Построение биссектрисы угла
Дано: А.
Построить: биссектрису А.
Решение:
Произвольно строим с помощью линейки А.
С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине А.
Точки пересечения данной окружности со сторонами А обозначим В и С.
Теперь проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С.
В зависимости от длины ВС, получим одну или две точки пересечения данных окружностей внутри А. Ту точку, которая лежит внутри угла обозначают буквой и проводят через нее луч с началом в точке А. В нашем случае, получилось две точки пересечения данных окружностей, которые лежат внутри А. Обозначаем одну из них Е и проводим с помощью линейки луч АЕ.
Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного А. Рассмотрим треугольники АВЕ и АСЕ.
В данных треугольниках АВ = АС как радиусы окружности с центром в точке А, ВЕ = СЕ по построению, АЕ — общая, следовательно, 
АВЕ =АСЕ по 3 признаку равенства треугольников, откуда следует, что ВАЕ =САЕ, т.е луч АЕ — биссектриса данного А. Что и требовалось доказать.
Замечание:
- С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на два равных угла, для этого нужно провести его биссектрису.
- С помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол на четыре равных угла, для этого нужно разделить угол пополам (на два равных угла), а затем каждую половину разделить пополам еще раз.
- С помощью циркуля и линейки нельзя разделить данный угол на три равных угла (задача о трисекции угла).
Как построить биссектрису угла только с помощью линейки ?
Можно примерно её построить с погрешностью.
1)Отмеряем на сторонах угла одинаковое расстояние и отмечаем его.
2)Измеряем получившееся между этими точками расстояние и делим его пополам.
3)Через получившуюся точку проводим биссектрису
P.S. Для снижения погрешности можно взять несколько точек таким образом.
Остальные ответы
без циркуля никак
Легко: от угла на сторонах делаешь две равные засечки. Через них проводишь линию. Измеряешь её длину и находишь середину. Через неё и проёдёт биссектриса
Похожие вопросы
Как построить биссектрису угла без циркуля
С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.
Подсказка
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
Первый способ.
Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA ( O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения. Опустим перпендикуляры FK и FL на стороны угла. Тогда биссектриса угла KFL и будет искомой, поскольку отрезки FK и FL , а следовательно, и прямые OA и OB , симметричны относительно биссектрисы угла KFL .
Второй способ.
Через произвольную точку одной из сторон угла проведем прямую, параллельную другой стороне. Построим биссектрису полученного угла, а затем через полученную ранее точку F (см. первый способ) проведем прямую, параллельную этой биссектрисе.
Третий способ.
Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA ( O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения, а E — точка пересечения биссектрис смежных с ними углов. Тогда биссектриса угла с недоступной вершиной O проходит через точки F и E , т.к. биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 5016 |
Узнаем как построить биссектрису данного угла? Задачи на построение
Существует такой забавный детский стишок, с помощью которого легко запомнить, что такое биссектриса: «Биссектриса — это такая крыса, что бегает по углам и делит угол пополам». Однако нельзя забывать, что, несмотря на простоту запоминания этого шуточного определения, учитель справедливо потребует другое, взятое из учебника.
В дальнейшем изучении школьной программы дети сталкиваются со сложной с первого взгляда задачей — как построить биссектрису данного угла с помощью циркуля. Однако уже более продвинутый школьник без труда справится с этим заданием, которое является основой выполнения цикла задач на построение в геометрии. Давайте же разберемся с этим вопросом раз и навсегда.
Как построить биссектрису данного угла?
Самым очевидным и наиболее простым способом является использование транспортира, но если данного вспомогательного инструмента не оказалось под рукой, надо уметь строить биссектрису без него.
Для выполнения данной задачи, как уже понял читатель, нам потребуется циркуль, а помимо него — линейка (важно понимать, что делениями на ней пользоваться нельзя) и простой карандаш с ластиком.
Алгоритм построения
Необходимо совершить такие действия:
- Установите иглу циркуля в вершине данного угла.
- Установите циркулем произвольный радиус, проверните инструмент так, чтобы нарисованная им дуга пересекала оба луча, образующие угол.
- Отметьте точки пересечения дуги со сторонами заданного угла.
- Переставьте иглу циркуля в одну из отмеченных точек, выберете произвольный радиус и снова проверните циркуль таким образом, чтобы нарисованная им дуга была заключена внутри угла.
- Аналогичные действия проделайте, передвинув циркуль в точку, отмеченную на другой стороне угла. Важно сохранить радиус, выбранный в предыдущем пункте алгоритма.
- Отметьте точку пересечения двух дуг, которые были начерчены в двух предыдущих пунктах.
- Проведите луч из вершины угла, проходящий через эту точку.
- Полученный луч является искомым.
Мы дали ответ на поставленный вопрос — как построить биссектрису данного угла.
Доказательство
Теперь, разобравшись, как построить биссектрису данного угла, стоит вспомнить еще одно определение биссектрисы, используя термин «геометрическое место точек». Биссектрисой называется геометрическое место точек, которые равноудалены от лучей, образующих угол.
Согласно выполненному построению в пунктах 4-6, точка, принадлежащая построенной биссектрисе, также принадлежит двум окружностям, равным по радиусу, центр которых располагается на лучах, образующих угол на одинаковом расстоянии от вершины угла (согласно пунктам 1-3 построения). Опустим перпендикуляр из отмеченной в пункте 6 точки на лучи, образующие угол. Докажем, что получившиеся прямоугольные треугольники равны, и выясним, что опущенные перпендикуляры также равны, как соответствующие элементы треугольников. Таким образом, их общая гипотенуза является биссектрисой угла по определению. Что и требовалось доказать.