Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной

7. Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной? А. 100. Б. 12. В. 24. Г. 60. А. 100. Б. 12. В. 24. Г. 60.

секундная стрелка делает оборот за 1 мин, а минутная за 60 минут. В 60 раз получается.

За минуту секундная стрелка делает 1 оборот, а минутная — 1/60.
Значит. 60.

В 60 раз секундная стрелка движется быстрее минутной.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной

1. У 28 человек 5 «Ы» класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было — 24, пап — 18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа и мама?

2. Коле Гераскину — 12 лет, а профессору Селезнёву — 42. Через сколько лет Коля будет вдвое младше профессора?

3. Ученик Вовочка любит решать математические задачи. Известно, что вчера он решил на 11 задач меньше, чем позавчера и на 32 задачи меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько задач решил Вовочка сегодня?

4. В ящике лежат 100 синих, 100 красных, 100 зелёных и 100 фиолетовых карандашей. Сколько карандашей необходимо достать, не заглядывая в ящик, чтобы среди них обязательно нашлись по крайней мере 1 красный и 1 фиолетовый.

5. Во сколько раз секундная стрелка движется быстрее минутной?

6. Гриша с папой ходил в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё два выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель?

7. На окраску деревянного кубика затратили 4 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков меньшего размера. Сколько краски потребуется для того, чтобы закрасить образовавшиеся при этом неокрашенные поверхности?

8. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

9. Сумма двух последовательных чётных чисел равна 150. Найдите эти числа.

10. Старый будильник отстаёт на 8 минут за каждые 24 часа. На сколько минут надо его поставить вперёд в 20-00, чтобы он зазвонил вовремя — в 8-00 следующего утра?

Ответ. на 4 минуты
11. Запишите число, являющееся суммой 13 тысяч, 12 сотен и 11 единиц.
12. Найдите наибольшее целое число, дающее при делении на 13 с остатком частное 17

13. В стране Лимпопо 9 городов и каждые два города соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране Лимпопо?

14. В 1983 году было 53 субботы. Каким днём недели было 31 декабря этого года?
15. Найдите наименьшее натуральное число кратное 100, сумма цифр которого равна 100.
Ответ. 19999999999900 — в числе 11 девяток.
16. Напишите наименьшее четырёхзначное число, кратное 22 и начинающееся с цифры 5.

17. Окрашенный кубик с ребром 6 см. распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько будет кубиков с двумя окрашенными гранями?

18. Питон длиной 16 м проползает через мост длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы проползти мимо столба?

19. Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и 1000$. Сколько стоил «Запорожец»?

• ЗАДАЧИ
• 5 класс
• Вступительная олимпиада
• Пути и переправы
• Разрезания
• Примеры и конструкции
• Календарь, время, возраст
• Математическая карусель 1
• Рыцари и лжецы
• Чётность
• Графы
• Математическая драка
• Задачи на таблицы
• Задачи о спичках
• Шахматная раскраска
• Математическая карусель 2
• Взвешивания и переливания
• Разрезания и замощения
• Обратный ход
• Олимпиада
• Числовые неравенства
• Среднее арифметическое
• Логика
• Куб и его развёртка
• Задачи на движение
• Турнир Архимеда
• Арифметические ребусы
• Перебор
• Математические игры
• Пространственное воображение
• Доли
• Принцип Дирихле
• Домашнее задание 1
• Домашнее задание 2
• Домашнее задание 3
• Домашнее задание 4
• Домашнее задание 5
• Домашнее задание 6
• Домашнее задание 7
• Домашнее задание 8
• Домашнее задание 9
• Домашнее задание 10
• Домашнее задание 11
• Домашнее задание 12
• Домашнее задание 13
• Домашнее задание 14
• Домашнее задание 15
• Домашнее задание 16
• Домашнее задание 17
• Домашнее задание 18
• Домашнее задание 19
• Домашнее задание 20
• Домашнее задание 21
• Домашнее задание 22
• Домашнее задание 23
• Домашнее задание 24
• Домашнее задание 25
• Домашнее задание 26
• Домашнее задание 27
• Домашнее задание 28

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!

Болезни кварцевых часов

Давно не секрет, что механические часы наиболее «капризны», чем кварцевые. Часы на батарейке менее подвержены механическим повреждениям от ударов, и рекомендуемый срок для проведения репассажа составляет раз в 4-5 лет.
Но, тем не менее, кварцевые часы так же имеют ряд своих «болезней».

Севшая батарейка
Самая распространенная причина остановки кварцевых часов — севшая батарейка. Зачастую предупреждением того, что элемент питания исчерпал свои ресурсы является секундная стрелка, которая начинает перескакивать через несколько делений. Данная функция называется EOL (End Of Life).

EOL – это специальная система, уведомляющая владельца кварцевых часов о том, что необходимо заменить элемент питания. В оснащенных данной системой часах примерно за 2 недели до полного истощения энергии батарейки секундная стрелка начинает вести себя особым образом: перестает ходить четко посекундно, а ждет 4 секунды и перепрыгивает вперед сразу на 4 (иногда 2) деления. Тем самым, часы дают понять, что в них пора менять батарейку.

Иногда часы начинают просто отставать, но чаще, просто останавливаются.
В любом случае, с заменой батарейки лучше не тянуть и заменить ее в авторизованном сервисном центре с гарантией на батарейку и герметичность.

Плата кварцевого механизма
Следующей болезнью кварцевых часов принято считать энергопотребление платы кварцевого механизма. Случается так, что плата выходит из строя и начинает потреблять слишком много энергии, тем самым быстро выводя батарейку из строя. Привести к данной поломке может несколько факторов:

• внутрь корпуса часов попала влага и на плате образовалась коррозия;
• потекла китайская батарейка;
• севшая батарейка слишком долго находилась в часах.

В редких случаях, при такой поломке, помогает полная профилактика часов, но зачастую, приходится менять весь механизм полностью.

Горе-мастер
Довольно много владельце часов считают, что могут самостоятельно справится с заменой батарейки, либо спешат к мастеру по близости к дому, не задумываясь о последствиях, наличии знаний и инструментов. Как правило, при покупке швейцарских часов, консультанты рекомендуют обслуживание в сервисных центрах, и рекомендуют это не зря. Но, исходя из статистки, в авторизованных мастерских поток часов с нарушенной герметичностью, порванными катушками и потекшими батарейками не иссякает.

Остановка часов
Еще одной причиной остановки кварцевых часов, помимо севшей батарейки, может быть необходимость профилактики. Дело в том, что кварцевые швейцарские часы состоят не только из электронного кварцевого блока, но и из механического аналогового с колесной системой, в которой так же, со временем, изнашиваются детали, попадает внутрь пыль и грязь.

Ударопрочность часов
Несмотря на то, что кварцевые часы хорошо переносят небольшие удары, проверять их на прочность не стоит. На самом деле, По ГОСТу они должны выдерживать падение с одного метра на твердый деревянный пол. И, тем не менее, обращений в сервисный цент с поломкой от ударов довольно много. Итогом падения или удара становятся:

• сместившиеся или отломанные стрелки на циферблате;
• треснувший кварц;
• поломанные зубья;
• разбитое стекло и т.п.

Все это, естественно приводит к остановке часов или поломке механизма.

ЧАСЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Получено точное решение вероятностной задачи о случайном положении секундной стрелки на циферблате часов. Доказано, что секундная стрелка чаще оказывается ближе к минутной, чем к часовой стрелке. В доказательстве используется равенство единице некоторой конечной суммы для произвольных двух взаимно простых чисел (лемма о лишней единице).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Больбот А.Д., Астапов Н.С.

КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНЫЙ АЛГОРИТМ ПЕРМУТАЦИИ МАТРИЦ
Клеточно-автоматные алгоритмы пермутации матриц
Теологумены арифметики
ТЕОН СМИРНСКИЙ. ИЗЛОЖЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ, ПОЛЕЗНЫХ ПРИ ЧТЕНИИ ПЛАТОНА: Предисловие, перевод, комментарий
О нечётности совершенных чисел
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE HOUR AND PROBABILITY

The exact solution of the probabilistic problem about the random position of the second hand on the dial hours is obtained. It has been proven that the second hand is often closer to the minute hand than to the hour hand. In this proof equality to one for some finite sum for any two coprime numbers (the extra one lemma) is used.

Текст научной работы на тему «ЧАСЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ»

Математические структуры и моделирование 2022. №3 (63). С. 5-11

УДК УДК 519.21 + 511.3 DOI 10.24147/2222-8772.2022.3.5-11

ЧАСЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ

к.ф.-м.н., доцент, e-mail: a.bot@ngs.ru Н.С. Астапов12

к.ф.-м.н., доцент, e-mail: nika@hydro.nsc.ru

1 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия 2Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, Россия

Аннотация. Получено точное решение вероятностной задачи о случайном положении секундной стрелки на циферблате часов. Доказано, что секундная стрелка чаще оказывается ближе к минутной, чем к часовой стрелке. В доказательстве используется равенство единице некоторой конечной суммы для произвольных двух взаимно простых чисел (лемма о лишней единице).

Ключевые слова: часы со стрелками, вероятность, взаимно простые числа.

В [1] показывается, что из всех областей науки математика случайного особенно богата парадоксами, и приводятся многочисленные подтверждающие примеры, возникшие за несколько веков. В [2] критикуется современный подход к преподаванию теории вероятностей и разбираются ошибочные формулировки и решения задач в популярных учебных изданиях. Ниже формулируется условие и приводится решение вероятностной задачи, для которой простой, казалось бы очевидный ответ оказывается верным лишь приближенно.

Представим себе часы с центральной секундной стрелкой, все стрелки которых движутся равномерно, и спросим:

какова вероятность того, что секундная стрелка находится ближе к минутной, чем к часовой в случайный момент времени?

На сформулированный вопрос многие, не задумываясь, ответят: «Ну конечно же одна вторая» — и практически не ошибутся, потому что вероятность очень близка к одной второй, но всё же слегка от неё отличается. Отметим, что похожие задачи можно найти в [3], см. № 26, № 31, № 36. Чтобы разобраться в этом вопросе, проведём сначала мысленный эксперимент с часами, у которых скорости движения стрелок отличаются не так сильно. Пусть, например, минутная стрелка движется вдвое быстрее часовой и вдвое медленнее секундной. Когда часовая стрелка проходит точки 1,|,| и |, происходят переключения событий ближе-дальше. Эти 4 момента вместе с точкой 0 делят круг на 5 секторов: в первом, третьем и пятом секторе секундная стрелка расположена ближе к минутной, а в остальных двух секторах — к часовой. На рисунке 1 первые

три сектора отмечены знаком плюс, а оставшиеся два сектора — знаком минус. Это означает, что 5 времени часовая стрелка находится в плюсовой области,

Рис. 1. Часы со стрелками

то есть искомая вероятность равна 0,6. Итак, мы убедились, что вероятность может быть отличной от одной второй.

На рисунке видно, что в четырёх точках переключения секундная стрелка проходит через биссектрису угла (тупого или острого) между часовой и минутной стрелками. Однако в точке 0 секундная стрелка тоже проходит через биссектрису угла (нулевого) между часовой и минутной стрелками, но переключения в этой точке нет. Почему? Объяснение очень простое — в этот момент происходит ещё одно переключение, которое и гасит первое. А именно, в этот момент минутная стрелка проходит через часовую. Переключения этого типа в чистом виде можно видеть на примере часов со скоростями 1,4 и 8 для часовой, минутной и секундной стрелок соответственно. Действительно, если часовая стрелка показывает на точку 1, то минутная стрелка, сделав один полный оборот, совпадёт с часовой, а секундная покажет на точку 2. Тогда незадолго до этого момента секундная стрелка была ближе к часовой, а после

— ближе к минутной стрелке. Аналогичное переключение происходит и в точке 2. На реальных 12-часовых часах с соотношением скоростей стрелок 1 : 12 : 720 такие переключения наблюдаются в точках уу, к =1, 2. 10 .

Оставим на время часы и рассмотрим следующую задачу. Для неравных натуральных чисел р и д возьмём два семейства точек, разбивающих интервал, назовём его основным, соответственно на р и д равных частей. Точку разбиения назовём простой, если она входит только в одно семейство и двойной

— если в оба. Ясно, что двойные точки внутри интервала могут быть только в случае, если р и д не взаимно просты. Каждому интервалу, заключённому между двумя соседними точками деления, сопоставим знак плюс или минус следующим образом. Первому интервалу (от нуля до первой точки деления) сопоставим знак плюс. Дальнейшим интервалам приписываем знаки согласно правилу: соседним интервалам сопоставляем разные знаки, если их разделяет

Математические структуры и моделирование. 2022. №3 (63)

простая точка, и одинаковые знаки, если точка двойная. Нас будет интересовать вероятность Р+ (или Р—) попадания точки в положительную (или отрицательную) часть промежутка при её случайном бросании в промежуток. Ясно, что Р+ и Р— будут суммами длин соответственно положительных и отрицательных интервалов, если в качестве основного интервала взять (0;1). Заметим, что вероятности не изменятся, если принять другую длину основного интервала, тогда эти суммы следует поделить на длину интервала. Поэтому, в зависимости от удобства будем в качестве основного интервала использовать интервалы разной длины.

Сравним наши вероятности при удвоении параметров р и д. Заметим, что точки разбиения расположены симметрично относительно середины промежутка. Поскольку в случае удвоенных параметров р и д точка 2, то есть середина основного интервала (0; 1), будет двойной точкой деления, то знаки интервалов, расположенных симметрично относительно середины, будут одинаковы. Поэтому Р+р /2д = Р]+/д. Проделав достаточное число раз обратные преобразования (то есть сокращения на два), получим Р+ = Р+/д,, где хотя бы одно из чисел р’ и д’ нечётно.

Пусть р и д имеют разную чётность. В этом случае точка 2, то есть середина основного промежутка (0; 1), входит лишь в одно семейство точек деления, следовательно симметричные относительно середины интервалы имеют разные знаки. Поэтому Р+/я = Р-д = 2.

Осталось рассмотреть случай нечётности обоих параметров. Пусть й = (р,д) — наибольший общий делитель чисел р и д. Положим р = ¿р’, д = ¿д’. Тогда весь отрезок разобьётся на й частей с одинаковым расположением точек деления, где каждая следующая часть получается из предыдущей сдвигом х ^ х + ^. В силу взаимной простоты чисел р’ и д’ внутри каждой части двойных точек нет, следовательно внутри этой части знаки интервалов разбиения чередуются, начинаясь и заканчиваясь знаком плюс, в силу нечётности их количества. Поэтому Р+ = Р+/д,. Из полученных свойств следует, что индекс р/д можно сокращать как дробь, без изменения вероятности.

Разберём оставшийся случай. Пусть нечётные числа р и д взаимно просты. В этом случае все точки деления простые. Теперь в качестве основного интервала удобно взять (0;рд), тогда точки деления станут целыми:

P, (Я — и q, ‘¿Я^.^ (р — 1)д.

Рассмотрим величину а(Ь) = (—1)[?]+[«], она меняет знак только в точках, кратных р и д промежутка (0;рд). Следовательно, каждому интервалу (к; к + 1) между последовательными точками деления сопоставится знак и(к). Суммируя

длины всех таких промежутков с учётом их знака и поделив на длину проме-

жутка, находим равенство Р+ — Р- = — ^ а (к), где индекс р/д для краткости

здесь и далее не указываем, так как он фиксирован. Поскольку Р+ + Р- = 1,

то отсюда получим равенство