Как найти точку на окружности

Окружность на координатной плоскости

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

• четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
• серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M₁ (π/4) = M₁ (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M₂ ((3π)/4) = M₂ (-√2/2; √2/2)
M₃ ((5π)/4) = M₃ (-√2/2; -√2/2)
M₄ ((7π)/4) = M₄ (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T₂ (π/3) = T₂ (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T₃ ((2π)/3) = T₃ (-½; √3/2)
T₄ ((5π)/6) = T₄ (-√3/2; ½)
T₅ ((7π)/6) = T₅ (-√3/2; -½)
T₆ ((4π)/3) = T₆ (-½; -√3/2)
T₇ ((5π)/3) = T₇ (½; -√3/2)
T₈ ((11π)/6) = T₈ (√3/2; -½)

Как найти точку на окружности

Нравится ресурс?

правила раздела Алгоритмы

1. Помните, что название темы должно хоть как-то отражать ее содержимое (не создавайте темы с заголовком ПОМОГИТЕ, HELP и т.д.). Злоупотребление заглавными буквами в заголовках тем ЗАПРЕЩЕНО.
2. При создании темы постарайтесь, как можно более точно описать проблему, а не ограничиваться общими понятиями и определениями.
3. Приводимые фрагменты исходного кода старайтесь выделять тегами code. /code
4. Помните, чем подробнее Вы опишете свою проблему, тем быстрее получите вразумительный совет
5. Запрещено поднимать неактуальные темы (ПРИМЕР: запрещено отвечать на вопрос из серии «срочно надо», заданный в 2003 году)
6. И не забывайте о кнопочках TRANSLIT и РУССКАЯ КЛАВИАТУРА, если не можете писать в русской раскладке

Модераторы: Akina, shadeofgray

‘> Координаты точки на окружности , Определение координат точки на окружности при известных координатах центра, радиусе и угле поворота

• Подписаться на тему
• Сообщить другу
• Скачать/распечатать тему

Сообщ. #1 , 07.05.10, 19:29

Как найти координаты точки на окружности, зная радиус и угол прямой к точке из окружности?

Угол задаётся в градусах, координаты нужно получить в полярной системе.
Нужно чтобы для всех 360 градусов работало.
У меня почему-то получается точки в 300 и 60 градусах на одном и том же месте располагаются.

Дополнен 13 лет назад
*угол прямой к точке из центра окружности
Лучший ответ

y = R*sin(угол)
x = R*cos(угол)
а точки так разполагаются потому как в окружности всего = 360 градусов 🙂
то есть это одна и та же точка 🙂

МихаилОракул (50492) 13 лет назад
О, спасибо, другое дело )
Остальные ответы
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

3. Числовая окружность на координатной плоскости

Расположим числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.

Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.

Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

Точка M π 4 — середина \(I\) четверти.
Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\).
Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то ∡ MOP = 45 ° .

Значит, треугольник \( OMP \) — равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т. е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\).

Координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности x 2 + y 2 = 1 ,
Поэтому их найдём из системы уравнений:
x 2 + y 2 = 1 x = y
Заменим в первом уравнении \(y\) на \(x\):
x 2 + x 2 = 1 ; 2 x 2 = 1 ; x 2 = 1 2 ; x = 1 2 = 2 2 ; y = x = 2 2 .
Мы выбрали положительный корень уравнения, так как абсцисса точки \(M\) больше нуля.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π 4 , будут M π 4 = M 2 2 ; 2 2 .

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.
Точка окружности
Абсцисса \(x\)
Ордината \(y\)
Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу π 6 .

Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то ∡ MOP = 30 ° .

Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки \(M\) равна