Сколько целых решений имеет равенство

Сколько целых решений имеет неравенство | х | < 64? Сколько целых решений имеет неравенство | х | < 64 ?

Подсчитаем? !
-64Положительных решений . 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, т. д. 63, т. е. всего 63 решения
Отрицательных . -1,-2,-3,-4,-5 и т. д. -62,-63 т. е. всего 63 решения
И ноль — одно решение
Складываем
63+63+1=127 целых решений
Удачи!

Остальные ответы

15, числа от -7 до 7

ответ: 127 чисел

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

дискретная-математика — Количество решений уравнения

Добрый день. На экзамене по дискретке попался вопрос:

Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение
x1+x2+. +xk = n (справа от х — порядковый номер, а не коэффициент)

Так и не решил. Подскажте пожалуйста, как это сделать

задан 23 Июн ’13 13:36

Archi
27 ● 1 ● 3 ● 7
100&#037 принятых

2 ответа

Это сочетания с повторениями. Они сводятся к обычным сочетаниям. Возьмём какое-нибудь решение уравнения, и заменим в нём каждое число $%x_i$% на столько же «палочек», и все «плюсы» оставим. Получится своего рода «штрих-код» решения. Например, если мы видим запись $%|||++|+||$%, то это значит, что у нас был вектор $%(3,0,1,2)$% из чисел $%x_i$%, где $%i=1,2,3,4$%. Здесь $%k=4$%, $%n=3+0+1+2=6$%.

Понятно, что каждому решению соответствует свой «штрих-код», и по нему решение восстанавливается однозначно ($%x_i$% равно количеству палочек, перед которыми стоит ровно $%i-1$% «плюс»). Таким образом, количество решений равно количеству «штрих-кодов», где «палочек» ровно $%n=x_1+\cdots+x_k$%, а «плюсов» ровно $%k-1$%. Всего в коде имеется $%n+k-1$% символ, и чтобы составить такой код, мы из $%n+k-1$% мест выбираем те $%n$% мест, на которых будут стоять «палочки». Это не что иное как $%C_^n$%: число сочетаний из $%n+k-1$% по $%n$%. Его же можно записать и по-другому — как $%C_^$%.

отвечен 23 Июн ’13 14:14

falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55

@falcao, из последних двух предложений Вашего решения следует равенство k-1=n. Но даже для Вашего примера это не так. Или я чего-то не понимаю?

(23 Июн ’13 16:57) Archi

Нет, ничего такого из последнего предложения не следует. Это свойство симметричности сочетаний. Здесь равенство получается не по причине того, что числа вверху равны, а по причине, что в сумме они дают число, написанное внизу. Иными словами, $%C_m^i=C_m^$%. Это следует как из определения сочетаний (когда мы берём $%i$% элементов из $%m$%, то оставляем не взятыми $%m-i$%, что делается тем же числом способов), так и из формулы с факториалами. В задаче выше получается ответ $$\frac.$$

(23 Июн ’13 17:53) falcao

@falcao, спасибо Вам! Теперь все перепроверил и понял.

Сколько целых решений имеет равенство

Решить в целых числах уравнение

Так как и при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 то может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 20 172 018 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

Критерии проверки:

Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Рассуждения в целом верные, но правильный ответ недостаточно обоснован — 3 балла. Получен верный ответ без обоснования или с неверным обоснованием — 0 баллов.

Ответ: целочисленных решений нет.

Тип 27 № 980

а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств

имеет единственное решение.

б) Докажите, что кривая

делит единичную окружность на восемь равных дуг.

в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение разрешимо в целых числах.

а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами и (замена ). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при

Ответ: и b — любое.

б) Перейдя к полярным координатам и после несложных преобразований получим уравнение поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен

в) Пусть тогда числа и целые.

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)

Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ответ: и b — любое.

Тип 30 № 1019

а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение

б) Найдите все целые решения уравнения

в) Найдите все натуральные решения уравнения

а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку то после замены получим уравнение Полученное уравнение разрешимо, если число входит в множество значений функции Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками

(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при или и ). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда откуда и получаем ответ.

б) Из равенства получаем, что откуда следует, что число должно быть полным квадратом, Аналогично, причем

в) Докажите вначале следующее утверждение.

Лемма. Если и то

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)

Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.

Тип 0 № 1449

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах неравенства

Найдите сумму всех целых решений неравенства

Рассмотрим уравнение Перепишем его в виде Чтобы сделать правую часть квадратом, прибавим к обеим частям по Получим:

откуда: Таким образом, имеем два квадратных уравнения:

Решаем первое уравнение:

Решаем второе уравнение: где

Рассмотрим уравнение Перепишем его в виде Прибавив к обеим частям равенства получим в обеих частях квадраты:

Отсюда: Получим два квадратных уравнения:

Решаем первое уравнение:

Второе уравнение дает

Теперь вернемся к неравенству. Оно эквивалентно системе

Оцениваем действительные корни и наносим их на координатную прямую.

Тип 0 № 1452

Сколько целых решений имеет неравенство

Так как множители свободного члена 1 и −1 не являются корнями соответствующего уравнения, то выделить множитель первой степени с рациональными коэффициентами мы не сможем. Попробуем выделить множитель второй степени методом неопределенных коэффициентов. Положим

Попытка взять свободный член с плюсом в первом множителе не привела бы к результатам. Перемножив многочлены в первой части, получим:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений:

Получаем Подставляем в остальные уравнения:

Сложим первое и третье уравнения: или С учетом того, что находим

Итак, имеем два уравнения: и Первое из них сразу дает Для решения второго преобразуем его в биквадратное с помощью подстановки Получим: Отсюда найдем

Найдем целые решения неравенства. Оценим корни:

1) при получаем или

Нанеся корни уравнения на координатную ось и определив промежутки Знакопостоянства, получим решение неравенства в виде:

Выпишем целые числа, попадающие в эти промежутки: −3, 0, 2, 3, 4.

Тип 0 № 3619

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

В ответ запишите сумму целых решений этого неравенства.

Окончательно, оно равно Тогда на ОДЗ:

Тогда знаменатель равен

и неравенство примет вид:

Тип 0 № 3827

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Найдите все целочисленные решения неравенства

Преобразуем исходное неравенство:

Поскольку нужно найти целочисленные решения неравенства, то возможны только два случая

Ответ: (6; 2 7), (20; 0; 19).

Тип 0 № 5248

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 3 тур (заключительный), 2019 год

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

Решим задачу тремя способами.

1. Легко заметить, что, если одна из переменных равна 1 или −1, то остальные равны тому же самому. Отсюда получаются два очевидных решения: и и далее можно считать, что все переменные не равны 1 или −1.

2. Сложим все уравнения, сократим подобные и перенесём −3 направо, получим

3. Перенесём в каждом уравнении 1 направо, перемножим все уравнения и сократим обе части на получим

4. Вычтем в каждом уравнении из обеих частей 1, разложим левые части и представим в виде перемножим все уравнения и сократим обе части на получим Раскроем в последнем уравнении скобки, запишем его в виде

и заменим получим

5. Используя равенство

преобразуем предыдущее равенство, получим

Последнее является квадратным уравнение относительно не имеющим решения, ввиду отрицательности его дискриминанта.

Следовательно, исходная система не имеет решений, отличных от и

1) Сложим все уравнения, сократим подобные и перенесём −3 направо, получим Следовательно, модули всех x, y, z не превосходят модуль одной из переменных не меньше 1, а другой — не больше 1.

2) Легко заметить, что, если одна из переменных равна 1 или −1, то остальные равны тому же самому. Отсюда получаются два очевидных решения: и и далее можно считать, что все переменные не равны 1 или −1.

3) Рассмотрим функцию заметим, что наша система имеет вид: При имеем Поэтому, если то

что невозможно, поэтому Для дальнейшего отметим, что минимальное значение f(t) равно при при значение при значение

4) Если все то противоречие с п. 1), поэтому как минимум одна из переменных меньше −1. Если то следовательно, ровно одна из переменных меньше −1, считаем, что и На интервале функция f(t) монотонно убывает, поэтому

в частности, В таком случае то есть что противоречит установленному ранее неравенству Следовательно, предположение о том, что одна из переменных меньше −1 приводит к противоречию. Значит, система не имеет решений, отличных от уже найденных и

1. Сложим все уравнения, сократим подобные и перенесём −3 направо, получим

2. Легко заметить, что, если одна из переменных равна 1 или −1, то остальные равны тому же самому. Отсюда получаются два очевидных решения: и и далее можно считать, что все переменные не равны 1 или −13. Перенесём в каждом уравнении 1 направо, перемножим все уравнения и сократим обе части на получим

4. Из пунктов 1 и 3 легко следуют равенства

Применим к левой части первого равенства с неотрицательным числам |x|, |y|, |z| неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

Следовательно, само неравенство должно быть равенством, что возможно только при Из равенства получаем что с учётом пункта 2 приводит к уже найденным решениям и

Критерии проверки:

В первом решении нахождение каждого из значений

оценивается по 1 баллу, получение уравнения

оценивается в 2 балла. Доказательство неразрешимости последнего уравнения: 2 балла.

Во втором решении нахождение 1 балл. Доказательство того, что 1 балл. Доказательство того, что 1 балл. Доказательство того, что 1 балл. Доказательство того, что и получение противоречия: 3 балла.

В третьем решении нахождение каждого из значений оценивается по 1 баллу. Замечание о том, что и 1 балл. Применение неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом с неотрицательным числам |x|, |y|, |z|: 2 балла. Замечено, что в неравенстве строгое равенство и что 1 балл. Отсюда получено, что или 1 балл.

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром».

Цели: Создание условий для усвоения понятия «уравнения с параметром».

Задачи: сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.

I .Организационный момент.

I I . Проверка домашнего задания ( Приложение 1 , слайды 2-14).

1) Карточки, которые раздавались учащимся на предыдущем уроке. ( Приложение 2 ) .

II. Введение в тему урока.

Решите кроссворд. Задания зачитываются учителем. Проверка ( Приложение 1, слайды 15-16 )

1. Графиком квадратичной функции является …

2. Равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти – это …

3. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется…

4. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются…

5. Запись какого-нибудь правила с помощью букв – это…

6. Графиком функции у=k/x, где х≠0, является…

7. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носит название теоремы…

8. Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в и с – некоторые числа, причем а≠0 называется… .

Записали тему урока. (Приложение 1, слайд 17)

Сколько может иметь корней линейное уравнение? А квадратное?

III. Объяснение нового материала.

1. Изучение понятия «уравнение с параметром».

Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.

(Приложение 1, слайд 18)

Определение. Уравнение вида f(а,в,с …,х) =0, переменные а,в,с … которые при решении уравнения являются постоянными называются параметрами, а само уравнение , уравнением с параметрами.

ру – р – 1 = 0; х – 2 х = а 3 – 2 а 2 – 9 а + 18; 3 х 2 – 10 ах + 3 а 2 = 0.

Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:

1) х , а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары ( х , а ), которые удовлетворяют данному уравнению.

2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х , удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а .

3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А . Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а ( А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а .

Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.

Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.

2. Примем решения уравнения с параметром.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными .

3. Алгоритм решения уравнения с параметром:

1-й ш а г. Находим область изменения параметра.

2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.

3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.

4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.

5-й ш а г. Записываем ответ.

4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.

На примерах можно рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 группы :

1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;

2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;

3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.

1. № 641 (а) (Разбирает учитель вместе с учениками).

ру – р – 1 = 0.

Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.

Данное уравнение не имеет корней.

Если р ≠ 0, то ру = р + 1; у = (p + 1)/p.

О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = (p + 1)/p.

2. № 642 (обучающийся решает у доски).

ах – 2 х = а 3 – 2 а 2 – 9 а + 18;

х ( а – 2) = а 2 ( а – 2) – 9( а – 2);

( а – 2) ∙ х = ( а – 2)( а 2 – 9).

Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то

0 · х = 0 · (22 – 9),

Если а – 2 ≠ 0, то есть а ≠ 2, то х = (a-2)(a 2 -9)/(a-2),

х = а 2 – 9.

О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а 2 – 9.

№ 644 (б) (Проводится анализ, а затем записываем).

3 х 2 – 10 ах + 3 а 2 = 0.

D = (–10 а ) 2 – 4 · 3 · 3 а 2 = 100 а 2 – 36 а 2 = 64 а 2 .

Если а = 0, то D = 0 и х = (10a)/(2*3); х = 0.

Если а ≠ 0, то D > 0 и

рис.2

О т в е т: при а = 0, х = 0; при а ≠ 0, х ₁ = 3 а , x ₂ = a/3.

3. № 646 (Проводим анализ и даем время решить самостоятельно, а затем, проверяем).

х 2 – ах + а – 3 = 0.

D = (– а ) 2 – 4 · 1 · ( а – 3) = а 2 – 4 а + 12 = ( а – 2) 2 + 8, D > 0 при любом а , 2 корня.

рис.3

х ₁ 2 + х ₂ 2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.

О т в е т: 5 при а = 1.

VI. Обучающая самостоятельная работа.

№ 645(б) – I вариант, №645 (г) – II вариант.

Двое учащихся на откидных досках. Оценки только тем учащимся, которые написала на «5».

VII. Итог урока

Какие уравнения мы сегодня изучили?
Какое уравнение называются уравнением с параметром? (Слайд с определением). Приведите свои примеры.
Уравнения с параметрами встречаются в экзаменах 9 и 11 классов. (Можно предложить на дом задания из ГИА).

VIII. Домашнее задание. (Приложение 1, слайд 22)

Прочитать п.27 и разобрать примеры 1 и 2, №645 (а, в), №704.

Информационные ресурсы:

Алгебра, 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ ЛебединцкваЕ.А., Беленкова Е.Ю. – М.: Интелект-Центр, 2007.
Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворовой (компакт-диск) – издательство «Учитель». 2011.

Тема урока: Уравнения и неравенства с параметрами.

11 класс.

Цель урока :Создание условий для усвоения темы «Уравнения и неравенства с параметрами».

Задачи урока: формировать умения решать иррациональные уравнения с параметрами; формировать умения решать задачи исследовательского характера – квадратные уравнения с параметрами.

I. Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

II .Математический диктант.

1. При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю:

2. При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

3. При каких значениях оба корня уравнения равны нулю:

Объяснение нового материала .
Объяснение нового материала (стр. 369-372):
1. Решить уравнение .
2. При каких значениях параметра корни уравнения меньше 1.

Творческая мастерская.
Учащиеся работают в четырех группах. Каждая группа получает по 4 задания. Задания выполняются и оформляются коллективно, но у доски каждая группа должно успеть показать решение не менее двух задач.

Задания для 1 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

При каких значениях произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

При каких значениях сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

При каких значениях и корни уравнения равны и ?

Задания для 2 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

При каких значениях сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите и корни каждого уравнения.

Задания для 3 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найдите .

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

Задания для 4 группы.

В зависимости от значений параметра решите уравнение .

В уравнении квадрат разности корней равен 16. Найдите .

Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите и и корни каждого уравнения.

Подведение итогов.

Домашнее задание: №1863-1866; теория в учебнике стр. 365-372.

Сколько целых решений имеет равенство

Сколько целых решений имеет неравенство | х | < 64? Сколько целых решений имеет неравенство | х | < 64 ?

дискретная-математика — Количество решений уравнения

2 ответа

Сколько целых решений имеет равенство

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром».

Добавить комментарий Отменить ответ