник. Сила тока i в контуре находится дифференцированием соотношения (9) по времени: Тогда Поскольку то

(12)

Подставляя (11) и (12) в (10), находим

(13)

Из соотношений же (11) и (12) следует, что энергии электрического и магнитного полей изменяются со временем пропорционально cos 2 (₀t + ) и sin 2 (₀t + ) соответственно. Поэтому, когда одна из них увеличивается, другая уменьшается. Следовательно, в процессе колебаний происходит периодический переход энергии электрического поля в энергию магнитного и обратно, т.е. происходят электромагнитные колебания. Важно отметить, что энергия колебаний также пропорциональна квадрату амплитуды.

15. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний и их физический смысл.

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

1. Колебания встречающиеся в природе и технике близки к гармоническим
2. Различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний

A – максимальное значение колеблющейся величины (амплитуда)

(х принимает значения от +А до -А)

ω₀ – круговая (циклическая) частота ( )

(ω₀t + φ)- фаза колебания. Она определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t.

φ — начальная фаза. Она определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в начальный момент времени t=0.

Период колебаний (Т) – время, за которое происходит одно полное колебание.

За период фаза колебания получает приращение 2π.

Частота колебаний (ν) – Число полных колебаний. Совершаемых в единицу времени. (величина обратная периоду ) [ν]=Гц

Комплексная форма представления гармонических колебаний. Представление гармонических колебаний в векторной форме.

Найдем первую и вторую производные по времени от величины s, совершающей гармонические колебания:

Из выражения (1) непосредственно вытекает дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Гармонические колебания графически изображаются методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, которая выбрана на оси х, под углом φ, который равен начальной фазе колебания, откладывается вектор А, у которого модуль равен амплитуде А рассматриваемого колебания. Если данный вектор привести во вращение с угловой скоростью ω0, которая равна циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s = Acos(ω₀t+φ). Значит, гармоническое колебание можно представить как проекцию на некоторую выбранную произвольным образом ось вектора амплитуды А, который отложен из произвольной точки оси под углом φ , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω₀ вокруг этой точки.

В физике часто используется другой метод, отличающийся от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В данном методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом.

Используя формулу Эйлера, для комплексных чисел

Значит уравнение гармонического колебания можно представить в комплексной форме: (2)

Вещественная часть формулы (2) :

есть гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (2) записывать в форме

В теории колебаний уславливаются, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

17 Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда колебания необходимо сложить.

Сложим гармонические колебания одного направления и одной частоты:

Воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды . Построим векторные диаграммы

Так как векторы А1 и А2 вращаются с одной угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ –φ₁) между ними остается постоянной. Уравнение результирующего колебания будет

Амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ — φ₁) складываемых колебаний.

Исследуем выражение (1) в зависимости от разности фаз (φ₂ — φ₁):

1) φ₂ — φ₁ = ±2mπ (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=A₁+A₂, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ — φ₁ = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Δω/2

Результирующее колебание можно считать как гармоническое с частотой ω , амплитуда Аσ которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения Аσ в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

19. Сложение взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу.

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде

где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул. Записывая складываемые колебания как

и заменяя во втором уравнении на и на , найдем после преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:

Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют для нас физический интерес:

1. Разность фаз α=0

Если частоты омега складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний. На рис. даны фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (даны слева) и разностей фаз (даны вверху; разность фаз равна φ).

20. Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов.Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает колебания, описываемые выражением вида d 2 s/dt 2 + ω₀ 2 s = 0 или

две точки сверху — двукратное дифференцирование по времени. Колебания гармонического осциллятора есть важный пример периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений настолько малых, что можно было бы элементы контура считать линейными).

Математический маятник, физический маятник, груз на пружине, колебательный контур без потерь энергии.

1. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника J=ml2 (l-длина маятника)

Период

1. Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела

Момент M возвращающей силы

где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, Fτ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила

Циклическая частота

Период

1. Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид

или

Циклическая частота

Период

Колебательный контур — цепь, которая состоит из последовательно включенных резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L, и конденсатора емкостью С.

По закону Ома, для контура, который содержит резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L, и конденсатор емкостью С

где IR—напряжение на резисторе, U_C = — напряжение на конденсаторе, ξ_s = -L – ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушке при протекании в ней переменного тока (ξ_s – единственная ЭДС в контуре).

Полная энергия

Период

Собственная частота контура

22.Энергия механических и электрических гармонических колебаний.

Кинетическая энергия материальной точки, которая совершает прямолинейные гармонические колебания:

Потенциальная энергия материальной точки, которая совершает гармонические колебания, будет равна:

=1/2 *kA 2

Для механических колебаний справедлив закон сохранения энергии.

=const

В любой момент времени сумма потенциальной и кинетической энергии колеблющегося тела остается постоянной и равной этой сумме в любой другой момент времени. В процессе колебаний происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В крайних точках отклонения (амплитудное значение) вся энергия маятника — потенциальная энергия. При прохождении положения равновесия — вся энергия кинетическая, скорость маятника максимальна.

В случае электрических колебаний энергия в конуре : D представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью.

(энергия электрического поля конденсатора)

(энергия магнитного поля катушки)

Полная энергия в контуре остается неизменной:

23.Затухающие механические колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания. Добротность.Затухающие колебания – колебания, у которых амплитуды из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени убывают. Простейшим механизмом убывания энергии колебаний есть ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системахδ = — коэффициент затухания. (количественная характеристика сопротивления колеблющейся системы колебательному движению)

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний маятника (механических колебаний)

Колебания маятника подчиняются закону:

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

— логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая равна

24. Затухающие электрические колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания. Добротность.Затухающие колебания – колебания, у которых амплитуды из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени убывают.

Простейшим механизмом убывания энергии колебаний есть излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах. коэффициент затухания. (количественная характеристика сопротивления колеблющейся системы колебательному движению)

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R≠0)

Колебания заряда подчиняются закону

С частотой равной Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

— логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая равна

Вынужденные колебания. Зависимость амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты внешнего гармонического воздействия. Явление резонанса.

Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту ω_rez , — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) будет максимальна, — нужно найти максимум функции

Продифференцировав выражение под корнем по ω и приравняв его нулю, получим условие, из которого найдем ω_rez :

Это равенство верно при , у которых только выражение со знаком плюс имеет физический смысл. Значит, резонансная частота

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При ω₀ 2 >> δ 2 значение ω_rez практически равно собственной частотой ω₀ колебательной системы.

зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях δ

чем меньше δ, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если ω→0, то все кривые достигают одного в того же, не равного нулю, предельного значения x₀/ω₀ 2 , которое называется статическим отклонением. В случае механических колебаний x₀/ω₀ 2 = F0/(mω₀ 2 ) , в случае электромагнитных – U_m/(Lω₀ 2 )

при малом затухании (ω₀ 2 >> δ 2 ) резонансная амплитуда смещения (заряда)

Зависимость φ от ω при разных значениях δ графически изображена на рис. 3, из которого вытекает, что при изменении ω изменяется и сдвиг фаз φ.

при ω=0 φ=0, а при ω=ω₀ независимо от значения коэффициента затухания φ = π/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на π/2. При дальнейшем росте ω сдвиг фаз возрастает и при ω>>ω₀ , т. е. φ→π фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Множество кривых, изображенных на рис. 3, называется фазовыми резонансными кривыми.

прикладная акустика, радиотехника, электротехника используют явление резонанса.

26Колебательный контур. Вынужденные колебания тока в цепи. Резонанс напряжений.

Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона:

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Если в цепи переменного тока, который содержит последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор

(1)

то угол сдвига фаз между током и напряжением становится равным нулю (φ=0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Выражению (1) удовлетворяет частота

В этом случае полное сопротивление цепи Z (см. предыдущий раздел) становится наименьшим, равным при этом активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи задается этим сопротивлением, принимая максимальные (возможные при данном Um) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, которое приложено к цепи (UR=U), а падения напряжений на катушке индуктивности (UL) и конденсаторе (UC) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление имеет название резонанс напряжений (последовательный резонанс)

В случае резонанса напряжений

где Q — добротность контура

1. График гармонического колебания

Тригонометрические функции широко применяются в физике. Для описания колебательных процессов используют формулу закона гармонических колебаний s = Asin ω t + α .

Физический смысл величин A , ω , α :

\(A\) — амплитуда колебаний;

ω — частота колебаний;

α — начальная фаза колебаний.

как пример рассмотрим построение графика функции s = 4 sin 2 t − π 2 в системе координат \(sOt\).

Сначала преобразуем данное уравнение: s = 4 sin 2 t − π 2 = 4 sin2 t − π 4 .

Для построения графика этой функции нужно:

1) построить синусоиду s = sint (график показан серым пунктиром);

2) сжать её вдоль оси \(x\) в два раза (график показан красным пунктиром);

3) растянуть её вдоль оси \(y\) в четыре раза (график показан голубой сплошной линией);

4) сдвинуть вдоль оси \(x\) на π 4 вправо (график показан зелёной сплошной линией).

В результате получится искомый график.